Fonctions logarithmes

Chapitre 5
Fonctions logarithmes
I. DEFINITION
Définition
On appelle fonction logarithme népérien, l'unique fonction f définie et dérivable sur ] 0 ;+∞ [ ,
1
ayant pour fonction dérivée la fonction f ' ( x )= , et vérifiant, pour tous réels a et b strictement
x
positifs, la relation fonctionnelle suivante :
f (ab)= f ( a)+ f ( b)
La fonction logarithme est notée ln(x).
Remarques
•
ln (1)=0
• La fonction ln est donc la primitive sur ] 0 ;+∞ [ , qui s'annule en 1, de la fonction
1
x→ .
x
II. PROPRIETES ALGEBRIQUES
Propriétés
Pour tous nombres réels a et b, on a :
•
ln (ab)=ln (a)+ln (b)
1
•
ln
= −ln(a)
a
a
•
ln
=ln (a)−ln(b)
b
•
ln (a n )=n ln (a) (avec n entier relatif)
1
ln ( √ a )= ln(a)
•
2
()
()
Exercice 1
1)
Écrire les réels suivants en fonction de ln (3) et ln (5):
a)
2)
ln (75)
b)
ln
( )
27
25
c) ln (√ 125)
Écrire les réels suivants en fonction de ln (2) et ln(7):
a)
ln (28)
b)
ln
( )
49
8
3)
Écrire les expressions suivantes sous la forme ln ( f ( x )) où
qui dépend de x :
a) Pour tout x de ] 2 ;+∞[ ,
A (x )=ln (x +5)−ln ( x−2).
1
B (x)=ln (x 2+1)+ ln( x−1)
b) Pour tout x de ]1;+∞[ ,
2
Chapitre 5 : Logarithme
c) ln (√ 32)
f ( x ) désigne une expression
1
III. ETUDE DE LA FONCTION ln
1)
Ensemble de définition
Propriété
L'ensemble de définition de la fonction ln est ] 0;+∞ [ .
2)
Fonction dérivée et sens de variation
Propriétés
1
La fonction ln est dérivable sur ] 0;+∞ [ et sa fonction dérivée est (ln( x))' = .
x
Conséquence
La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ;+∞ [ car sa dérivée est strictement positive sur
] 0;+∞ [ .
Exercice 2
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies sur
f ( x )=4 ln x+ x 2
1)
3)
2)
] 0 ;+∞ [ :
f ( x )=(ln x )5
3)
f ( x)=
ln x
x
Limites
Propriétés
lim ln ( x )= −∞ et lim ln( x)=+∞
Une autre limite à connaître :
ln( x)
=0.
n
x →+∞ x
Pour tout entier naturel n, lim
x →+∞
x →0
x>0
Exercice 3
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition I des fonctions suivantes :
1
3 x+1
1) f ( x)= −2 ln x ; I =]0 ;+∞[
2) f ( x)= −1+
; I =] 0 ;1 [
x
ln x
4)
Tableau de variations et courbe
Tableau de variation de la fonction ln
x
Courbe représentative de la fonction ln
+∞
0
+
(ln( x))'
+∞
ln ( x )
−∞
Chapitre 5 : Logarithme
2
Exercice 4
Soit la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par
f ( x )= −3 ln x+1 . On appelle C sa courbe
représentative dans un repère orthonormal
(O;I,J) d'unité graphique 2 cm.
1) Déterminer les limites de f aux bornes de
son ensemble de définition. En déduire que C
admet une asymptote dont on précisera
l'équation.
2) a) Calculer la fonction dérivée de f.
b) Étudier le signe de f ' ( x) puis établir
le tableau de variation de f.
c) Combien l'équation f ( x )=0 admet-elle
de solutions dans l'intervalle ]0 ;+∞[ ? En
donner une valeur approchée à 0,1 près.
3) a) Préciser f (1) et f ' (1) et déterminer
l'équation de la tangente à la courbe C au point
d'abscisse 1.
b) Tracer cette tangente.
4) Construire la courbe C.
Exercice 5
Soit la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par
f ( x )=2 x−4+ln x.
On appelle C sa courbe représentative dans
un repère orthonormé (O;I,J) d'unité
graphique 1 cm.
1) Déterminer les limites de f aux bornes de
son ensemble de définition. En déduire que la
courbe de f admet une asymptote dont on
précisera l'équation.
2) a) Calculer la fonction dérivée de f.
b) Étudier le signe de f ' ( x) puis établir
le tableau de variation de f.
c) Combien l'équation f ( x )=0 admetelle
de
solutions
dans
l'intervalle
donner
une
valeur
]0 ;+∞[ ? En
approchée à 0,1 près.
3)a) Préciser f (1) et f ' (1) et déterminer
l'équation de la tangente à la courbe C au
point d'abscisse 1.
b) Tracer cette tangente.
4) Construire la courbe C.
Chapitre 5 : Logarithme
3
IV.
NOMBRE e, EQUATIONS ET INEQUATIONS
1)
Le nombre e
D'après le tableau de variation de la fonction ln, l'équation ln x=1 admet une unique solution
dans l'intervalle ] 0;+∞ [ .
Tableau de variation de la fonction ln
Courbe représentative de la fonction ln
x
e
0
1
ln ( x )
+∞
+∞
−∞
Propriété
Il existe un unique réel, noté e tel que :
ln e=1.
(Remarque : e≃2,718. )
Exercice 6
Calculer la valeur des nombres suivants :
A=ln e 7= …...............................................................................................................................................
B=4 ln e 5= ….............................................................................................................................................
C =ln e 3+ln
2)
1
= …....................................................................................................................................
e6
Équations et inéquations
Propriétés
Soient a et b deux réels strictement positifs.
•
a=b si et seulement si ln a=ln b .
•
a<b si et seulement si ln a<ln b.
Remarque : la seconde propriété est vraie car la fonction ln est strictement croissante.
Application 1 : Résolution d'équations et d'inéquations faisant apparaître du ln
Exemple : Résoudre l'équation ln ( x+2)=ln 5.
Cette équation est définie lorsque x+2>0 c'est-à-dire x>−2 .
ln x+2=ln 5 ⇔ x +2=5
⇔ x=3
On a bien 3>−2 donc : S ={3}.
Exercice 7
1)
Résoudre l'équation ln (3 x)+ln ( x+2)=ln 9 .
2)
Résoudre l'inéquation ln (3 x−6)>5 .
Chapitre 5 : Logarithme
4
Application 2 : Résolution d'inéquations avec des puissances, recherche de rang
Exemple : Soit (u n ) la suite définie par u n =2,1n . À partir de quel rang a-t-on u n≥3200 ?
On résout l'inéquation 2,1n≥3200 :
2,1n≥3200 ⇔ ln (2,1n )≥ln 3200
⇔ n ln 2,1≥ln 3200
ln 3200
⇔ n≥
(on ne change pas le sens du signe ≥ car 2,1>1 donc ln 2,1 est positif)
ln 2,1
⇔ n≥10,87
Conclusion : On a u n≥3200 à partir du rang n=11.
Exercice 8
1) Soit (v n ) la suite définie par v n=0,4n . Déterminer le rang à partir duquel v n≤0,001.
2) Résoudre dans ℕ l'inéquation 1,3n≥1000 .
V.
FONCTIONS DE TYPE ln(u)
1)
Dérivée
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ tel que pour tout x de I,
u ( x )>0. Soit f la fonction définie sur I par f ( x )=ln (u ( x)) .
Alors f est dérivable sur I et f ' ( x )=
u ' ( x)
.
u(x)
Exemple : calculer la dérivée de la fonction f définie par f ( x )=ln (3x−6).
•
•
•
6
⇔ x>2.
3
f est de la forme ln (u) avec u ( x)=3 x−6 d'où u ' (x)=3.
u' (x)
3
1
f est donc dérivable sur ] 2;+∞ [ et f ' ( x)=
=
=
.
u(x) 3x−6 x−2
ensemble de définition : f est définie pour 3 x−6>0 ⇔ x>
Exercice 9
1) Calculer la dérivée de la fonction f définie par
f ( x )=ln(2 x).
2) Calculer la dérivée de la fonction g définie par g (x)=ln ( x 2 +3 x+4).
2)
Limites
Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de ℝ telle que pour tout x de I, u ( x )>0 .
On considère les limites en un nombre réel, ou en +∞ ou −∞ .
• Si lim u( x )=0 alors lim ln (u( x ))= −∞.
•
Si lim u( x )=+∞ alors lim ln (u( x ))=+∞.
•
Si lim u( x )=b avec b réel strictement positif alors lim ln (u( x ))=ln b .
Chapitre 5 : Logarithme
5
Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 2 ;+∞[ par f ( x )=ln (2 x−4). Déterminer les limites
de f aux bornes de son ensemble de définition.
La fonction f est de la forme ln(u) avec u ( x)=2 x−4.
•
lim u( x)= lim 2 x−4=2×2−4=0 donc lim f ( x)= −∞ .
•
x→2
x→2
x→2
lim u( x)= lim 2 x−4=+∞ donc
x →+∞
lim
x →+∞
x →+∞
f ( x)=+∞.
Exercice 10
f ( x )=ln
Soit f la fonction définie sur ]−∞ ;0[ par
de son ensemble de définition.
3)
( )
3
+5 . Déterminer les limites de f aux bornes
x2
Primitives
Propriété : Primitives de la fonction inverse
1
x
Les primitives sur ] 0 ;+∞ [ de la fonction x →
constante réelle.
1
sont de la forme x → ln ( x)+c , où c est une
x
Propriété : Primitives des fonctions de la forme
u'
u
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ telle que, pour tout x de I,
u( x )>0.
u' ( x )
Les primitives de la fonction f définie sur I par f ( x )=
sont les fonctions F de la forme
u( x )
F ( x )=ln( u( x))+c , où c est une constante réelle.
Exemple : Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ]−∞ ; 1[ par f ( x )=
u'
avec u( x)= x 2−5 x+4 et u ( x)=2 x−5 .
u
• On vérifie que u ( x) est strictement positif pour tout x de I :
u( x) est une fonction du second degré :
a=1 ; b=−5 ; c=4 donc Δ=b 2−4 ac=(−5)2−4×1×4=25−16=9
Δ>0 donc l'équation x 2−5 x+ 4=0 admet deux solutions :
−b−√ Δ −(−5)−√ 9 5−3
x1 =
=
=
=1
2a
2×1
2
−b+ √ Δ −(−5)+√ 9 5+3
x 2=
=
=
=4
2a
2×1
2
donc u ( x) est strictement positif sur ]−∞ ;1[ et sur ] 4;+∞ [.
• On calcule les primitives de f :
Les primitives de la fonction f sur l'intervalle ]−∞ ;1 [ sont les fonctions F de la forme :
F ( x)=ln( x 2−5 x+ 4)+c , où c est une constante réelle.
2 x−5
x −5 x+4
2
• On reconnaît que f est de la forme
Exercice 11
Déterminer les primitives sur I des fonctions f suivantes :
2 x−1
1
1) f ( x)= 2
; I =]3;+∞[
2) f ( x)=
3
x−2
x −x−6
Chapitre 5 : Logarithme
; I=
]
[
2
;+∞
3
6