Chapitre 7 : Trigonométrie - Page personnelle de M. ZERR

Chapitre 7 : Trigonométrie
I.
Cosinus et sinus dans un triangle rectangle
hypoténuse
côté adjacent à l'angle ̂
et côté opposé à l'angle ̂
côté adjacent à l'angle ̂
et côté opposé à l'angle ̂
DÉFINITION 1 : dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté
adjacent par l'hypoténuse.
Sur l'exemple ci-dessus, on a :
( ̂ )
( ̂ )
EXEMPLE 1 :
(̂)
(
)
(
)
Donc :
(
)
EXEMPLE 2 :
(̂)
Donc :
(
)
DÉFINITION 2 : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté
opposé par l'hypoténuse.
EXEMPLE 1 :
( ̂ )
(
)
Donc :
(
)
EXEMPLE 2 :
( ̂ )
(
Donc :
(
)
)
II.
Angles en radian
DÉFINITION 3 : le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 muni d’une
orientation directe (sens inverse des aiguilles d’une montre).
L’enroulement de la droite d’équation
autour du cercle
trigonométrique permet d’associer à tout point du cercle une
mesure, appelée « angle en radian », égale à la longueur de
l’arc associé.
Conversion des degrés en radians (et réciproquement) :
Angle
en degrés
0°
Angle en
radians
0
30°
45°
60°
90°
180° 360°
Les mesures sont proportionnelles : si l’on se
souvient que « 180° correspond à », on peut
retrouver toutes les autres mesures.
III.
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Rappel : au collège, on ne définit pas le cosinus et le sinus d’un nombre réel. On définit
uniquement ces concepts dans le cadre d’un triangle rectangle (avec le côté adjacent, le côté
opposé et l’hypoténuse).
DÉFINITION 4 : soit


et
le point du cercle trigonométrique associé à .
Le cosinus de est l’abscisse du point .
Le sinus de est l’ordonnée du point .
On note les coordonnées ainsi :
(
( )
( ))
Conséquences :
i.
ii.
iii.
(
(
( )
)
)
et
( ) et
(
( ) et
( )
(
)
: le cercle trigonométrique est de rayon 1.
)
( ) : rajouter
revient à faire un tour de plus.
( ) : voir graphique.
̂ un angle aigu et
Lien avec la trigonométrie du collège : on note
Dans le triangle rectangle
la longueur de l’arc ̂ .
, on a :
( )
D’où :
( )
( )
( )
De même :
( )
Et donc :
( )
( )
( )
Conclusion : les deux définitions du cosinus et du sinus sont équivalentes lorsque
notations suivantes :
(
)
(
( )
)
(
( )
Degrés
Radians
Les valeurs remarquables à connaitre :
Angles en radian
Cosinus
Sinus
0
√
√
√
√
)
est aigu. Ceci justifie les
( )
Attention à bien configurer
la calculatrice !