MAT231 -- Chapitre 2 : Arithmétique

MAT231, Chapitre 1
MAT231 – Chapitre 2 : Arithmétique
Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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MAT231, Chapitre 1
Plan du chapitre 2
Chapitre 2, Arithmétique
Division euclidienne
Plus grand commun diviseur
Plus petit commun multiple
Nombres premiers
Idéaux de Z et Théorème de Bézout
Congruences
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Chapitre 2,
Arithmétique
Division euclidienne
Division euclidienne
Notations : N• := N \ {0}, Z• := Z \ {0} .
Théorème et Définition
Pour tout a ∈ N et pour tout b ∈ N• , il existe un couple unique
(q, r ) tel que
a = bq + r , avec 0 ≤ r < b.
Cette écriture s’appelle la division euclidienne de a par b. Le
nombre q s’appelle le quotient de la division euclidienne, le nombre
r son reste.
[I Algorithmes, voir les TD/TP.]
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Chapitre 2,
Arithmétique
Division euclidienne
Théorème (Écriture d’un nombre entier en base a)
Soit a ∈ N, a ≥ 2. Pour tout x ∈ N il existe un développement et
un seul de la forme
x = xn an + xn−1 an−1 + . . . + x1 a + x0
avec xi ∈ N, 0 ≤ xi < a pour tout i et xn 6= 0. Ce développement
s’appelle l’écriture de x en base a et se note x = xn xn−1 . . . x0 ou
encore x = (xn xn−1 . . . x0 )a quand on veut spécifier la base de
numération.
[I Algorithmes de conversion, voir les TD/TP.]
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Chapitre 2,
Arithmétique
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne dans Z)
Pour tout a ∈ Z et pour tout b ∈ Z• , il existe un couple
(q, r ) ∈ Z2 unique, tel que
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
[I Utiliser la division euclidienne dans N, voir TD.]
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Chapitre 2,
Arithmétique
Soient a, b deux entiers non nuls.
Définitions
On dit que b divise a s’il existe un entier q tel que a = bq (le reste
de la division euclidienne de a par b est nul).
Le nombre b est un diviseur de a. Le nombre a est un multiple de
b.
Notations
On note Da l’ensemble des diviseurs de a et Da,b l’ensemble des
diviseurs communs à a et à b, c’est-à-dire l’ensemble Da ∩ Db .
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Arithmétique
Plus grand commun diviseur
L’ensemble Da ∩ Db n’est pas vide (il contient 1) et il est majoré
par a et b. Il admet donc un plus grand élément.
Définition
On appelle plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b et on
note pgcd(a, b) (ou encore a a b) le plus grand élément de
Da ∩ D b .
Plus généralement, le pgcd des nombres a1 , . . . , an , noté
pgcd(a1 , . . . , an ), est le plus grand élément de Da1 ∩ · · · ∩ Dan .
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Chapitre 2,
Arithmétique
Algorithme d’Euclide
On définit la suite de nombres entiers r [k] par les relations
r [0] := a, r [1] := b
et, pour k ≥ 0, et tant que r [k + 1] est non nul,
r [k + 2] := irem(r [k], r [k + 1]),
le reste de la division euclidienne de r [k] par r [k + 1].
La suite r [k] atteint 0 à partir d’un certain rang. Le dernier reste
non nul est d := pgcd(a, b).
[I Mise en oeuvre de l’algorithme d’Euclide, voir TD.]
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Arithmétique
Théorème (caractérisation du pgcd)
Soient a, b deux entiers non nuls. Soit d := pgcd(a, b) leur pgcd.
1. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à
l’ensemble des diviseurs de leur pgcd, c’est-à-dire Da,b = Dd .
2. Le pgcd de a, b est caractérisé comme étant le nombre d tel
que
a = da0 et b = db 0 , avec pgcd(a0 , b 0 ) = 1.
Soient a, b, m trois entiers non nuls. Alors
pgcd(ma, mb) = m pgcd(a, b).
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Arithmétique
Définition
Deux entiers non nuls a, b sont dits premiers entre eux si leur
pgcd est égal à 1. On dit aussi “a est premier avec b”.
Théorème de Gauss
Soient a, b, c trois entiers non nuls. Si l’entier c divise le produit
ab et s’il est premier avec a, alors c divise b.
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Chapitre 2,
Arithmétique
Plus petit commun multiple
Soient a, b deux entiers non nuls. On note Ma (resp. Mb )
l’ensemble des multiples de a (resp. b). L’ensemble
Ma,b := Ma ∩ Mb des multiples communs à a et b est non vide
(il contient ab), il admet donc un plus petit élément.
Définition
On appelle plus petit commun multiple (ppcm) de a, b et on note
ppcm(a, b) (ou encore a ^ b), le plus petit élément de Ma,b .
Plus généralement, le ppcm des nombres a1 , . . . , an , noté
ppcm(a1 , . . . , an ), est le plus petit élément de Ma1 ∩ · · · ∩ Man .
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Chapitre 2,
Arithmétique
Théorème
Soient a, b deux entiers non nuls. On note m := ppcm(a, b) leur
ppcm. L’ensemble des multiples communs à a et b est égal à
l’ensemble des multiples de m, c’est-à-dire Ma,b = Mm .
Corollaire
Soient a, b deux entiers non nuls. On note d := pgcd(a, b) et
m := ppcm(a, b). On définit a0 , b 0 par a = da0 et b = db 0 . Alors
m = da0 b 0 et, en conséquence, ab = pgcd(a, b) × ppcm(a, b).
[I Corollaire, voir TD.]
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Arithmétique
Nombres premiers
Définition
Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est dit premier s’il n’admet
pas d’autre diviseur que lui-même et 1.
Proposition
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 possède au moins un
diviseur premier.
Proposition
Il existe une infinité de nombres premiers.
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Arithmétique
Lemme d’Euclide
Soit p un nombre premier.
(
1. Soit a ∈ N, a ≥ 1. Alors pgcd(a, p) =
1,
p,
si p 6∈ Da ,
si p ∈ Da .
2. Soient a, b ∈ N. Si p divise ab, alors p divise a ou p divise b.
3. Soient a1 , . . . , an ∈ N. Si p divise le produit a1 × . . . × an ,
alors p divise au moins un des ai .
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Arithmétique
Théorème (Décomposition en facteurs premiers)
Soit a un nombre entier supérieur ou égal à 2. Le nombre a peut
s’écrire d’une manière et d’une seule (à l’ordre près des facteurs)
sous la forme d’un produit,
a = p1α1 . . . pkαk
de puissances (αj ∈ N, αj ≥ 1) de nombres premiers deux à deux
distincts p1 , . . . , pk .
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Arithmétique
Idéaux de Z et Théorème de Bézout
Idéaux de Z et Théorème de Bézout
Définition
Soit A un anneau commutatif. Une partie non vide I de A est un
idéal si,
1. (I, +) est un sous-groupe de (A, +),
2. I est stable par la multiplication de A, c’est-à-dire, pour tout
x ∈ I et pour tout a ∈ A, ax ∈ I.
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Idéaux de Z et Théorème de Bézout
Exemples
I
{0} et A sont des idéaux de A.
I
Dans l’anneau Z, aZ := {ak | k ∈ Z} (ensemble des multiples
de a) est un idéal.
I
On note aZ + bZ l’ensemble
aZ + bZ := {n ∈ Z | ∃(u, v ) ∈ Z t.q. n = au + bv }.
C’est un idéal de Z.
Théorème (Caractérisation des idéaux de Z)
Soit I un idéal de Z. Alors il existe un unique élément a ∈ N tel
que I = aZ. Si I =
6 {0}, l’élément a est le plus petit élément
strictement positif de I.
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Arithmétique
Idéaux de Z et Théorème de Bézout
Théorème de Bézout
Soient a, b ∈ Z. Les nombres a et b sont premiers entre eux, si et
seulement s’il existe un couple (u, v ) d’entiers tel que au + bv = 1
(ce couple n’est pas unique).
Théorème de Bézout généralisé
Soient a, b ∈ Z. Notons d := pgcd(a, b) le pgcd des nombres a et
b. Alors, aZ + bZ = dZ. En particulier, le pgcd de a et b s’écrit
d = au + bv pour un couple (u, v ) d’entiers (ce couple n’est pas
unique).
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Arithmétique
Congruences
Congruences
Définition
Soient n ∈ Z• et a, b ∈ Z. On dit que a est congru à b modulo n si
n divise a − b.
Proposition
La congruence modulo n ∈ Z• est une relation d’équivalence dans
Z, compatible avec les opérations de Z.
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Arithmétique
Congruences
Proposition
Soient a, b ∈ Z et n ∈ Z• . Alors a ≡ b (mod n) si et seulement si
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Corollaire
Pour tout a ∈ Z, il existe un unique r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tel que
a ≡ r (mod n) (c’est le reste de la division euclidienne de a par n).
[I Compléments sur les congruences, voir DM.]
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Arithmétique
Congruences
Proposition (Critères de divisibilité)
I
Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par a si et
seulement si x0 = 0. Il est divisible par un diviseur d de a si et
seulement si x0 est divisible par d.
I
Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par (a − 1)
si et seulement si xn + . . . + x0 est divisible par (a − 1).
I
Le nombre x = xn xn−1 . . . x0 en base a est divisible par (a + 1)
si et seulement si (−1)n xn + (−1)n−1 xn−1 + . . . + x0 est
divisible par (a + 1).
[I Critères de divisibilité par 2, 5, 9 et 11 en base 10, voir TD.]
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Arithmétique
Congruences
Version Septembre 2008
mat231-chap2-arithmetique-080902.tex (2 septembre
2008)
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