devoir libre n˚08 - MPSI Saint-Brieuc

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
à rendre le lundi 16 janvier 2012
DEVOIR LIBRE N˚08
PROBLÈME 1 : Représentations de Fibonacci et Zeckendorf des entiers
Partie I. La suite de Fibonacci
Soit (un ) la suite définie par
• u0 = 1, u1 = 2
• ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un
Soit n ∈ N et p la partie entière de
n
.
2
On définit les sommes σn =
X
un−2k
Sn =
0≤k≤p
X
uk
0≤k≤n
1.
Déterminez les 10 premiers termes de la suite (un ).
2.
3.
Montrez que (un ) est une suite d’entiers strictement positifs et strictement croissante.
Prouvez par récurrence que pour tout entier n ∈ N, σn = un+1 − 1. Déduisez-en que
Sn = un+2 − 2.
Partie II. Représentation de Zeckendorf des entiers
Soit m ∈ N⋆ un entier naturel non nul, on appelle Représentation de Fibonacci (en abrégé
RF) de m toute écriture
X
m=
ak uk
0≤k≤n
où les coefficients ak , pour 0 ≤ k ≤ n − 1 sont égaux à 0 ou à 1 et an = 1. Une telle
représentation sera notée
m = an an−1 · · · a0
1.
Une RF de m est appelée une représentation de Zeckendorf (en abrégé RZ) lorsqu’elle
n’utilise pas deux termes consécutifs de la suite (un ).
Vérifiez que 30 admet deux représentations de Fibonacci 30 = 1001101 et 30 = 1010001.
S’agit-il de RZ ?
2.
Déterminez toutes les RF de 27 en précisant pour chacune s’il s’agit d’une RZ.
Partie III. Existence et unicité de la RZ
1.
Montrez par récurrence sur n que pour tout entier m admettant pour RZ m =
ak uk ,
k=0
on a m ≤ σn .
2.
n
X
Déduisez-en que un est le plus grand des nombres de Fibonacci qui sont majorés par m :
un = max{uk | uk ≤ m}
1
3.
Prouvez que tout entier non nul possède une unique RZ.
4.
Déterminez la ZR de 272.
5.
Déterminez les ZR des nombres σn et Sn .
Fin du sujet
2