synthese 1 4m 2013 2014

2013/2014
Lycée EL ALIA
Exercice 1
4° Maths
durée : 3 heures
[ DEVOIR DE SYNTHÈSE N° 1 \
(3 points)
Pour chaque proposition choisir l’unique bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
1. Soit f une fonction continue sur [0, 2], dérivable sur ]0, 2[ et telle que f(0) = f(2) alors :
a) f est constante sur [0, 2]
b) f ′ s’annule sur [0, 2]
c) f s’annule sur [0, 2]
1
2. Soit f une fonction dérivable sur [0, 2] telle que pour tout x ∈ R, f ′ (x) =
et g la fonction définie
1 + x2
1
sur ]0, +∞[ par g(x) = f
alors :
x
x2
1
−1
a) g ′ (x) =
b) g ′ (x) = 2
c) g ′ (x) =
2
2
1+x
x (1 + x )
1 + x2
3. Soit n ∈ N. L’application f de P dans P qui à tout point M(z) associe M ′ (z ′) telle que z ′ = ei
est une translation si et seulement si,
a) n est multiple de 3
b) n est multiple de 6
c) n est multiple de 12
nπ
3
z+2
Exercice 2 (3 points)
b
La courbe Cf représentée ci-contre est la courbe représentative
d’une fonction f définie sur [−5, 2].
On sait que f est continue sur [−5, 2] et dérivable sur [−5, 2[.
Sur la figure sont tracées les tangentes à Cf au points d’abscisses
respectives −5, −2, 0 et 2.
4
3
2
1. Déterminer graphiquement : fd′ (−5), f ′ (−2), f ′ (0),(f ◦ f) ′(0)
f(x) − 5
et lim−
x→2
x−2
-5
f 2x2 − 2 + 2
2. En déduire les limites suivantes : lim
x→1
x−1
3. a) Montrer que f réalise une bijection de [−5, 2] sur un intervalle J que l’on précisera.
′
b) Déterminer f−1 (−2) et f−1 (−2)
c) f
−1
1
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
b
-2
b
-3
est-elle dérivable en -3 ? Justifier.
d) Étudier la dérivabilité de f à droite en -4 et à gauche en 5.
b
-4
-5
Exercice 3 (4 points)
Résoudre dans C l’équation (Eα ) : z2 − (1 + i) eiα z + iei2α = 0avec α ∈ [0,
2π].
→ −
−
→
II- Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, u , v , on considère les points M1
I-
et M2 d’affixes respectives z1 et z2 avec z1 = eiα et z2 = ieiα .
1. Montrer que le triangle OM1 M2 est rectangle et isocèle en O.
2. Soit I le milieu du segment [M1 M2 ].
a) Montrer que, lorsque α varie sur [0, 2π], le point I varie sur le cercle C de centre O et de rayon
- 1/2 -
√
2
.
2
Prof: Lahbib Ghaleb & Lahbib Mohamed
2013/2014
Lycée EL ALIA
4° Maths
durée : 3 heures
[ DEVOIR DE SYNTHÈSE N° 1 \
b) Montrer que la droite (M1 M2 ) est tangente à C.
3. On suppose que α ∈ [0, π].
→ \
−
−−−−→
3π
a) Montrer que u , M1 M2 ≡ α +
[2π].
4
−
→
b) En déduire la valeur de α pour laquelle la droite (M1 M2 ) est parallèle à l’axe O, v .
Exercice 4 (5 points)
x
Soit la fonction f définie sur ]1, +∞[ par f(x) = 1 + √
. On désigne par Cf sa courbe représentative
x2 − 1
→ −
−
→
dans un repère orthonormé O, ı ,  .
1. a) Montrer que lim f(x) = 2 et lim+ f(x) = +∞. Interpréter graphiquement ces résultats.
x→+∞
x→1
b) Montrer que f est dérivable sur ]1, +∞[ et que pour tout x ∈]1, +∞[, f ′ (x) =
−1
√
.
(x2 − 1) x2 − 1
c) Dresser le tableau de variation de f.
1
d) Montrer que pour tout x ∈ [2, 3], |f ′ (x)| 6 √ .
3 3
2. a) Montrer que l’équation f(x) = x admet une unique solution α et que α ∈]2, 3[.
→ −
−
→
b) tracer dans le repère O, ı ,  la courbe Cf .
3. a) Montrer que f réalise une bijection de ]1, +∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.
x−1
pour tout J.
b) Montrer que f−1 (x) = √
x2 − 2x
→ −
−
→
c) Tracer la courbe Cf−1 dans le même repère O, ı ,  .
Exercice 5 (5 points)
−−→
−−→
π
\
Dans le plan orienté, on considère un rectangle ABCD de centre O tel que AB , AD
≡ [2π] et
2
AB = 2AD. On désigne par I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD].
1. a) Montrer qu’il existe un unique déplacement f tel que f(A) = C et f(I) = J.
b) Caractériser f.
2. Soit g = R(I, π2 ) of
a) Montrer g est une rotation dont on précisera l’angle.
b) Déterminer g(A) et g(I).
c) En déduire que le centre Ω de g est le milieu de [ID].
3. Soit h l’antidéplacement tel que h(A) = C et h(I) = J.
a) Montrer que h(B) = D.
b) Soit E = h(C). Montrer que DJ = DE et que
−−→
−−→
\
DJ , DE
≡
π
[2π].
2
c) En déduire que D est le milieu du segment [AE].
−−→
d) Montrer alors que h est une symétrie glissante de vecteur AD et d’axe (IJ).
- 2/2 -
Prof: Lahbib Ghaleb & Lahbib Mohamed