3. Propriété de symétrie et d`invariance du champ électrique 3.2
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Electromagnétisme 1 Electromagnétisme 1 Des charges en mouvement créent, en général, un champ électromagnétique qui s'étudient à l'aide des équations de Maxwell Mais dans le cas où les charges sont fixes, elles ne créent qu'un champ électrique stationnaire : électrostatique Dans le cas où les charges sont animées d'un mouvement permanent, donc un courant stationnaire, elles ne créent qu'un champ magnétique stationnaire : magnétostatique. (Ce champ sera généralisable au régime quasi stationnaire : induction) Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.1. Propriété de la charge Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.1. Propriété de la charge La charge électrique est un multiple de e La charge électrique se conserve La charge électrique est invariante par changement de référentiel Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.2. Loi de Coulomb, champ électrique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.2. Loi de Coulomb, champ électrique Le champ électrostatique caractérise la perturbation des propriétés de l'espace due à la charge q1. Le champ électrique est un champ vectoriel qui se calcule en tout point de l'espace. Pour matérialiser cette perturbation, il faut utiliser une charge q2 placée en M2. Cette charge est alors soumise à la force électrostatique de Coulomb Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition Considérons un ensemble de charges ponctuelles q i placées en Ai Calculons le champ électrique crée par cette distribution en un point M Par linéarité : Rq : la somme est une somme vectorielle. Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition 1er exemple: qA=qB >0 Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition Les lignes de champ (électrique) sont les lignes tangentes en tout point au champ (électrique) Si Ph. Ribière désigne un déplacement le long d'une ligne de champ http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition 1er exemple: qA=qB >0 Carte de ligne de champ Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition 2er exemple: qA=- qB >0 Carte de ligne de champ Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 1. Etude d'un ensemble de charges ponctuelles 1.3. Principe de superposition Divers exemples Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.1. Répartition des charges dans un solide Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.1. Répartition des charges dans un solide Dans un isolant, les charges sont immobiles. Dans un conducteur, les charges bougent et l'excédent de charge se localise à la surface du conducteur. Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution volumique de charge Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution volumique de charge Chaque élément de volume dV centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq P Le champ électrique crée par dq est donc M Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution volumique de charge Chaque élément de volume dV centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq P Le champ électrique crée par dq est donc P' Ph. Ribière M http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution volumique de charge Chaque élément de volume dV centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq P Le champ électrique total est donc P' Ph. Ribière M http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution surfacique de charge Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution surfacique de charge P Chaque élément de surface dS centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq M Le champ électrique crée par dq est donc Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.2. Distribution surfacique de charge P Chaque élément de surface dS centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq M Le champ électrique total est donc Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.3. Distribution linéique de charge Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 2. Etude d'une distribution continue de charge 2.3. Distribution linéique de charge Chaque élément de longueur dl centré sur un point P peut être assimilé à une charge ponctuelle dq= λ dl P M Le champ électrique total est donc Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ Définition: Le plan Π est un plan de symétrie si l'opérateur symétrie plane sym() laisse invariant la distribution de charge: sym(ρ)(P)=ρ(P') où P' désigne le symétrique de P par rapport à Π. La distribution de charge et son image dans le miroir plan se superposent, se confondent. Propriété 1: Le champ électrique en un point M du plan de symétrie Π appartient au plan de symétrie. Propriété 2: Le champ électrique est symétrique par rapport au plan Π. Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ Définition: Le plan Π* est un plan d'antisymétrie si l'opérateur symétrie plane sym() transforme la distribution de charge en la distribution opposée: sym(ρ) (P)=-ρ(P') où P' désigne le symétrique de P par rapport à Π. La distribution de charge et l'opposée de son image dans le miroir plan se superposent, se confondent. Propriété 1: Le champ électrique en un point M du plan d'antisymétrie Π* est perpendiculaire au plan de symétrie. Propriété 2: Le champ électrique est antisymétrique par rapport au plan Π*. Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,uy,uz) y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,ux,uz) y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,ux,uy) y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,ux,uz) y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,u ,u ) y z y z Ph. Ribière x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ (O,ux,uy) z Ph. Ribière y x http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ Plan infini portant une charge surfacique uniforme σ M z y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ M (M,uy,uz) z Donc la composante Ex est nulle y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ M (M,ux,uz) z Donc la composante Ey est nulle y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ M z Donc la seule composante non nulle est Ez y E=Ez uz x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ Cylindre infini de rayon R portant une charge volumique uniforme ρ z z0 uz M r O x Ph. Ribière y θ uθ ur uθ http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ z z0 uz M r O x y (M,ur,uz) ur θ Donc la composante EΘ est nulle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ z z0 M r O x y θ uθ ur (M,ur,u) Donc la composante Ez est nulle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ z z0 M r O y ur E θ x la seule composante non nulle est Er Donc E=Er ur Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ M uφ θ φ ur uθ uφ Sphère de rayon R portant une charge volumique uniforme ρ Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ ur M uθ (M,ur,u) Donc la composante Eφ est nulle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ M uφ ur (M,ur,u) Donc la composante EΘ est nulle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.1. Symétrie de la distribution de charge, conséquence sur la direction du champ E M ur Donc la seule composante non nulle est Er E=Er ur Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence Si la distribution est invariante par translation et/ou rotation du point M, alors le champ électrostatique est lui-même invariant par translation et/ou rotation du point. Les invariances permettent d'obtenir des informations sur la dépendance du champ électrique en fonction des coordonnées du point M Si la distribution est invariante par translation d'une distance z du point M, alors le champ électrique ne dépend pas de la coordonnée z. Si la distribution est invariante par rotation d'un angle Θ du point M, alors le champ électrique ne dépend pas de la coordonnée Θ. Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence Le plan infini (Oxy) porte une charge surfacique uniforme σ M(x,y,z) z y M'(x',y,z) x Invariance par translation suivant x E(M)=E(M') donc E(x',y,z)=E(x,y,z) donc E(x,y,z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence M'(x,y',z) z M(x,y,z) y x Invariance par translation suivant y E(M)=E(M') donc E(x,y',z)=E(x,y,z) donc E(x,y,z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence M(x,y,z) z y x Le champ électrique ne dépend que de z: E(z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence z Cylindre infini de rayon R portant une charge volumique uniforme ρ z0 uz M(r,θ,z) uθ r O x Ph. Ribière y θ ur uθ http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence z z r O θ Θ' M(r,θ,z) M'(r,θ',z) y Invariance par rotation d'angle θ E(M)=E(M') donc E(r,θ,z)=E(r,θ',z) donc E(r,θ,z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence z z r O M'(r,θ,z') y M(r,θ,z) θ Θ Invariance par translation de z E(M)=E(M') donc E(r,θ,z)=E(r,θ,z') donc E(r,θ,z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence z z0 M(r,θ,z) r O y θ Le champ électrique ne dépend que de r: E(r) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence M uφ θ φ ur uθ uφ Sphère de rayon R portant une charge volumique uniforme ρ Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence M(r,Θ,φ) θ θ φ' M'(r,Θ,φ') φ Invariance par rotation d'angle φ E(M)=E(M') donc E(r,Θ,φ)=E(r,Θ,φ') donc E(r,Θ,φ) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence θ φ Θ' M M' φ Invariance par rotation d'angle θ E(M)=E(M') donc E(r,Θ,φ)=E(r,Θ',φ) donc E(r,Θ,φ) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 3. Propriété de symétrie et d'invariance du champ électrique 3.2. Invariance de la distribution de charge, conséquence M uφ θ φ ur uθ uφ Le champ électrique ne dépend que de r: E(r) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.1. Flux du champ électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.1. Flux du champ électrostatique Flux de voitures Flux de coureurs Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.1. Flux du champ électrostatique Le flux élémentaire dΦ du champ (électrique) à travers une surface élémentaire est le produit scalaire du champ (électrique) et de Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.1. Flux du champ électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.1. Flux du champ électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.2. Le théorème de Gauss Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.2. Le théorème de Gauss Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée Σ appelée surface de Gauss est égale à la charge totale à l'intérieure de la surface fermée, divisée par la permittivité du vide Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques M Plan infini Oxy portant une charge surfacique uniforme σ z y Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques M z Par symétrie, le champ électrique possède une unique composante selon z Par invariance, le champ électrique ne dépend que de la coordonnée z Etude par le théorème de Gauss y Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques M Par le théorème de Gauss z y Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques z Cylindre infini selon z, de rayon R, portant une charge volumique uniforme ρ M(r,θ,z) O y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques z Par symétrie, le champ électrique possède une unique composante Er M(r,θ,z) O Par invariance, le champ électrique ne dépend que de la coordonnée r Etude par le théorème de Gauss y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Calcul du champ extérieur par le théorème de Gauss z M(r,θ,z) O y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Calcul du champ extérieur par le théorème de Gauss z M(r,θ,z) O y x Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Fil infini selon z portant une charge linéique uniforme λ (Symétrie cylindrique) Par le théorème de Gauss M(r,θ,z) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Sphère de rayon R, portant une charge volumique uniforme ρ M Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques M Par symétrie, le champ possède une unique composante Er Par invariance, le champ ne dépend que le coordonée r Etude par le théorème de Gauss Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Etude par le théorème de Gauss du champ extérieur M Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 4. Le théorème de Gauss 4.3. Application aux distributions classiques Etude par le théorème de Gauss du champ intérieur M Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.1. Energie potentielle électrostatique et potentielle électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.1. Energie potentielle électrostatique et potentielle électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.1. Energie potentielle électrostatique et potentielle électrostatique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.1. Energie potentielle électrostatique et potentielle électrostatique Le potentiel, comme l'énergie potentiel, est défini à une constante près Détermination de la constante Pour les distributions finies, potentiel nul à l'infini Pour les distributions infinies, choix en un point arbitraire Le potentiel et le champ électrique sont continus pour une distribution volumique Le potentiel est continu et le champ admet une discontinuité finie pour une distribution surfacique Le potentiel et le champ électrique sont discontinus pour une distribution linéique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.2. Circulation du champ électrique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.2. Circulation du champ électrique Circulation des voitures Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 5. Potentiel électrostatique 5.2. Circulation du champ électrique La circulation du champ (électrique) le long du chemin AB est l'intégrale du produit scalaire du champ et du déplacement élémentaire le long du contour Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 6. Le dipôle électrostatique 6.1. Définition du dipôle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 6. Le dipôle électrostatique 6.1. Définition du dipôle Un dipôle électrostatique est un ensemble de charges électriquement neutre mais dont le barycentre des charges + et – sont distincts Exemple (P1, +q) et (P2, -q) distants de P1P2=a P1 P2 Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 6. Le dipôle électrostatique 6.2. Champ électrique crée par le dipôle Champ électrique Équipotentielle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 6. Le dipôle électrostatique 6.3. Actions subies par le dipôle dans un champ extérieur Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 6. Le dipôle électrostatique 6.3. Actions subies par le dipôle dans un champ extérieur Un dipôle électrostatique plongé dans une champ électrique est soumis à une énergie potentielle Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 7. Courant électrique dans les conducteurs 7.1. Le courant électrique Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 7. Courant électrique dans les conducteurs 7.1. Le courant électrique Considérons un conducteur filiforme de section S Le courant est un mouvement ordonné des charges sous l'effet d'une différence de potentielle et donc d'une champ électrique. Le courant est le débit de charge dq pendant dt à travers la section S Pour étudier le courant, on introduit le vecteur densité de charges (ou de courant) Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 7. Courant électrique dans les conducteurs 7.2. Modèle du mouvement des électrons dans un conducteur, loi d'Ohm Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 7. Courant électrique dans les conducteurs 7.2. Modèle du mouvement des électrons dans un conducteur, loi d'Ohm L'électron est soumis du fait des défauts du cristal à une force qui s'assimile à une force de frottement fluide (modèle de Drude) Le principe fondamental de la dynamique à l'e- dans le référentiel galiléen : Et en régime permanent, on en déduit la loi d'Ohm locale Retour sur la loi d'Ohm usuelle : Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 8. Analogie entre champ électrostatique et champ gravitationnel Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/ Electrostatique 8. Analogie entre champ électrostatique et champ gravitationnel Ph. Ribière http://ribiere.regit.org/
