Initiation au cercle trigonométrique (troisième)

Initiation au cercle trigonométrique
I
Rappels
On rappelle les formules de trigonométrie suivantes :
\
\ = côté adjacent à ABC .
• cos ABC
hypoténuse
\
\ = côté opposé à ABC ;
• sin ABC
hypoténuse
II
Le quart de cercle trigonométrique
On définit un repère O;~i, ~j , et on trace le quart de cercle C de centre O et de rayon 1.
On qualifie le quart de cercle ainsi tracé de « quart de cercle trigonométrique ».
J
1. Repérer un point M sur le quart de cercle trigonométrique.
b
C
2. Que vaut la longueur OM ? Justifier votre réponse.
~j
3. Tracer les projetés orthogonaux H et H ′ de M , respectivement sur [OI]
et sur [OJ].
a) Plaçons nous dans le triangle OM H.
b
\
OH .
i. En utilisant les formules rappelées ci-dessus, exprimer cos M
O
b
~i
I
\
OH = OH.
ii. Justifier que cos M
iii. Que représente OH pour le point M ?
b) Plaçons nous maintenant dans le triangle OM H ′ .
\
i. En utilisant les formules rappelées ci-dessus, exprimer sin OM
H′ .
\
\
\
ii. Expliquer pourquoi OM
H′ = M
OH. Que peut-on ainsi en déduire sur sin M
OH ?
\
OH = OH ′ .
iii. Justifier que sin M
iv. Que représente OH ′ pour le point M ?
III
. . . et on ne s’arrête pas en si bon chemin !
1. Expliquer pourquoi OHM H ′ est un rectangle.
\
\
2. Démontrer que cos2 M
OH + sin2 M
OH = 1.
IV
⋆ Et le cercle trigonométrique fût
(Cette partie est facultative, et n’est obligatoire que si vous êtes en avance.)
En fait, on peut définir un cercle entier de rayon 1, appelé « cercle trigonométrique ».
Les règles vues précédemment sont encore valables dans l’intégralité du cercle : le cosinus et le sinus de
\ (M ∈ C ) correspondent respectivement à l’abscisse et à l’ordonnée du point M .
l’angle IOM
\I 6 1.
1. Justifier que −1 6 cos OM
\I 6 1.
2. De même, justifier que −1 6 sin OM
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Initiation au cercle trigo. (correction)
Le quart de cercle trigonométrique
J
1. voir schéma ci-contre.
b
2. [OM ] étant un rayon du cercle, on a OM = 1.
M
H′
3. voir schéma ci-contre.
a) Plaçons nous dans le triangle OM H.
\
OH
côté adjacent à M
OH
\
=
.
i. cos M
OH =
hypoténuse
OM
\
OH = OH.
ii. OM étant égal à 1, on a cos M
b
b
O
I
H
iii. OH est l’abscisse du point M .
b) Plaçons nous maintenant dans le triangle OM H ′ .
\
côté opposé à OM
H′
OH ′
\
i. cos OM
H′ =
=
.
hypoténuse
OM
\
\′
\
\
ii. Lesangles OM
H ′et M
OH
étant alternes-internes, on a OM H = M OH. Autrement dit,
′
\
\
sin M OH = sin OM H .
\
OH = OH ′ .
iii. OM étant égal à 1, on a sin M
iv. OH ′ est l’ordonnée du point M .
. . . et on ne s’arrête pas en si bon chemin !
1. OHM H ′ est, par hypothèse, un quadrilatère ayant 3 angles droits : c’est donc un rectangle.
2. De la question précédente, on en déduit que OH ′ = M H.
D’après Pythagore, dans OHM , on a :
\
\
OH 2 + M H 2 = OM 2 ⇔ OH 2 + OH ′2 = OM 2 ⇔ cos2 M
OH + sin2 M
OH = 1.
⋆ Et le cercle trigonométrique fût
(Cette partie était facultative, et n’était obligatoire que si vous étiez en avance.)
1. Par construction, l’abscisse du point M ne peut être supérieur à celle de I ni inférieur à celle de son
symétrique par rapport
à O.
\
On a donc −1 6 cos OM I 6 1.
2. voir question précédente en raisonnant avec l’ordonnée du point M .
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