Thème N°1 : CALCUL NUMERIQUE (1)

Thème N°1 : CALCUL NUMERIQUE (1)
ECRITURES FRACTIONNAIRES (1) : ECRITURES
FRACTIONNAIRES DE NOMBRES POSITIFS
A la fin du thème, tu dois savoir :
c Simplifier d’une écriture fractionnaire
d Comparer deux quotients
e Additionner, soustraire et multiplier de deux écritures fractionnaires ayant des
dénominateurs différents.
f Donner l’inverse d’un nombre
g Diviser deux écritures fractionnaires.
h Calculer une expression : Revoir les priorités opératoires
c Résoudre des problèmes avec des écritures fractionnaires
A – SOMME DE DEUX NOMBRES RELATIFS (Rappels)
1 - Somme de deux nombres positifs
La somme de deux nombres positifs est un nombre positif
Exemple :
3,5 + 1,5 = 5 (situation connue)
2 – Somme de deux nombres négatifs
La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif
Exemple :
- 8 + ( - 5 ) = - 13
On garde le signe moins
On ajoute les deux nombres écrits sans signe
3 – Somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif
La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif qui a :
• Pour distance à zéro, la différence des distances à zéro ;
• Pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.
Exemples : - 7 + 10 = 3
;
- 15 + 5 = - 10
On garde le signe du nombre le plus éloigné du zéro (10 > 7 donc résultat positif
15 > 5 donc résultat négatif)
On soustrait les deux nombres écrits sans signe (10 – 7 = 3 et 15 – 5 = 10)
Remarque : La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. 1,5 + (- 1,5) = 0
B - SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS (Rappels)
Pour soustraire un nombre relatif , on ajoute son opposé
Exemples :
( + 4 ) – ( + 8 ) = (+ 4 ) + ( − 8 ) = - 4
soustraire ( + 8 ) revient à ajouter son opposé ( − 8 )
(-7)–(−5)=(-7)+(+5)=-2
soustraire ( − 5 ) revient à ajouter son opposé ( + 5 )
page 1 C - QUOTIENTS EGAUX
Si a , b et k sont non nuls :
a×k a
=
b×k b
Méthode 1 : Simplifier une écriture fractionnaire.
÷3
15 3 × 5 5
15 5
Exemple :
autre rédaction :
=
=
=
12 3 × 4 4
12 4
÷3
On Commence par utiliser les critères de divisibilités ci-dessous :
Critères de divisibilité : comment reconnaître si un nombre entier est divisible par un autre ?
• Examine le dernier chiffre du nombre :
Si c’est un nombre pair ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ), le nombre est divisible par 2.
Si c’est 0 ou 5, le nombre est divisible par 5.
Si c’est 0, le nombre est divisible par 10.
• Additionne tous les chiffres qui ont permis d’écrire le nombre :
Si la somme trouvée est divisible par 3, le nombre en question est aussi divisible par 3.
Si la somme trouvée est divisible par 9, le nombre en question est aussi divisible par 9.
Méthode 2 : Ecrire deux quotients avec le même dénominateur.
On veut écrire les deux quotients avec le même dénominateur. Exemple :
1
et
3
2
5
On cherche un multiple commun à 3 et à 5 : ici 15
1 1× 5 5
=
=
3 3 × 5 15
et
2 2×3 6
=
=
5 5 × 3 15
D - COMPARAISON
Pour comparer
puis on range
a
b
a
b
et
et
c
on compare les numérateurs a et c,
b
c
dans le même ordre que les numérateurs
b
Méthode 3 : Comparer deux quotients.
18,7
17
17 18,7
<
Exemple :
et
, on note que 17 < 18,7 donc
8
8
8
8
page 2 E - ADDITION, SOUSTRACTION
a, b et c désignent des nombres positifs avec b ≠ 0
a c a+c
+ =
b b
b
a c a−c
− =
b b
b
;
Méthode 4 : Additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire
5 2
On veut calculer + .
6 9
c On cherche un multiple commun aux dénominateurs 6 et 9.
Les premiers multiples de 6 sont : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ……..
Les premiers multiples de 9 sont : 9, 18, 27, 36, 45, ……..
Le multiple commun à 6 et 9 est : 18
5
2
et le nombre égal à
ayant pour dénominateur 18
d On recherche ensuite le nombre égal à
6
9
5 5 × 3 15
=
=
6 6 × 3 18
2 2× 2 4
=
=
9 9 × 2 18
et
5 2 15 4 15 + 4 19
=
+ = +
=
6 9 18 18
18
18
g Si possible, on pense ensuite à simplifier.
e On calcule ensuite :
Autres exemples :
3 5 3+5 8
+ =
= =2
4 4
4
4
;
6+
1 12 1 12 + 1 13
=
=
+ =
2 2 2
2
2
5 3 10 3 10 + 3 13
+
=
+
=
=
7 14 14 14
14
14
17 2 17 − 2 15 5 × 3 5
=
− =
=
=
9 9
9
9 3× 3 3
2 4 10 12 10 + 12 22
+ =
+
=
=
3 5 15 15
15
15
F - LA MULTIPLICATION
a, b, c et d désignent des nombres positifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0
a×
c a×c
=
b
b
;
a c a×c
× =
b d b×d
Méthode 5 : Savoir simplifier avant de faire des calculs dans un produit
page 3 14 6 3
× ×
5 7 9
c On observe les nombres aux numérateurs et aux dénominateurs et on essaye de voir si on peut simplifier
avant de faire les calculs.
d On constate que 14 est un multiple de 7 et que 9 et 6 sont des multiples de 3.
e On simplifie au numérateur et au dénominateur :
Exemple : Simplifier
14 6 3 2 × 7 × 3 × 2 × 3 2 × 2 4
× × =
=
=
5 7 9
5 × 7 × 3 × 3
5
5
Autres exemples:
2 21 2 × 21 42 6 × 7 6 3 × 2 3
×
=
=
=
= =
=
7 4
7 × 4 28 4 × 7 4 2 × 2 2
ou
4×
2 21 2 × 21 2 × 3 × 7 3
×
=
=
=
7 4
7× 4 7× 2× 2 2
3 4 × 3 12
=
=
5
5
5
G – INVERSE
On dit que deux nombres non nuls sont inverses si leur produit est égal à 1.
* Si a ≠ 0 ,
1
1 a ×1 a
sont inverses car a × =
= = 1.
a
a
a
a
a et
* Si a ≠ 0 et b ≠ 0
a
b
et
b
a b a×b
sont inverses car × =
=1
b a b×a
a
Méthode 6 : Prouver que deux nombres sont inverses l’un par rapport à l’autre
Exemples :
5 et
1
1 5 ×1 5
sont inverses car 5 × =
= = 1.
5
5
5
5
2
3
3
2
et
sont inverses car
2 3 2×3
× =
=1
3 2 3× 2
H - QUOTIENT
page 4 Pour diviser une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction
par l’inverse de la deuxième fraction.
a c a d
Pour b, c et d non nuls :
÷ = ×
b d b c
ou
a
b = a×d
c b c
d
Méthode 7 : Diviser deux nombres en écritures fractionnaires
4 5 4 8 4 × 8 32
=
÷ = × =
7 8 7 5 7 × 5 35
2
9 = 2 ÷ 2 = 2 × 27 = 2 × 9 × 3 = 3
2
9 27 9 2
9× 2
27
I - LES PRIORITES
Les règles de priorités s’appliquent aux calculs comportant des fractions.
Méthode 8 : Calculer une expression
A=
4 ⎛1 5 1⎞
−⎜ + × ⎟
5 ⎝2 2 4⎠
A=
4 ⎛1 5⎞
−⎜ + ⎟
5 ⎝ 2 8⎠
A=
4 ⎛ 4 5⎞
−⎜ + ⎟
5 ⎝8 8⎠
4 9
−
5 8
32 45
A=
−
40 40
A=
A=
Ö Lorsque le calcul comporte des parenthèses, on effectue d’abord les
calculs entre les parenthèses en veillant aux priorités.
Ö Lorsque le calcul ne comporte plus de parenthèses, on effectue en
priorité division et multiplication puis addition et soustraction.
− 13
40
Remarque : On effectue dons d’abord les calculs au numérateur et au dénominateur avant de diviser.
4
5 = ⎛3 + 4 ⎞ ÷ ⎛ 2 − 6 ⎞
B=
⎜
⎟ ⎜
⎟
6 ⎝
5⎠ ⎝
7⎠
2−
7
3+
F - RESOUDRE UN PROBLEME
Méthode 9 : Résoudre des problèmes
page 5 Exemple 1 : Pierre et Marie mangent un gâteau. Pierre en mange 3 et Marie 1.
8
4
a) Quelle fraction du gâteau ont-ils mangée à eux deux ?
3 1 3 1× 2 3 2 3 + 2 5
On a :
+ = +
= + =
=
8 4 8 4× 2 8 8
8
8
5
Conclusion : Ils ont mangé à eux deux
du gâteau.
8
b) Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?
5 8 5 8−5 3
= .
On a : 1 − = − =
8 8 8
8
8
3
du gâteau.
Conclusion : Il reste
8
c) Le gâteau pesait 240 g. Calcule le poids restant du gâteau.
3
3 × 240 3 × 8 × 30
= 90
On a : × 160 =
=
8
8
8
Conclusion : Il reste 90 g de gâteau.
Exemple 2 :
Dans cette confiture, les 5 du volume total sont constitués de fruits et les fraises représentent
8
les 3 du volume total des fruits.
5
Pot de confiture
5
de fruits
8
3
de fraises
5
?
?
a) Quelle fraction du volume de confiture représentent les fraises ?
3
5
3 5 3× 5 3
= .
Les fraises représentent les de du volume de confiture.
On a : × =
5
8
5 8 5×8 8
3
Conclusion : Les fraises représentent
du volume de confiture
8
b) Quel poids de fraises faut-il pour 160 g de confiture ?
3
3 × 160 3 × 8 × 20
3
=
= 90 .
Les fraises représentent les de 160 g de confiture.
On a : × 160 =
8
8
8
8
Conclusion : Il y a 90 g de fraises dans la confiture.
Brevet des collèges : Extrait Nouvelle Calédonie, décembre 2009
On donne le programme de calcul suivant.
y Choisir un nombre
y Lui ajouter 3
page 6 y Multiplier cette somme par 4
y Enlever 12 au résultat obtenu
1) Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8
y 2
y 2 + 3 = 5
y 5 × 4 = 20
y 20 − 12 = 8
Conclusion : Le résultat obtenu est 8 en choisissant 2
2) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu si le nombre choisi est
1
3
1
3
1
1 9 10
y +3= + =
3
3 3 3
10
10 × 4 40
×4 =
=
y
3
3
3
40
40 36 40 − 36 4
=
y
− 12 =
−
=
3
3
3
3
3
4
1
Conclusion : Le résultat obtenu est 8 en choisissant
3
3
y
3) a - A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat
final ?
b - Démontrer votre réponse.
3) a - On peut passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat en multipliant par 4 le
nombre de départ
b - Pour démontrer, on va choisir comme nombre de départ la lettre x.
y x
y x+ 3
y ( x + 3 ) × 4 = 4 × x + 3 × 4 = 4x + 12
y 4x + 12 – 12 = 4x
Conclusion : Le résultat obtenu est 4x en choisissant x.
On peut donc passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat en multipliant par 4 le
nombre de départ
Brevet des collèges : Extrait Grenoble, juin 1996
Quatre enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette et le second le quart.
2
Le troisième prend les
de ce qui reste après que le premier et le deuxième se soient servis.
5
page 7 1) Lequel de ces calculs permet de trouver la part de chacun ?
1 1 2
⎛ 1 1⎞ 2
⎛ 1 1⎞ 2
A = 1− − ×
B = ⎜1 − − ⎟ ×
C = ⎜1 − − ⎟ ÷
3 4 5
⎝ 3 4⎠ 5
⎝ 3 4⎠ 5
⎛1 1⎞ 2
D = 1− ⎜ + ⎟×
⎝3 4⎠ 5
Il s agit du calcul B
2) Effectue le calcul choisi.
⎛ 1 1⎞ 2
B = ⎜1 − − ⎟ ×
⎝ 3 4⎠ 5
⎛ 12 4 3 ⎞ 2
B = ⎜ − − ⎟×
⎝ 12 12 12 ⎠ 5
⎛ 12 − 4 − 3 ⎞ 2
B=⎜
⎟×
⎝ 12
⎠ 5
5 2
B= ×
12 5
5× 2
B=
6× 2×5
1
B=
6
Le troisième prend le sixième de la tablette
Bilan du thème :
pas acquis
en cours d’acquisition
acquis
Mettre une croix au crayon à papier que tu pourras effacer et changer de case à tout moment.
Additionner deux nombres relatifs
Soustraire deux nombres relatifs
Connaître les critères de divisibilité
Simplifier une écriture fractionnaire
Ecrire deux quotients avec le même dénominateur.
Comparer deux quotients
Additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire
Savoir simplifier avant de faire des calculs dans un produit
Prouver que deux nombres sont inverses l’un par rapport à l’autre
Diviser deux nombres en écritures fractionnaires
Connaître les règles sur les priorités opératoires
Résoudre des problèmes
Mes notes : Ce que je ne dois pas oublier le jour d’un contrôle, …………., etc.…
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