Exercices bac -- 2011-2015 -

TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
.
Exercices bac -- 2011-2015
-- arithmétique
E
1
. correction
Enseignement de spécialité
Amerique du Nord 2011
E
2
Antilles 2011
. correction
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
1. On considère l'équation (E) : 11x − 7y = 5 , où x et y sont des entiers relatifs.
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
(a) Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v) tels que
11u − 7v = 1 . Trouver un tel couple.
(b) En déduire une solution particulière de l'équation (E).
Partie B
(c) Résoudre l'équation (E).
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
(
)
« Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p , alors
(d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ;⃗ı,⃗ȷ , on considère la droite D d'équa-
q p−1 ≡ 1
tion cartésienne 11x − 7y − 5 = 0 . On note C l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que
(modulo p) ».
On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par :
0 ⩽ x ⩽ 50 et 0 ⩽ y ⩽ 50 .
Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l'ensemble C et dont les coordonnées
n
n
n
u n = 2 + 3 + 6 − 1.
sont des nombres entiers.
1. Calculer les six premiers termes de la suite.
2. On considère l'équation (F) : 11x 2 − 7y 2 = 5 , où x et y sont des entiers relatifs.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est pair.
3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un ) .
(a) Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x 2 ≡ 2y 2 (mod 5).
(b) Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?
Modulo 5, x est congru à
5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.
(a) Montrer que : 6 × 2p−2 ≡ 3
(modulo p) et 6 × 3p−2 ≡ 2
(b) En déduire que 6u p−2 ≡ 0
(modulo p) .
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Modulo 5, x 2 est congru à
(modulo p) .
Modulo 5, y est congru à
Modulo 5, 2y 2 est congru à
(c) Le nombre p appartient-il à l'ensemble (E) ?
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x 2 et de 2y 2 par 5 ?
Page 1
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(c) En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.
6. (a) Démontrer l'égalité : 1016 ≡ 1(modulo17) .
3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n'est pas solution de
(b) En déduire que, pour tout entier naturel k, u 16k+8 est divisible par 17.
(F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F) ?
E
4
Métropole 2011
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
E
3
. correction
Enseignement de spécialité
PARTIE A - Restitution organisée de connaissances
Polynésie 2011
On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.
Théorème de BÉZOUT :
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p , alors a p−1 ≡
1
(modulop) .
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v)
d'entiers relatifs vérifiant au + bv = 1 .
Théorème de GAUSS :
On considère la suite (u n ) d'entiers naturels définie par :
Soient a, b, c des entiers relatifs.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c .
u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 10u n + 21.
1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.
2. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0
3u n = 10n+1 − 7 .
alors a ≡ 0
[pq] .
(b) En déduire, pour tout entier naturel n , l' écriture décimale de u n ·
PARTIE B
3. Montrer que u 2 est un nombre premier.
On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :

 n
 n
On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite (u n ) par certains nombres
premiers.
≡
9
[17]
≡
3
[5]
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
1. Recherche d'un élément de S .
5. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3u n ≡ 4 − (−1)n
On désigne par (u ; v) un couple d'entiers relatifs tel que 17u + 5v = 1 .
(modulo11) .
(b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n n'est pas divisible par 11.
(a) Justifier l'existence d'un tel couple (u ; v) .
Page 2
[q] ,
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(b) On pose n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v .
où x et y désignent deux entiers relatifs.
Démontrer que n 0 appartient à S .
1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l'équation (E) .
(c) Donner un exemple d'entier n 0 appartenant à S .
2. Résoudre alors l'équation (E) .
2. Caractérisation des éléments de S .
3. En déduire un entier a tel que 0 ⩽ a ⩽ 25 et 23a ≡ 1 (mod 26) .
(a) Soit n un entier relatif appartenant à S .
Démontrer que n − n0 ≡ 0
[85] .
(b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s'écrire sous la
Partie C
forme n = 43 + 85k où k est un entier relatif.
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
3. Application
Chiffrement de Hill
Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
On obtient un couple d'entiers (x 1 ; x 2 ) où x 1 correspond à la première lettre du mot et x 2 cor-
Combien a-t-elle de jetons ?
respond à la deuxième lettre du mot.
(
)
Étape 2 (x 1 ; x 2 ) est transformé en y 1 ; y 2 tel que :
E

 y
1
(S 1 )
 y
5
Pondichéry 2012
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
2
(
Restitution organisée de connaissance
(mod 26)
≡
7x 1 + 4x 2
(mod 26)
avec 0 ⩽ y 1 ⩽ 25 et 0 ⩽ y 2 ⩽ 25.
)
donné dans l'étape 1.
Montrer que si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n) alors ac ≡ bd (mod n) .
Exemple :
TE
|{z}
mot en clair
Inverse de 23 modulo 26
On considère l'équation
11x 1 + 3x 2
Étape 3 y 1 ; y 2 est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance
Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
Partie B
≡
étape1
étape 2
étape 3
=⇒ (19, 4) =⇒ (13, 19) =⇒
NT
|{z}
mot codé
1. Coder le mot ST.
(E) :
23x − 26y = 1,
2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :
Page 3
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(a) Montrer que tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système (S 1 ) , vérifie les équa-
On rappelle le petit théorème de Fermat :
tions du système :
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p , alors a p−1 est congru à 1 modulo

 23x
1
(S 2 )
 23x
2
p que l'on note a p−1 ≡ 1 [p] .
≡
4y 1 + 23y 2
(mod 26)
≡
19y 1 + 11y 2
(mod 26)
1. Soit x un entier naturel.
(b) À l'aide de la partie B, montrer que tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système
(S 2 ) , vérifie les équations du système

 x
1
(S 3 )
 x
2
Démontrer que si x ≡ a [7] et x ≡ a [19] , alors x ≡ a [133] .
2. (a) On suppose que a n'est pas un multiple de 7.
Démontrer que a 6 ≡ 1 [7] puis que a 108 ≡ 1 [7] .
≡
16y 1 + y 2
(mod 26)
≡
11y 1 + 5y 2
(mod 26)
(
En déduire que a 25
(c) Montrer que tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système (S 3 ) , vérifie les équa-
)g
≡ a [7] .
(b) On suppose que a est un multiple de 7.
(
)g
tions du système (S 1 )
Démontrer que a 25
(d) Décoder le mot YJ.
(c) On admet que pour tout entier naturel a , a 25
(
(
Démontrer que a
E
≡ a [7] .
)
25 g
)g
≡ a [19] .
≡ a [133] .
6
Polynésie 2012
. correction
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie C
On note A l'ensemble des entiers naturels a tels que : 1 ⩽ a ⩽ 26 .
Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.
Partie A
La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l'entier r tel que a 25 ≡ r [133]
On considère l'équation (E) : 25x − 108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
avec 0 ⩽ r < 133 .
1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.
La phase de décodage consiste à associer à r , l'entier r 1 tel que r 13 ≡ r 1 [133] avec 0 ⩽ r 1 < 133 .
2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
1. Justifier que r 1 ≡ a [133] .
Partie B
2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128
Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels
Décoder ce message.
vérifiant la relation 25g − 108c = 1 .
Page 4
59 .
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
E
7
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Amerique du Nord 2013
. correction
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
Étape 1 :
À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre m correspondant
dans le tableau.
Partie A
On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et on
Étape 2 :
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
le note p .
Étape 3 :
a est un entier naturel
Au nombre p , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
b est un entier naturel
1. Coder la lettre U.
c est un entier naturel
Initialisation :
Affecter à c la valeur 0
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il affiche
Demander la valeur de a
la valeur de p , calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
Demander la valeur de b
Traitement :
Tant que a ⩾ b
Partie C
Affecter à c la valeur c + 1
Affecter à a la valeur a − b
Sortie :
Fin de tant que
1. Trouver un nombre entier x tel que 9x ≡ 1
Afficher c
2. Démontrer alors l'équivalence :
[26] .
Afficher a
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à
9m + 5 ≡ p
chaque étape.
[26] ⇐⇒ m ≡ 3p − 15
[26].
3. Décoder alors la lettre B.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris
entre 0 et 25 .
E
8
Nouvelle Calédonie 2013
. correction
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
On note E l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26 .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
On note A l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
entre deux mots, noté « ⋆ » considéré comme un caractère.
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Pour coder les éléments de A , on procède de la façon suivante :
Page 5
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
• Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabé-
tique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc
a → 0, b → 1, . . . z → 25 .
E
9
Antilles 2014
. correction
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements :
On associe au séparateur « ⋆ » le nombre 26.
L'hébergement A et l'hébergement B.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
Une nuit en hébergement A coûte 24 e et une nuit en hébergement B coûte 45 e.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 e.
On souhaite retrouver les nombres x et y de nuitées passées respectivement en hébergement A et en
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
⋆
14
15
13
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
hébergement B
On dit que a a pour rang 0, b a pour rang 1, ... , z a pour rang 25 et le séparateur « ⋆ » a pour
1. (a) Montrer que les nombres x et y sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
rang 26 .
(b) Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les
• Deuxièmement : à chaque élément x de E , l'application g associe le reste de la division
couples ( x ; y ) possibles.
euclidienne de 4x + 3 par 27 .
On remarquera que pour tout x de E, g (x) appartient à E .
• Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g (x) .
Entrée :
x et y sont des nombres
Traitement :
Pour x variant de 0 …
Pour y variant de 0 … (2)
Exemple :
s → 18,
(1)
Si …
g (18) = 21 et 21 → v . Donc la lettre s est remplacée lors du codage par la lettre v .
(3)
Afficher x et y
Fin Si
1. Trouver tous les entiers x de E tels que g (x) = x c'est-à-dire invariants par g .
Fin Pour
En déduire les caractères invariants dans ce codage.
Fin Pour
Fin traitement
2. Démontrer que, pour tout entier naturel x appartenant à E et tout entier naturel y appartenant
à E , si y ≡ 4x + 3 modulo 27 alors x ≡ 7y + 6 modulo 27.
En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
2. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
3. (a) Justifier que l'équation 8x + 15y = 1 admet pour solution au moins un couple d'entiers
3. Proposer une méthode de décodage.
relatifs.
4. Décoder le mot « v f v ».
(b) Déterminer une telle solution.
(c) Résoudre l'équation (E) : 8x + 15y = 146 où x et y sont des nombres entiers relatifs.
Page 6
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Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
4. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
Partie B : procédure de codage
Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

nuits passées en hébergement B.
•
Calculer ces nombres.

x1
Le mot à coder est remplacé par la matrice X =   , où x 1 est l'entier représentant la
x2
première lettre du mot et x 2 l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
E
10
Centres Étrangers 2014
. correction
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Partie A : préliminaires
1. (a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

n2 ≡ N − 1
Montrer que : n × n 3 ≡ 1
•
modulo N.
modulo N .
(b) Déduire de la question précédente un entier k1 tel que : 5k1 ≡ 1

2. On donne les matrices : A = 

4
1
3
2

, B = 
2
−1
−3
4


, X = 

x1
x2

 et Y = 

y1
•
Les entiers r 1 et r 2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance
 
 
 
14
76
24
Exemple : « OU » (mot à coder) → X   → Y =   → R =   → « YE » (mot codé).
20
82
4
y2
Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)

(b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A−1 , peut s'écrire sous la

y1
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y =   telle que : Y = AX .
forme A−1 = αI + βA , ou α et β sont deux réels que l'on déterminera.
(d) Démontrer que si AX = Y , alors 5X = BY .
•
ci-dessus.
.
(a) Calculer la matrice 6A − A2 .
(c) Vérifier que : B = 5A−1 .
La matrice X est transformée en la matrice Y =   telle que : Y = AX .
y2
 
r1
La matrice Y est transformée en la matrice R =   , où r 1 est le reste de la division
r2
euclidienne de y 1 par 26 et r 2 le reste de la division euclidienne de y 2 par 26.
modulo 26 .
On admettra que l'unique entier k tel que : 0 ⩽ k ⩽ 25 et 5k ≡ 1 modulo 26 vaut 21.

y1
y2

 5x
1
1. Démontrer que :
 5x
2
Page 7
=
2y 1 − y 2
=
−3y 1 + 4y 2
.
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que :

 x
1
 x
2
1. On entre A = 12 et B = 14 .
En remplissant le tableau donné en annexe, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
≡
16y 1 + 5y 2
≡
15y 1 + 6y 2
modulo 26
2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres A et B .
En entrant A = 221 et B = 331 , l'algorithme affiche la valeur 1.
3. Décoder le mot « QP ».
(a) Justifier qu'il existe des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation
E
11
Nouvelle Calédonie 2014
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère l'algorithme suivant, où A et B sont des entiers naturels tels que A < B :
221x − 331y = 1.
(E )
(b) Vérifier que le couple (3 ; 2) est une solution de l'équation (E).
Entrées :
A et B entiers naturels tels que A < B
En déduire l'ensemble des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Variables :
D est un entier
3. On considère les suites d'entiers naturels (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par
Les variables d'entrées A et B
u n = 2 + 221n
et

 v
0
 v
n+1
Traitement :
Affecter à D la valeur de B − A
Tant que D > 0
=
3
=
v n + 331
(a) Exprimer v n en fonction de l'entier naturel n .
(b) Déterminer tous les couples d'entiers naturels (p ; q) tels que
up = v q ,
B prend la valeur de A
0 ⩽ p ⩽ 500
et
0 ⩽ q ⩽ 500 .
A prend la valeur de D
Si B > A Alors
D prend la valeur de B − A
Sinon
D prend la valeur de A − B
Fin Si
Fin Tant que
E
12
Antilles 2015
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
Pour deux entiers naturels non nuls a et b , on note r (a, b) le reste dans la division euclidienne
de a par b .
Sortie :
Afficher A
On considère l'algorithme suivant :
Page 8
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Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Variables :
Entrées :
c est un entier naturel
Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier x correspondant dans le tableau ci-
a et b sont des entiers naturels non nuls
dessus.
Demander a
Étape 3 : on calcule l'entier x ′ défini par les relations
Demander b
Traitement :
x ′ ≡ px + q
Affecter à c le nombre r (a, b)
Tant que c ̸= 0
et 0 ⩽ x ′ ⩽ 25.
Étape 4 : à l'entier x ′ , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
Affecter à a le nombre b
Affecter à b la valeur de c
1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2 .
Affecter à c le nombre r (a, b)
Fin Tant que
Sortie :
[26]
(a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
Afficher b
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 26 et b = 9 en indiquant les valeurs de a , b et c à
chaque étape.
(b) Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs u et v tels que
9u + 26v = 1 . Donner sans justifier un couple (u, v) qui convient.
2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b .
(c) Démontrer que x ′ ≡ 9x + 2
Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux ou
(d) Décoder la lettre R.
[26] équivaut à x ≡ 3x ′ + 20
[26] .
non.
2. Dans cette question, on choisit q = 2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D.
Partie B
Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique).
À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre
3. Dans cette question, on choisit p = 13 et q = 2 . Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de
0 et 25.
ce codage ?
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
E
13
Centres Étrangers 2015
. correction
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
x2 + y 2 = z 2.
Étape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 25 .
Page 9
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils
x < y < z.
mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 .
Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015
Partie A : généralités
1. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet
(px, p y, pz) est lui aussi un TP.
1. Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier 2 015 puis, en utilisant le TP donné dans
le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2 015) .
(
2. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x , y et z ne peuvent pas être
)2
(
)2
2. On admet que, pour tout entier naturel n , (2n + 1)2 + 2n 2 + 2n = 2n 2 + 2n + 1 .
tous les trois impairs.
Déterminer un TP de la forme (2 015, y, z) .
3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s'écrire d'une façon unique
3. (a) En remarquant que 4032 = 169 × 961 , déterminer un couple d'entiers naturels non nuls
sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair :
(x, z) tels que : z 2 − x 2 = 4032 , avec x < 403 .
n = 2α × k où α est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.
(b) En déduire un TP de la forme (x, 2 015, z) .
L'écriture n = 2α × k est nommée décomposition de n .
E
14
Métropole septembre 2015
. correction
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 20 × 9,
120 = 23 × 15 .
Partie A
(a) Donner la décomposition de l'entier 192 .
On considère l'équation (E) : 15x − 26k = m où x et k désignent des nombres entiers relatifs et
α
(b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x = 2 × k et
m est un paramètre entier non nul.
z = 2β × m .
1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v) tel que
Écrire la décomposition des entiers naturels 2x 2 et z 2 .
(c) En examinant l'exposant de 2 dans la décomposition de 2x 2 et dans celle de z 2 , montrer
qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x 2 = z 2 .
15u − 26v = 1 .
Trouver un tel couple.
2. En déduire une solution particulière (x 0 ; k0 ) de l'équation (E).
On admet que la question A - 3. permet d'établir que les trois entiers naturels x , y et z sont deux
à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite,
3. Montrer que (x ; k) est solution de l'équation (E) si et seulement si
pour tout TP (x, y, z) , les trois entiers naturels x , y et z seront rangés dans l'ordre suivant :
15 (x − x 0 ) − 26 (k − k 0 ) = 0 .
Page 10
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples (x ; k) d'entiers relatifs
tels que :
(a) Montrer alors qu'il existe un entier relatif k tel que 15x − 26k = y − 7 .
(b) En déduire que x = 7y + 3 (mod 26 ).

 x
 k
=
26q + 7m
=
15q + 4m
(c) En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
Z
où q ∈ .
3. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B.
Décoder le mot WHL.
Partie B
On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau
4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres
différentes.
ci-dessous.
E
15
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Polynésie septembre 2015
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S(n) le nombre égal à la somme des diviseurs
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
positifs de n .
On définit un système de codage :
1. Vérifier que S(6) = 12 et calculer S(7) .
□
à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier x correspondant,
□
on associe ensuite à x l'entier y qui est le reste de la division euclidienne de 15x + 7 par
2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, S(n) ⩾ 1 + n .
26 ,
(b) Quels sont les entiers naturels n tels que S(n) = 1 + n ?
3. On suppose dans cette question que n s'écrit p × q où p et q sont des nombres premiers
□
on associe à y la lettre correspondante.
distincts.
Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la
lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P.
(a) Démontrer que S(n) = (1 + p)(1 + q) .
(b) On considère la proposition suivante :
1. Coder le mot MATHS.
« Pour tous entiers naturels n et m non nuls distincts,
2. Soit x le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et y le reste de la
S(n × m) = S(n) × S(m) ».
division euclidienne de 15x + 7 par 26 .
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Page 11
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(
4. On suppose dans cette question que l'entier n s'écrit p k , où p est un nombre premier et k un
)
233 − 1 ÷ 3
nombre entier naturel non nul.
2863311530
(
(a) Quels sont les diviseurs de n ?
(b) En déduire que S(n) =
1 − p k+1
.
1−p
)
233 − 1 ÷ 4
2147483648
(
)
233 − 1 ÷ 12
5. On suppose dans cette question que n s'écrit p 13 × q 7 , où p et q sont des nombres premiers
715827882,6
distincts.
(a) Soit m un entier naturel.
(
Démontrer que m divise n si, et seulement si, il existe deux nombres entiers s et t avec
)
(
)
(
)
Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1 .
0 ⩽ s ⩽ 13 et 0 ⩽ t ⩽ 7 tels que m = p s × q t .
(b) Démontrer que S(n) =
1 − p 14 1 − q 8
×
.
1−p
1−q
(a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?
(
E
)
(b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1 .
16
Pondichéry 2015
. correction
Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité
(c) En remarquant que 2 ≡ −1
[3] , montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1 .
n
Les nombres de la forme 2 − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de
Mersenne.
( )2
( )3
( )10
(d) Calculer la somme S = 1 + 23 + 23 + 23 + · · · + 23
.
1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que
(e) En déduire que 7 divise 233 − 1 .
PGCD (b ; c) = 1 .
Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a .
3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1 . Est-il premier ? Justifier.
2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1 .
4. On donne l'algorithme suivant où MOD (N, k) représente le reste de la division euclidienne de
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
N par k .
Page 12
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Variables :

20


2
3
1. Déterminer la matrice M . On donne M = 12

42
n entier naturel supérieur ou égal à 3
k entier naturel supérieur ou égal à 2
Initialisation :
Demander à l'utilisateur la valeur de n .
Affecter à k la valeur 2.
Traitement :

10
2
20
11


9 .

21
2. Vérifier que M3 = M2 + 8M + 6I .
p
Tant que MOD(2n − 1, k) ̸= 0 et k ⩽ 2n − 1
3. En déduire que M est inversible et que M−1 =
Affecter à k la valeur k + 1
)
1( 2
M − M − 8I .
6
Fin de Tant que.
Sortie :
Afficher k .
Partie B Étude d'un cas particulier
p
Si k > 2n − 1
On cherche à déterminer trois nombres entiers a , b et c tels que la parabole d'équation
Afficher « CAS 1 »
y = ax 2 + bx + c passe par les points A(1 ; 1), B (−1 ; −1) et C(2 ; 5).
Sinon
Afficher « CAS 2 »
1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a , b et c tels que
Fin de Si
   
a
1
   
   
M b  = −1 .
   
c
5
(a) Qu'affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?
(b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre
k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
2. Calculer les nombres a , b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.
(c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Partie C Retour au cas général
Amerique du Nord 2015
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les nombres a , b , c , p , q , r sont des entiers.

1


On donne les matrices M = 1

4
On cherche des valeurs de p , q et r pour qu'il existe une parabole d'équation y = ax 2 + bx + c
E
Partie A
17

1
−1
2

1




1 et I = 0


1
0
1

0
1
0
0


0 .

1
(
)
Dans un repère O ;⃗ı,⃗ȷ , on considère les points A (1 ; p) , B (−1 ; q) et C (2 ; r ) .
passant par A, B et C.
 
 
a
p
 
 
 
−1  
1. Démontrer que si b  = M  q  . avec a , b et c entiers. alors
 
 
c
r
Page 13
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique



−3p + q + 2r


3p − 3q



 6p + 2q − 2r

 q −r
2. En déduire que
 p −q
≡
0 [3]
≡
0 [2]
≡
0 [6]
≡
0 [6]
≡
0 [6]
.



q − r ≡ 0 [3]


3. Réciproquement, on admet que si
p − q ≡ 0 [2]



 A, B, C ne sont pas alignés
alors il existe trois entiers a , b et c tels que la parabole d'équation y = ax 2 + bx + c passe par
les points A, B et C.
(a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si 2r + q − 3p = 0 .
(b) On choisit p = 7 . Déterminer des entiers q , r , a , b et c tels que la parabole d'équation
y = ax 2 + bx + c passe par les points A, B et C.
Page 14
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Donc un = 2n + 3n + 6n − 1 ≡ 0 + 1 + 0 − 1 ≡ 0 mod 2
.
Correction
u n est donc pair.
E
1
. énoncé
Enseignement de spécialité
Ou encore 2n et 6n sont pairs ; 3n et 1 sont impairs, donc leur différence est paire et par somme
Amerique du Nord 2011
u n est pair.
3. n est pair : il existe donc k ∈
Partie A : Restitution organisée de connaissances
N∗ tel que n = 2k .
On peut donc écrire : u n = u 2k = 22k +32k +62k −1 = 4k +9k +22k ×32k −1 = 4k +4k ×9k +9k −1 .
Soient a, b et c trois entiers non nuls ; supposons que a divise le produit bc et que a et b soient
Comme 4 ≡ 0 mod 4, 4k ≡ 0 mod 4 ;
premiers entre eux.
4k × 9k ≡ 0 mod 4 ;
Il existe donc un entier k tel que bc = ka . D'autre part puisque a et b soient premiers entre
9 ≡ 1 mod 4 , donc 9k ≡ 1 mod 4 , d'où par somme :
eux, il existe d'après le théorème de Bezout deux entiers u et v tels que : au + bv = 1 ou en
u 2k ≡ 0 + 0 + 1 − 1 = 0 mod 4 , c'est-à-dire que u 2k est un multiple de 4.
multipliant par c non nul :
acu + bc v = c et en remplaçant bc par ka :
acu + kav = c ⇐⇒ a(cu + kv) = c .
4. On a vu que 2 divise u 1 , que 3 divise u 2 , que 5 divise u 3 et 7 divise u 5 .
Donc 2, 3, 5 et 7 appartiennent à l'ensemble (E)
5. (a) D'après le théorème de Fermat, 2 étant premier avec p , on a 2p−1 ≡ 1 mod p .
Cette égalité montre que a divise c .
Partie B
1. On calcule : u 1 = 2 + 3 + 6 − 1 = 10 ;
u 2 = 4 + 9 + 36 − 1 = 48 ;
u 3 = 8 + 27 + 216 − 1 = 250 ;
u 4 = 16 + 81 + 1 296 − 1 = 1 392 ;
Donc 6 × 2p−2 = 3 × 2p−1 ⇐⇒ 3 mod p .
D'autre part 3 étant premier avec p, 3p−1 ≡ 1 mod p .
Donc 6 × 3p−2 = 2 × 3p−1 ≡ 2 mod p .
(
)
(b) Par définition : 6u p−2 = 6 2p−2 + 3p−2 + 6p−2 − 1 =
6 × 2p−2 + 6 × 3p−2 + 6p−1 − 6 .
On a vu que 6 × 2p−2 ≡ 3 mod p , que 6 × 3p−2 ≡ 2 mod p et on a 6p−1 ≡ 1 mod p car p
u 5 = 32 + 243 + 7 776 − 1 = 8 050 ;
premier avec 2 et 3 est premier avec 6.
u 6 = 64 + 729 + 46 656 − 1 = 47 448 .
Donc 6 × u p−2 ≡ 3 + 2 + 1 − 6 mod p soit 6 × u p−2 ≡ 0 mod p .
2. On a : 2 ≡ 0 mod 2 =⇒ 2n ≡ 0 mod 2 ;
(c) On vient de démontrer que 6 × u p−2 ≡ 0 mod p : donc p divise
3 ≡ 1 mod 2 =⇒ 3n ≡ 1 mod 2 ;
6×u p−2 , mais p et 6 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss p divise u p−2 .
6 ≡ 0 mod 2 =⇒ 6n ≡ 0 mod 2 .
Conclusion : tout entier p premier appartient à l'ensemble (E)
Page 15
TS-spe
E
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
2
(b) On calcule aisément :
Antilles 2011
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. (a) Les entiers 11 et 7 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe
un couple (u ; v) d'entiers relatifs tels que 11u − 7v = 1 . Par ailleurs 11 × 2 − 7 × 3 = 1 , le couple
(2 ; 3) répond alors à la question.
Modulo 5, x est congru à
0
1
2
3
4
Modulo 5, x 2 est congru à
0
1
4
4
1
Modulo 5, y est congru à
0
1
2
3
4
2
0
2
3
3
2
Modulo 5, 2y est congru à
(b) On a, en multipliant chaque membre de la dernière égalité par 5,
Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x 2 par 5 sont donc 0, 1 et 4. De même,
11 × 10 − 7 × 15 = 5 . Le couple (10 ; 15) est donc une solution particulière de (E).
les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 2y 2 par 5 sont 0, 2 et 3.
(c) Soit (x ; y) une solution de (E), alors 11x − 7y = 11 × 10 − 7 × 15 , d'où :
11(x − 10) = 7(y − 15).
(1)
7 divise 11(x − 10) et est premier avec 11, donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise x − 10 :
(c) Si (x ; y) est solution de (F), alors x 2 ≡ 2y 2 (5) ce qui n'est possible, d'après les tableaux
précédents, que si x ≡ 0 (5) et y ≡ 0 (5) , c'est-à-dire si x et y sont des multiples de 5.
il existe donc un entier relatif k tel que x − 10 = 7k . En remplaçant x − 10 par 7k dans (1), puis
3. Supposons que x et y sont deux entiers multiples de 5. Alors il existe des entiers a et b tels que
en simplifiant, on en déduit que y − 15 = 11k . Ainsi, si (x ; y) est solution de (E), alors néces-
x = 5a et y = 5b . En « réinjectant » cela dans l'équation (F) on a alors : 11×25a 2 −7×25b 2 = 5 ,
sairement (x ; y) est de la forme (10 + 7k ; 15 + 11k) avec k ∈
c'est-à-dire 25(11a 2 −7b 2 ) = 5 , ce qui est impossible (5 n'est pas multiple de 25 !). L'équation (F)
Z . Réciproquement, on vérifie
ne possède donc aucune solution.
aisément que de tels couples sont bien solutions de (E).
D à coordonnées entières appartient à C si et seulement si



x∈ ; y∈


 (x ; y) solution de (E)
⇔
On cherche donc tous les entiers
11x − 7y = 5

 0 ⩽ x ⩽ 50 ; 0 ⩽ y ⩽ 50


 0 ⩽ x ⩽ 50 ; 0 ⩽ y ⩽ 50
(d)
 Un point de
Z
Z
relatifs k tels que 0 ⩽ 10 + 7k ⩽ 50 et 0 ⩽ 15 + 11k ⩽ 50 , ce qui équivaut à −
−
50
10
⩽k ⩽
et
7
7
15
35
⩽k ⩽
. Les seules valeurs possibles de k sont −1 , 0 , 1 , 2 et 3 . Il y a donc cinq points
11
11
de C donc les coordonnées sont entières :
A(3 ; 4)
B(10 ; 15)
C(17 ; 26)
D(24 ; 37)
2
2
3
. énoncé
Enseignement de spécialité
Polynésie 2011
1. u 1 = 10u0 + 21 or u 0 = 1 donc u 1 = 10 × 1 + 21 = 31 ;
u 2 = 10u 1 + 21 = 10 × 31 + 21 = 331 ;
u 3 = 10u 2 + 21 = 10 × 31 + 21 = 3331 .
E(31 ; 48).
2. (a) On a 11 ≡ 1 (5) , 7 ≡ 2 (5) et 5 ≡ 0 (5) , par conséquent, si le couple (x ; y) est solution
2
E
2. (a)
2
de (F), en « passant » aux congruences : 11x − 7y = 5 devient x − 2y ≡ 0 (5) , c'est-à-dire
x 2 ≡ 2y 2 (5) .
• Initialisation 100+1 −7 = 10−7 = 3 = 3×1 = 3u 0 donc on a bien la propriété vraie au rang 0.
Page 16
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(
• Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n , 3u n = 10n+1 − 7 alors
)k
(b) Pour tout naturel k , 3u 16k+8 = 1016k+9 − 7 = 101 6 × 109 − 7 ≡ 1k × 109 − 7 (modulo 17).
Or 6 × 17 = 102 donc 102 ≡ −2 (modulo 17) donc
3u n+1 = 3(10u n + 21) = 10 × (3u n ) + 63 = 10(10n+1 − 7) + 63
= 10(n+1)+1 − 70 + 63 = 10(n+1)+1 − 7 .
(
)4
109 = 10 × 102 ≡ 10(−2)4 ≡ 10 × 16 ≡ 10(−1) ≡ −10 et donc
La propriété est donc bien héréditaire.
3u 16k+8 ≡ −10 − 7 ≡ −17 ≡ 0 (modulo 17) donc 17 divise 3u 16k+8 . Or 17 est premier avec 3 et
d'après le théorème de Gauss, 17 divise u 16k+8 .
• La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout naturel
n : 3u n = 10n+1 − 7 .
(b) Pour tout naturel n , 10n+1 − 7 = 1 0| .{z
. . 0} −7 = 9
. . 9} 3 , donc par division par 3,
| .{z
10n+1 − 7
=3
. . 3} 1 .
| .{z
3
n+1
un =
n
p
331 ≈ 18, 2 or 331 n'est divisible ni par 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 : les nombres
premiers inférieurs ou égaux à 18. u 2 est donc premier.
Le chiffre des unités de un est 1, impair, donc 2 ne divise pas u n .
•
La somme de ses chiffres est 3 + 3 + ... + 3 + 1 ≡ 1 (modulo 3) donc 3 ne divise pas u n .
•
Le chiffre des unités de un est 1, différent de 0 et 5, donc 5 ne divise pas u n .
Métropole 2011
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. D'après le théorème de Bézout, il existe deux
entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 .
4. D'après 2.a., pour tout naturel n , u n = 33...31 avec n chiffres 3
•
4
PARTIE A - Restitution organisée de connaissances
n
3. u 2 = 331 avec
E
En multipliant par c , on obtient auc + bc v = c .
On suppose que a divise bc ; alors a divise bc v et comme a divise auc , a divise la somme
auc + bc v , donc a divise c .
2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Soit a relatif tel
que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q] .
Alors, il existe k et k ′ relatifs tels que a = kp et a = k ′ q d'où kp = k ′ q .
(a) 10 = −1 + 11 et −7 = 4 − 11 donc 10 ≡ −1 et −7 ≡ 4 (modulo 11),
p divise k ′ q et p est premier avec q , donc, d'après le théorème de Gauss, p divise k ′ . Il existe
donc 3u n = 10n+1 − 7 ≡ (−1)n+1 + 4 ≡ (−1)1 (−1)n + 4 ≡ 4 − (−1)n (modulo 11)
k ′′ ∈ Z , k ′ = pk ′′ .
(b) Si u n était divisible par 11 alors 3u n le serait a fortiori, or pour n pair 3u n ≡ 4 − 1 ≡ 3
Alors a = k ′ q = k ′′ pq d'où a ≡ 0 [pq] .
(modulo 11) et pour n impair 3u n ≡ 4 − (−1) ≡ 5 (modulo 11) donc 11 ne divise pas u n .
5. (a) 17 est un nombre premier qui ne divise pas 16 donc d'après le petit théorème de Fermat,
1016 ≡ 1 (modulo 17).
PARTIE B
On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :
Page 17
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique

 n
 n
(b) On en déduit que, si n ∈ S , n ≡ n 0 [85] donc n ≡ 213 [85] .
≡
9
[17]
≡
3
[5]
Or 213 = 170 + 43 = 2 × 85 + 43 ≡ 43 [85] donc 213 ≡ 43 [85] .
Par conséquent : n ∈ S ⇐⇒ n ≡ 43 [85] donc n = 43 + 85k , k ∈ Z .
1. Recherche d'un élément de S .
Réciproquement, si n ≡ 43 + 85k , k ∈ Z , il est clair que n ≡ 9 [17] et n ≡ 3 [5] .
On désigne par (u ; v) un couple d'entiers relatifs tel que 17u + 5v = 1 .
3. Application :
(a) 17 et 5 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe u et v entiers
Soit n le nombre de jetons. On a : n ≡ 9 [17] et n ≡ 3 [5] .
relatifs tels que 17u + 5v = 1 .
D'après ce qui précède, on a : n = 43 + 85k .
On sait que 300 ⩽ n ⩽ 400 , donc 300 ⩽ 43 + 85k ⩽ 400 . On en déduit que k = 4 et que Zoé a
383 jetons.
(b) On pose n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v .
Soit (u ; v) un couple solution, donc 17u +5v = 1 . On en déduit que 17u ≡ 1 [5] et 5v ≡ 1 [17] .
Alors n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v ≡ 9 × 5v [17] ≡ 9 × 1 [17] ≡ 9 [17] .
De même : n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v ≡ 3 × 17u [5] ≡ 3 × 1 [5] ≡ 3 [5] .
Par conséquent, n 0 ∈ S .
(c) Appliquons l'algorithme d'Euclide :
17 = 3 × 5 +2 et 5 = 2 × 2 + 1 , d'où 1 = 5 − 2 × 2
= 5 − (17 − 5 × 3) × 2 = 17 × (−2) + 5 × 7 .
On peut prendre (u ; v) = (−2 ; 7) .
On obtient alors n0 = 213 (ce n'est évidemment pas la seule valeur !)
2. Caractérisation des éléments de S .
E
5
Pondichéry 2012
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Restitution organisée de connaissance
Partie B
Inverse de 23 modulo 26
1. 23 × (−9) − 26 × (−8) = −207 + 208 = 1 : le couple (−9 ; −8) est solution de l'équation (E) .

 23x − 26y
2.
 23 × (−9) − 26 × (−8)
=
1
=
1
=⇒ (par différence membre à membre)
23(x + 9) − 26(y + 8) = 0 ⇐⇒ 23(x + 9) = 26(y + 8)
(1)
Donc 23 divise 26(y + 8) et comme il est premier avec 26 ; il divise y + 8 (théorème de Gauss) :
il existe donc un entier k tel que y + 8 = 23k ⇐⇒ y = −8 + 23k .
En remplaçant dans (1) y + 8 par 23k , on obtient :
(a) Soit n un entier relatif appartenant à S .
23(x + 9) = 26 × 23k ⇐⇒ x + 9 = 26 ⇐⇒ x = −9 + 26k .
n ≡ 9 [17] et n 0 ≡ 9 [17] donc n − n 0 ≡ 0 [17] .
Réciproquement les couples (−9 + 26k ; −8 + 23k) vérifient (E) car
De même, n ≡ 3 [5] et n0 ≡ 3 [5] donc n − n 0 ≡ 0 [5] .
23(−9 + 26k) − 26(−8 + 23k) = −207 + 23 × 26k + 208 − 26 × 23k = 1 .
17 et 5 sont premiers entre eux, donc d'après la partie A, n − n 0 ≡ 0 [85] (car 5 × 17 = 85 ).
Les couples solutions de (E) sont donc de la forme : (−9 + 26k ; −8 + 23k), k ∈ n .
Z
Page 18
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
3. Il faut trouver un (ou des) couple(s) de premier terme a tel que 0 ⩽ a ⩽ 25 , donc vérifiant :
(b) On a vu à la partie B que 23 × 17 ≡ 1 (mod 26) (23 a pour inverse 17 modulo 26), donc en
0 ⩽ −9+26k ⩽ 25 ⇐⇒ 9 ⩽ 26k ⩽ 34 . La solution k = 1 est évidente ce qui donne a = −9+26 =
multipliant chaque membre du système (S 2 ) par 17, on obtient
17 .
Donc comme 26b ≡ 0 (mod 26) , on a 23 × 17 ≡ 1 (mod 26) .
Partie C

 23x × 17
1
(S 2 ) ⇐⇒
 23x × 17

 x
1
 x
Chiffrement de Hill
2
2
1.
ST
|{z}
étape 2
étape 3
=⇒ (18, 19) =⇒ (21, 20) =⇒
mot en clair

 −44x − 12x
1
2
 21x + 12x
1
2
2
≡
11x 1 + 3x 2
(mod 26)
≡
7x 1 + 4x 2
(mod 26)
=
−4y 1
(mod 26)
=
3y 2
(mod 26)
−23x 1 = −4y 1 + 3y 2
2
2
19y 1 × 17 + 11y 2 × 17
(mod 26)
68y 1 + 391y 2
(mod 26)
≡
323y 1 + 187y 2
(mod 26)
391 ≡ 1 (mod 26),
=⇒

 x
1
(S 3 )
 x
2
=⇒ (par somme)
=⇒
323 ≡ 11 (mod 26),
≡
16y 1 + y 2
(mod 26)
≡
11y 1 + 5y 2
(mod 26)
(
)
(
)
(c) On calcule 11x 1 + 3x 2 = 11 16y 1 + y 2 + 3 11y 1 + 5y 2 = 176y 1 + 11y 2 + 33y 1 + 15y 2 =
209y 1 + 26y 2 .
De même :
1
≡
vérifie les équations du système
(mod 26) .

 y
≡ 11x 1 + 3x 2
1
(S 1 )
 y
≡ 7x 1 + 4x 2
2

 −77x − 21x
= −7y 1
1
2
 77x + 44x
= 11y
(mod 26)
187 ≡ 5 (mod 26) , donc finalement tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système (S 2 ) ,
mot codé

 y
1
(S 1 )
 y
2. (a)
VU
|{z}
4y 1 × 17 + 23y 2 × 17
≡
Or 68 ≡ 16 (mod 26),
étape1
≡
(mod 26)
(mod 26)
(mod 26)
(mod 26)
Or 209 ≡ 1 (mod 26) et 26 ≡ 0 (mod 26) , donc
=⇒
11x 1 + 3x 2 ≡ 1y 1 + 0y 2 (mod 26) .
(
)
(
)
De même 7x 1 +4x 2 = 7 16y 1 + y 2 +4 11y 1 + 5y 2 = 112y 1 +7y 2 +44y 1 +20y 2 = 156y 1 +27y 2 .
=⇒ (par somme)
Or 146 ≡ 0 (mod 26) et 27 ≡ 1 (mod 26) , donc
23x 2 = −7y 1 + 11y 2 (mod 26) ou encore puisque
7x 1 + 4x 2 ≡ 0y 1 + 1y 2 (mod 26) .
−7 ≡ 19 (mod 26) :
Conclusion : tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système (S 3 ) , vérifie les équations du
23x 2 = 19y 1 + 11y 2 (mod 26) .
système (S 1 ) .
Donc, tout couple (x 1 ; x 2 ) vérifiant les équations du système (S 1 ) , vérifie les équations du sys-
Finalement les systèmes (S 1 ) et (S 3 ) sont équivalents.
tème :
(

 23x
1
(S 2 )
 23x
2
)
(d) Pour YJ le couple y 1 ; y 2 = (24 ; 9) . En appliquant les équations de (S 3 ) on obtient :
≡
4y 1 + 23y 2
(mod 26)
≡
19y 1 + 11y 2
(mod 26)

 x
1
 x
2
Page 19
≡
16 × 24 + 9
(mod 26)
≡
11 × 24 + 5 × 9
(mod 26)

 x
1
⇐⇒
 x
2
≡
393
(mod 26)
≡
309
(mod 26)
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Or 393 = 26 × 15 + 3 , donc 393 ≡ 3 (mod 26) ;
2. (a) On suppose que a n'est pas un multiple de 7.
309 = 26 × 11 + 23 , donc 269 ≡ 23 (mod 26) .
7 est premier et a n'est pas un multiple de 7 donc d'après le petit théorème de Fermat on a
On a donc (x 1 ; x 2 ) = (3 ; 23) et en utilisant le tableau le mot décodé est donc DX.
a 6 ≡ 1 [7] .
(
De plus 108 = 6 × 18 donc a 108 = a 6
E
6
(
. énoncé
On a donc a 25
Polynésie 2012
)g
= a 25g
)18
≡ 118 [7] ≡ 1 [7] .
)c
(
= a 1+108c a × a 108 ≡ a × 1c [7] ≡ a [7] .
Partie A
(b) On suppose que a est un multiple de 7.
On considère l'équation (E) : 25x − 108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
On a alors a ≡ 0 [7] et a 25g = a 25
(
)g
( )g
≡ 0 (7] donc a 25 ≡ a [7] .
(
(c) On admet que pour tout entier naturel a , a 25
)g
≡ a [19] .
)g
D'après les questions a. et b. on sait que l'on a aussi a 25 ≡ a [7] on peut donc en appliquant le
(
)g
( )g
résultat de la question 1. à x = a 2 5 démontrer que a 25 ≡ a [133] .
1. 25×13−108×3 = 325−224 = 1 , le couple (13 ; 3) est bien solution de l'équation 25x −108y =
(
1.
2. (x 0 ; y 0 ) = (13 ; 3) est une solution particulière de l'équation (E).
(x ; y) est solution de (E) équivaut à 25(x − x 0 ) = 108(y − y 0 ) avec 25 et 108 premier entre eux
Partie C
donc 108 divise x − x 0
On note A l'ensemble des entiers naturels a tels que : 1 ⩽ a ⩽ 26 .
On a donc x − x 0 = 108k avec k entier relatif d'où alors y − y 0 = 25k .
Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.
{
L'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) est (13 + 108k ; 3 + 25k)⧸k ∈
}
Z
.
La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l'entier r tel que a 25 ≡ r [133]
avec 0 ⩽ r < 133 .
La phase de décodage consiste à associer à r , l'entier r 1 tel que r 13 ≡ r 1 [133] avec 0 ⩽ r 1 < 133 .
(
Partie B
1. r 1 ≡ r 13 [133] ≡ a 25
)13
[133] avec (g , c) = (13 ; 3) vérifiant la relation 25g − 108c = 1
Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels
d'après la partie A.
vérifiant la relation 25g − 108c = 1 .
D'où d'après la question 2.c. de la partie B, a 25
(
)13
[133] ≡ a [133] donc finallement on bien
r 1 ≡ a [133] .
1. Soit x un entier naturel.
Si x ≡ a [7] alors x − a est divisible par 7 . De même x ≡ a [19] entraîne x − a divisible par 19 .
2. 128 ≡ −5 [133] donc 12813 ≡ −513 [133] ≡ −131 [133] ≡ 2 [133]
Or 7 et 19 sont premiers entre eux donc x − a divisible par 7 × 19 = 133 . Ce qui s'écrit encore
)3
(
594 ≡ 130 [133] ≡ −3 [133] donc 5913 = 594 × 59 ≡ −33 × 59 [133] ≡ −130 [133] ≡ 3 [133]
x ≡ a [133] .
Le message initiale était donc :
Donc si x ≡ a [7] et x ≡ a [19] , alors x ≡ a [133] .
Page 20
2
3.
TS-spe
E
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
7
Amerique du Nord 2013
. énoncé
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
2. Dans cet algorithme, on retire le nombre b du nombre a autant de fois que l'on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l'on a retiré b et ce qui reste dans a ; cet algorithme fournit donc
le quotient (dans c ) et le reste (dans a ) de la division de a par b .
Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
a est un entier naturel
Partie B
b est un entier naturel
c est un entier naturel
Initialisation :
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris
Affecter à c la valeur 0
entre 0 et 25 .
Demander la valeur de a
Traitement :
Demander la valeur de b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Tant que a ⩾ b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Affecter à c la valeur c + 1
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Affecter à a la valeur a − b
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Fin de tant que
Sortie :
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Afficher c
Afficher a
1. En faisant tourner l'algorithme avec a = 13 et b = 4 , on obtient :
Variables
a
b
Initialisation
Étape 1 :
À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre m correspondant dans le tableau.
Étape 2 :
On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et on le note p .
Étape 3 :
Au nombre p , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
c
0
1. On va coder la lettre U.
Entrées
13
4
0
Étape 1 :
La lettre U correspond à m = 20.
Traitement
9
4
1
Étape 2 :
9m + 5 = 9 × 20 + 5 = 185 ; le reste de la division de 185 par 26 est p = 3.
5
4
2
Étape 3 :
Au nombre p = 3, on associe la lettre D.
1
4
3
Sortie
On affiche la valeur de c : 3
On affiche la valeur de a : 1
Donc la lettre U se code en D.
2. On modifie l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il
affiche la valeur de p , calculée à l'aide du procédé de codage précédent :
Page 21
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Variables :
Étape 1 :
m est un entier naturel
À la lettre que l'on veut décoder, on associe le nombre p correspondant dans le tableau.
p est un entier naturel
Initialisation :
Traitement :
Demander la valeur de m
Étape 2 :
On calcule le reste de la division euclidienne de 3p − 15 par 26 et on le note m .
Affecter à p la valeur 9m + 5
Étape 3 :
Au nombre m , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
Tant que p ⩾ 26
Pour décoder la lettre B :
Étape 1 :
À la lettre B, on associe le nombre p = 1.
Fin de tant que
Étape 2 :
3p − 15 = −12 ≡ 14 [26] donc m = 14.
Afficher p
Étape 3 :
Au nombre m = 14, on associe la lettre O.
Affecter à p la valeur p − 26
Sortie :
Donc la lettre B se décode en la lettre O.
Partie C
1. On sait que 9 × 3 = 27 ≡ 1 [26] ; donc pour x = 3 , on a 9x ≡ 1 [26] .
2. 9m + 5 ≡ p [26] =⇒ 27m + 15 ≡ 3p [26] ⇐⇒ 27m ≡ 3p − 15 [26]
Or 27 ≡ 1 [26] donc 27m ≡ m [26]

27m ≡ 3p − 15 
=⇒ m ≡ 3p − 15 [26]
27m ≡ m [26] 
E
Nouvelle Calédonie 2013
. énoncé
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. On cherche tous les entiers x de E tels que g (x) = x :
g (x) = x ⇐⇒ 4x + 3 ≡ x (mod 27) ⇐⇒ 3x ≡ −3 (mod 27)
ce qui veut dire que 3x s'écrit −3 + 27k où k ∈
x ∈ E ⇐⇒
Réciproquement :
or 3x = −3 + 27k donc
m ≡ 3p − 15 [26] ⇐⇒ m + 15 ≡ 3p [26] =⇒ 9m + 135 ≡ 27p [26]
On peut donc dire que : 9m + 5 ≡ p [26] ⇐⇒ m ≡ 3p − 15 [26] .
3. Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
0 ⩽
x
⩽ 26
0 ⩽
3x
⩽ 81
Z.
0 ⩽ −3 + 27k ⩽ 81
3 ⩽
3
⩽
27
Or 27 ≡ 1 [26] donc 27p ≡ p [26] ; de plus 135 = 5 × 26 + 5 donc 135 ≡ 5 [26] .
135 ≡ 5 [26] =⇒ 9m + 135 ≡ 9m + 5 [26]


9m + 135 ≡ 9m + 5 [26] 


=⇒ 9m + 5 ≡ p [26]
27p
≡ p [26]




9m + 135 ≡ 27p [26]
8
27k
k
⩽ 84
⩽
84
27
{
}
Or k est entier donc k ∈ 1 , 2 , 3 .
Pour k = 1 , 3x = −3 + 27 = 24 donc x = 8 ;
pour k = 2 , 3x = −3 + 54 = 51 donc x = 17 ;
pour k = 3 , 3x = −3 + 81 = 78 donc x = 26 .
Les éléments de E invariants par g sont 8, 17 et 26.
Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à 8,17 et 26 donc ce
sont les caractères i , r et ⋆ .
Page 22
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
2. Soient x et y deux éléments de E tels que y ≡ 4x + 3 (mod 27) .
□
24x ⩽ 438 d'où x ⩽
438
= 18,25 , donc x ⩽ 18 ;
24
□
45y ⩽ 438 d'où y ⩽
438
≈ 9,73 , donc y ⩽ 9 .
45
y ≡ 4x + 3 (mod 27) ⇐⇒ 7y ≡ 28x + 21 (mod 27) ;
or 21 ≡ −6 (mod 27) et 28 ≡ 1 (mod 27) donc 28x ≡ x (mod 27)
7y ≡ 28x + 21 (mod 27) ⇐⇒ 7y ≡ x − 6 (mod 27) ⇐⇒ 7y + 6 ≡ x (mod 27)
(b) Voici l'algorithme complété :
⇐⇒ x ≡ 7y + 6 (mod 27)
On suppose qu'il existe deux caractères x et x ′ de E qui se codent par le même caractère y de
Entrée :
x et y sont des nombres
E.
Traitement :
Pour x variant de 0 à 18
Pour y variant de 0 à 9 (2)
On a donc x ≡ 7y + 6 (mod 27) et x ′ ≡ 7y + 6 (mod 27) ce qui entraîne x ≡ x ′ (mod 27) donc
on peut écrire x = x ′ + 27k où k ∈
Si 24x + 45y = 438 (3)
Z.
′
(1)
Afficher x et y
′
Or 0 ⩽ x ⩽ 26 et 0 ⩽ x ⩽ 26 donc k = 0 et x = x .
Fin Si
Fin Pour
Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, donc deux caractères distincts
Fin Pour
sont codés par deux caractères distincts.
Fin traitement
3. Une méthode de décodage suit le même principe que la méthode de codage, en remplaçant
la fonction g par la fonction f qui, à chaque élément y de E , associe le reste de la division
(c) Le coût total de réservation étant de 438 €, et 438 étant égal à 146×3 , ce montant est multiple
euclidienne de 7y + 6 par 27.
de 3 !
4. On sait que la lettre s se code en la lettre v , donc la lettre v se décode en s .
(d)
(i)
tence d'un couple (x ; y) d'entiers relatifs tels que 8x + 15y = 1 .
La lettre f correspond au nombre y = 5 ; 7y + 6 = 7 × 5 + 6 = 35 + 6 = 41 .
Or 41 = 27 × 1 + 14 donc 14 est le reste de la division de 41 par 27.
(ii)
Le nombre 14 correspond à la lettre o .
On a de façon évidente 8 × 2 + 15 × (−1) = 1 , le couple (2 ; −1) est donc une solution
particulière.
Donc v f v se décode en s o s .
E
Les entiers 8 et 15 étant premiers entre eux, le théorème de Bézout entraîne l'exis-
(iii) On a 8 × 2 + 15 × (−1) = 1 , donc, en multipliant par 146 :
9
Antilles 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
8 × 292 + 15 × (−146) = 146.
Soit (x ; y) un autre couple solution de (E), alors :
1. (a)
x et y sont des entiers naturels tels que 24x + 45y = 438 , par conséquent :
8x + 15y = 8 × 292 + 15 × (−146) ⇐⇒ 8(x − 292) = 15(−y − 146).
Page 23
(1)
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
15 et 8 sont premiers entre eux et 15 divise 8(x − 292) , donc, d'après le théorème de
(N − 1)2 ≡ 1
Gauss, 15 divise x − 292 .
n × n3 ≡ 1
Il existe donc un entier relatif k tel que x −292 = 15k ⇐⇒ x = 292 +15k . La relation
(1) entraîne alors que 8 × 15k = 15(−y − 146) , d'où y = −146 − 8k .
(b) On a 52 = 25 = 26 − 1 , donc 52 ≡ −1 modulo 26 .
Donc k1 = 53 = 125 .
Réciproquement, de tels couples sont bien solutions de (E) car :
2. (a)
8(292 + 15k) + 15(−146 − 8k) = 146.
Z

6
12

 et A = 
2

19
6
18
7

 , donc 6A − A = 
2

5
0
0
5
 = 5I ( I matrice unité).
1
5
A est inversible et que son inverse est
(e) Soit x et y le nombre de nuitées passées respectivement dans les hébergements A et B, alors
24x +45y = 438 ⇔ 8x +15y = 146 . Il existe alors un entier relatif k tel que x = 292+15k , et par
1
6
1
A−1 = (6I − A) = I − A .
5
5
5
(c)
292
279
⩽k ⩽−
.
15
15

24
6A = 
18
modulo 26 .
(b) On a 6A−A2 = A(6I−A) = 5I ou encore A× (6I−A) = I : cette égalité montre que la matrice
{
}
L'ensemble des solutions de (E) est donc (292 + 15k ; −146 − 8k) où k ∈ .
0 ⩽ 292 + 15k ⩽ 13 ⇐⇒ −
modulo N .
La question précédente montre que 5 × 53 ≡ 1
Les couples solutions sont donc de la forme (292 + 15k ; −146 − 8k) .
ailleurs x ⩾ 0 et x ⩽ 13 , d'où :
modulo N et finalement car n 4 = n × n 3 ,

2
6
1
A−1 = I − A ⇐⇒ 5A−1 = 6I − A = 
5
5
−3
−1
4

=B.
Conclusion B = 5A−1 .
(d) En partant de l'égalité précédente :
292
279
Comme −
≈ −19,47 et −
= −18,6 , la seule possibilité est que k = −19 .
15
15
B = 5A−1 ⇐⇒ BA = 5A−1 A ⇐⇒ BA = 5I ⇐⇒ BAX = 5IX ⇐⇒
On en déduit que x = 292 + 15 × (−19) = 7 et que y = −146 − 8 × (−19) = 6 .
BY = 5X .
Ce randonneur a donc passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B.
Partie B : procédure de codage
E
10
Centres Étrangers 2014
. énoncé
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.


4
« ET » est codé par la matrice X =   .
Partie A : préliminaires
(
)2
1. (a) n 2 ≡ N − 1 modulo N =⇒ n 2 ≡ (N − 1)2
modulo N
Or (N − 1)2 = N2 − 2N + 1 et N2 ≡ 0 modulo N et −2N ≡ 0
modulo N , donc
19
 
 
35
9
Puis Y = AX =   , puis R =   et d'après le tableau « ET » est codé « JY ».
50
24
Partie C : procédure de décodage
Page 24
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique


y1
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y =   telle que : Y = AX .
y2
1.
 On a Y = AX
 5x
1
 5x
2
⇐⇒
=
2y 1 − y 2
=
−3y 1 + 4y 2
A−1 Y = X
⇐⇒
5A−1 Y = 5X = BY soit Y = AX
Entrées :
A et B entiers naturels tels que A < B
Variables :
D est un entier
⇐⇒
Les variables d'entrées A et B
Traitement :
2. La question 1. b. de la partie A a montré que 5 × 21 ≡ 1
Affecter à D la valeur de B − A
Tant que D > 0
modulo 26 . Donc en reprenant le
B prend la valeur de A
système de la question précédente et en multipliant par 21, on obtient :

(
)
 21 × 5x
= 21 × 2y 1 − y 2
1
(
)
 21 × 5x
= 21 × −3y 1 + 4y 2
2

 x
≡ 16y 1 + 5y 2 modulo 26
1
 x
≡ 15y + 6y
modulo 26
2
1
⇐⇒

 21 × 5x
1
 21 × 5x
2
=
42y 1 − 21y 2
=
−63y 1 + 84y 2
A prend la valeur de D
Si B > A Alors
⇐⇒
D prend la valeur de B − A
Sinon
2
D prend la valeur de A − B
 
16
3. « QP » est associé à la matrice   .
15
Fin Si
Fin Tant que
En utilisant le résultat précédent :


 x
 x
≡ 16y 1 + 5y 2 modulo 26
1
1
⇐⇒
 x

≡ 15y 1 + 6y 2 modulo 26
x2
2


 x
 x
≡ 331 modulo 26
= 19
1
1
⇐⇒
 x

≡ 330 modulo 26
x 2 = 18
2
Sortie :
≡
256 + 75
modulo 26
≡
240 + 90
modulo 26
Le mot décodé est donc « TS ».
E
11
Nouvelle Calédonie 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
⇐⇒
Afficher A
1. On entre A = 12 et B = 14 . On remplit le tableau donné en annexe ; voir page ??.
La valeur affichée par l'algorithme est 2.
2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres A et B .
En entrant A = 221 et B = 331 , l'algorithme affiche la valeur 1.
(a) On a fait tourner l'algorithme pour A = 221 et B = 331 donc le PGCD de 221 et 331 est 1 ;
ces deux nombres sont donc premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on peut dire qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que
On considère l'algorithme suivant, où A et B sont des entiers naturels tels que A < B :
221x − 331y = 1 (équation (E)).
Page 25
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(b) 221 × 3 − 331 × 2 = 663 − 662 = 1 donc le couple (3 ; 2) est une solution de (E).
(E)
221 × x − 331 × y = 1
221 × 3 − 331 × 2 = 1
221(x − 3) − 331(y − 2) = 0
par soustraction
Donc 221(x − 3) = 331(y − 2) et donc 221 divise 331(y − 2) . Or on sait que 221 et 331 sont
premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 221 divise y − 2 .
On peut donc dire que y − 2 = 221k où k ∈
Z et donc que y = 2 + 221k .
De 221(x − 3) = 331(y − 2) on déduit 221(x − 3) = 331 × 221k ce qui équivaut à x − 3 = 331k ;
donc x = 3 + 331k .
L'ensemble solution de l'équation (E) est
{(
)}
3 + 331k ; 2 + 221k k∈Z
3. On considère les suites d'entiers naturels (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par
u n = 2 + 221n et


v0 = 3
 v
n+1 = v n + 331
(a) La suite (v n ) est arithmétique de raison r = 331 et de premier terme v 0 = 3 ; donc, pour
tout entier naturel n , v n = v 0 + n × r = 3 + 331n .
(b) u p = v q ⇐⇒ 2 + 221p = 3 + 331q ⇐⇒ 221p − 331q = 1
D'après les questions précédentes, on a : (p , q) = (3 + 331k , 2 + 221k)k∈Z

{
}

{
}
0 ⩽ p ⩽ 500 ⇐⇒ 0 ⩽ 3 + 331k ⩽ 500 =⇒ k ∈ 0 , 1
{
}  =⇒ k ∈ 0 , 1
0 ⩽ q ⩽ 500 ⇐⇒ 0 ⩽ 2 + 221k ⩽ 500 =⇒ k ∈ 0 , 1 , 2
Pour k = 0 , (p , q) = (3 , 2) donc u3 = v 2 = 665 .
Pour k = 1 , (p , q) = (334 , 223) donc u 334 = v 223 = 73 816 .
Page 26
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Annexe de l'exercice 4 -- Spécialité
réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
valeur de a
26
9
8
valeur de b
9
8
1
valeur de c
8
1
0
Affichage
1
2.
Variables :
c est un entier naturel
A
B
D
12
14
2
2
12
10
10
2
8
8
10
2
2
8
6
Affecter à b la valeur de c
6
2
4
Affecter à c le nombre r (a, b)
4
6
2
2
4
2
2
2
0
a et b sont des entiers naturels non nuls
Entrées :
Demander a
Demander b
Traitement :
Affecter à c le nombre r (a, b)
Tant que c ̸= 0
Affecter à a le nombre b
Fin Tant que
Sortie :
Si b = 1
Afficher « les nombres entrés sont premiers entre eux »
Sinon
Afficher « les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux »
E
Fin de Si
12
Antilles 2015
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie B
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2 .
Partie A
(a) Dans le tableau V correspond à 21, or 9 × 21 + 2 = 189 + 2 = 191 et 191 = 26 × 7 + 9 ; donc
x′ ≡ 9
1.
[26] .
Dans le tableau 9 correspond à la lettre J.
Page 27
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
(b) 9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permet d'affirmer l'existence de deux
Alors p 2 × x 2 + p 2 × y 2 = p 2 × z 2 ce qui équivaut à (px)2 + (p y)2 = (pz)2 .
entiers relatifs u et v tels que 9u + 26v = 1 .
Donc (px, p y, pz) est aussi un TP.
Le couple (3 ; −1) est un couple simple solution de cette équation.
(c) On a x ′ ≡ 9x +2
′
2. Soit (x, y, z) un TP.
Z
[26] ⇐⇒ il existe k ∈ , x ′ = 26k +9x +2 ⇐⇒ 3x ′ = 26k ′ +27x +6 ⇐⇒
′
′
′′
′′
′
3x = 26k + 26x + x + 6 ⇐⇒ 3x = 26r + x + 6 ⇐⇒ x = 26(−r ) + 3x − 6 ⇐⇒ x =
′′
′
′
26(−r ) + 3x + 20 , soit x ≡ 3x + 20
3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s'écrire d'une façon unique
sous la forme du produit d'une puissance α de 2 par un entier impair k : n = 2α × k
2. J correspond à x = 9 et D correspond à x ′ = 3 . de plus q = 2 ; on a donc :
[26] ⇐⇒ 9p ≡ 1
il en résulte que p ≡ 3

x impairsi , et seul ement si , x 2 impair 
=⇒ x 2 + y 2 pair ⇐⇒ z 2 pair ⇐⇒ z pair
y impairsi , et seul ement si , y 2 impair 
Donc x , y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs.
[26] .
On a donc x = 19 qui correspond à la lettre T.
3 = 9p + 2
somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
[26]
(d) R correspond à x ′ = 17 , donc 3x ′ + 20 = 51 + 20 = 71 et
71 = 26 × 2 + 19 , soit 71 ≡ 19
On va utiliser deux résultats connus du cours : un nombre et son carré ont la même parité, et la
[26] ou encore 27p ≡ 3
[26] , mais on sait que 27 ≡ 1
(a) La décomposition en facteurs premiers de 192 est 26 × 3 ; c'est aussi la décomposition de 192
[26] ;
[26] et comme p est compris entre 0 et 25, on a donc p = 3 .
3. B correspond à x = 1 , d'où x ′ = 13x + 2 ≡ 15
D correspond à x = 3 , d'où x ′ = 13x + 2 ≡ 41
(b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x = 2α × k et
z = 2β × m .
[26] et 15 correspond à la lettre P.
[26] et 41 ≡ 15
au sens donné dans cet exercice.
[26] et 15 correspond à la lettre
P.
x = 2α × k =⇒ x 2 = 22α × k 2 =⇒ 2x 2 = 22α+1 × k 2
z = 2β × m =⇒ z 2 = 22β × m 2
Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est pas bon
puisque le décryptage donnera plusieurs solutions.
(c) Pour que les deux nombres 2x 2 et z 2 soient égaux, il faut et il suffit que leurs décompositions
soient les mêmes (puisque cette décomposition est unique) ; l'un a pour décomposition 2α+1 ×k 2 et
l'autre 2β × m 2 .
E
13
Centres Étrangers 2015
. énoncé
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Ces deux décompositions ne peuvent être les mêmes car 2α + 1 est impair et 2β est pair.
Donc il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x 2 = z 2 .
Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que x 2 + y 2 =
z2 .
Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » et notés en abrégé « TP ».
On admet que la question A - 3. permet d'établir que les trois entiers naturels x , y et z sont deux
à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite,
pour tout TP (x, y, z) , les trois entiers naturels x , y et z seront rangés dans l'ordre suivant :
2
2
2
1. Soit (x, y, z) un TP ; alors x + y = z . Soit p un entier naturel non nul.
x<y <z.
Page 28
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
1. 2 015 = 5 × 13 × 31 ; on en déduit que 2 015 = 5 × 403 .
1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v) tel que
On sait que (3, 4, 5) est un TP donc, d'après la question 1. (3 × 403, 4 × 403, 5 × 403) est aussi
15u − 26v = 1 .
un TP.
Trouver un tel couple.
Donc (1 209, 1 612, 2 015) est un TP.
2. En déduire une solution particulière (x 0 ; k0 ) de l'équation (E).
(
)2
(
)2
2. On admet que, pour tout entier naturel n , (2n + 1)2 + 2n 2 + 2n = 2n 2 + 2n + 1 .
3. Montrer que (x ; k) est solution de l'équation (E) si et seulement si
Si 2n + 1 = 2 015 , alors n = 1 007 .
15 (x − x 0 ) − 26 (k − k 0 ) = 0 .
Pour n = 1 007 , on a : (2n 2 + 2n)2 = 2 030 112 et (2n 2 + 2n + 1)2 + 1 = 2 030 113 .
4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples (x ; k) d'entiers relatifs
tels que :
Donc (2 015, 2 030 112, 2 030 113) est un TP.
2
2
2

 x
 k
2
3. (a) On cherche deux entiers x et z tels que : z − x = 403 ⇐⇒ (z − x)(z + x) = 403 ; or
4032 = 169 × 961 . Donc z 2 − x 2 = 4032 ⇐⇒ (z − x)(z + x) = 169 × 961 .

 z − x = 169
Les nombres x et z tels que
répondent à la question.
 z + x = 961

 z − x = 169
 z + x = 961

 2x = 961 − 169
⇐⇒
 2z = 169 + 961

 2x = 792
⇐⇒
 2z = 1 130
=
26q + 7m
=
15q + 4m
Z
où q ∈ .
Partie B

 x = 396
⇐⇒
 z = 565
On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau
ci-dessous.
Donc 5652 − 3962 = 4032 .
(b) D'après la question B 3.a) : 3962 + 4032 = 5652 ; on en déduit que (396, 403, 565) est un
TP.
En multipliant par 5 on obtient le TP cherché : (5 × 396, 5 × 403, 5 × 565) = (1 980, 2 015, 2825) .
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
On définit un système de codage :
E
14
. énoncé
Métropole septembre 2015
□
à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier x correspondant,
□
on associe ensuite à x l'entier y qui est le reste de la division euclidienne de 15x + 7 par
Partie A
On considère l'équation (E) : 15x − 26k = m où x et k désignent des nombres entiers relatifs et
26 ,
m est un paramètre entier non nul.
□
Page 29
on associe à y la lettre correspondante.
TS-spe
Exercices bac -- 2011-2015 -- arithmétique
Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la
lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P.
1. Coder le mot MATHS.
2. Soit x le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et y le reste de la
division euclidienne de 15x + 7 par 26 .
(a) Montrer alors qu'il existe un entier relatif k tel que 15x − 26k = y − 7 .
(b) En déduire que x = 7y + 3 (mod 26 ).
(c) En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
3. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B.
Décoder le mot WHL.
4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres
différentes.
E
15
. énoncé
Polynésie septembre 2015
E
16
. énoncé
Pondichéry 2015
E
17
. énoncé
Amerique du Nord 2015
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