Cours Séries de Fourier

Séries de Fourier
Problématique: Approximation d’une fonction T-périodique par une série de fonctions trigonométriques
(les harmoniques) dont les périodes sont multiples de T et les amplitudes sont les coefficients de
cette série (série de Fourier).
I) Calcul des coefficients de Fourier et de la série de Fourier, associés à une fonction périodique
II) Conditions (Dirichlet) pour la convergence de la série de Fourier vers la fonction associée
Définition Série trigonométrique
Soit (an )n≥0 et (bn )n≥0 deux suites de nombres réels. On appelle série trigonométrique toute série de
fonctions de la forme :
∑ (an cos(nt ) + bn sin(nt ) ) .
n ≥0
Théorème: Si la série trigonométrique a0 + ∑ (an cos(nt ) + bn sin( nt ) ) converge uniformément à une
n ≥1
fonction f sur [− π ,π ], alors les coefficients de la série s’expriment en fonction de f par :
1
a0 =
2π
π
∫ f (t )dt
an =
;
−π
1
π
π
∫ f (t ) cos(nt )dt
et
bn =
−π
1
π
π
∫ f (t ) sin(nt )dt .
−π
Définition: Si f est une fonction 2π-périodique, intégrable, on définit:
• Les coefficients de Fourier de f:
a0f =
anf =
1
π
π
∫
π
1
2π
∫ f (t )dt
= la moyenne de f sur [− π ,π ]
−π
1
f (t ) cos(nt )dt et bnf =
π
−π
π
∫ f (t ) sin(nt )dt
−π
(
= coefficients des harmoniques d’ordre n
• La série de Fourier de f : a0 + ∑ an cos(nt ) + bn sin(nt )
f
n ≥1
f
f
)
⎧1 si t ∈ [0,π [
, une fonction 2π-périodique (fonction créneau).
⎩− 1 si t ∈ [π ,2π [
Exemple 1) Soit f (t ) = ⎨
Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f.
•
Les coefficients de Fourier de f :
a0 = 0 , a n = 0 , ∀ n ∈ N
•
et
bn =
1.0
2
(1 − cos(nπ ) )
nπ
La série de Fourier de f :
4
4 sin (( 2k + 1)t )
sin(( 2k + 1)t ) = ∑
∑
π n ≥0
2k + 1
n ≥0 ( 2 k + 1)π
0.5
-2 p
-p
p
2p
3p
- 0.5
- 1.0
Théorème : Si f est une fonction périodique de période T, intégrable. Alors
• les coefficients de Fourier de f sont:
ω=
2π
= la pulsation et
T
1 T /2
1 a +T
f
(
t
)
dt
=
∫
∫ f (t )dt = la moyenne de f sur une période T
T −T / 2
T a
2 T /2
2 a+T
2 T /2
2 a+T
anf = ∫ f (t) cos(nω t)dt = ∫ f (t) cos(nω t)dt et bnf = ∫ f (t ) sin(nω t )dt = ∫ f (t ) sin(nω t )dt
T −T / 2
T a
T −T / 2
T a
a 0f =
(
)
• la série de Fourier de f : a0 + ∑ an cos(nω t ) + bn sin(nω t ) .
f
n ≥1
f
f
Exemple 2) Soit f (t ) = t , si t ∈ [0, π [ , une fonction périodique de période π (pulsation ω =
2π
π
=2).
Calculer les coefficients de Fourier et écrire la série de Fourier associée à f.
•
On utilise la propriété des fonctions T-périodiques:
• Les coefficients de Fourier de f :
a0 =
π
2
T /2
a +T
−T / 2
a
∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt
3
,
2
an = 0 , ∀n ∈ N et
1
1
bn = − cos( 2nπ ) = − , ∀n ∈ N *
n
n
π
sin(nω t )
−∑
.
• La série de Fourier de f :
n
2 n≥1
*
1
-3 p
-2 p
-p
p
2p
3p
-1
-2
-3
Théorème : a) Si f est une fonction paire, périodique de période T, alors:
f
• Tous les coefficients de Fourier bn sont nuls (f est développable en série de cosinus)
•
a0f =
4 T /2
2 T /2
f
f
(
t
)
dt
a
=
f (t ) cos(nω t )dt
et
n
T ∫0
T ∫0
b) Si f est une fonction impaire, de période T, on dit que f est développable en série de sinus et:
f
• Tous les coefficients de Fourier an sont nuls
4 T /2
f (t ) sin(nω t )dt
• b =
T ∫0
f
n
Remarque : Les propriétés de parité simplifient le calcul des coefficients De Fourier, car la moitié
d’entre eux sont nuls et on intègre seulement sur une moitié de période, avec la propriété :
a
∫
−a
⎧ 0 si f impaire
⎪
.
f ( t ) dt = ⎨ a
2
f
(
t
)
dt
si
f
paire
⎪⎩ ∫0
⎧1 si t ∈ [0,1[
, une fonction paire et périodique de période T=4.
[
]
−
∈
2
1
,
2
t
si
t
⎩
Exemple 3) Soit f (t ) = ⎨
a) Représenter la fonction f sur l’intervalle [-2,2].
b) Calculer les coefficients de Fourier de f.
c) On note
1.0
2
0.8
n =1
0.6
ϕ (t ) = a0 + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t ))
la série de Fourier associée à f, à l’ordre 2.
Représenter la fonction ϕ sur l’intervalle [-2,2].
A
B
0.4
0.2
f
Dém : Comme f est paire, tous les coefficients bn sont nuls.
12
12
3
a = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = = l’aire sous le graphique =
4 −2
20
4
O
-2
-1
1
C
2
f
0
l’aire du trapèze OABC.
2
12
4 ⎛ ⎛ nπ ⎞
22
⎞
⎛ nπ ⎞
⎛ nπ ⎞
a = ∫ f (t ) cos(nωt )dt = ∫ f (t ) cos⎜
t ⎟dt = ∫ f (t ) cos⎜
t ⎟dt = 2 2 ⎜ cos⎜
⎟ − cos(nπ ) ⎟
2 −2
nπ ⎝ ⎝ 2 ⎠
4 −2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
0
⎠
4
2
3 4
π
2
Donc : a1 = 2
et
a2 = − 2 et ϕ (t ) = + 2 cos⎛⎜ t ⎞⎟ − 2 cos(π t ) .
π
π
4 π
⎝2 ⎠ π
f
n