Chapitre 1 Les erreurs 1 Erreur absolue et erreur relative Soient x une valeur exacte et x∗ une valeur approchee de x. 1.1 Erreur absolue Définition On appelle erreur absolue de x∗ (sur x), la quantite E = |x − x∗ |. L’erreur absolue sert a déterminer la précision de la valeur approchée x∗ par rapport a la valeur exacte x. Exemple Pour la valeur exacte x = 2/3, la valeur approchée x∗1 = 0.666667 est mille fois plus précise que la valeur approchée x∗2 = 0.667 En effet, nous avons : E1 = |x − x∗1 | = |2/3 − 0.666667| = 31 10−6 E2 = |x − x∗2 | = |2/3 − 0.667| = 13 10−3 1.2 Erreur relative Définition On appelle erreur relative de x∗ , la quantite Er = |x−x∗ | |x| = ∗ E . |x| ∗ L’erreur relative sert a comparer la precision de différentes valeurs approchées x , y , ... relativement à différentes valeurs exactes x, y, .... 1 Cours MNA-BELDJELILI-2014 CHAPITRE 1. LES ERREURS Exemple Pour les valeurs exactes x = 2/3 et y = 1/15, on considére les valeurs approchées respectives x∗ = 0.67 et y ∗ = 0.07 les erreurs absolues sont : E1 = |x − x∗ | = |2/3 − 0.67| = 13 10−2 E2 = |y − y ∗ | = |1/15 − 0.07| = 13 10−2 Les erreurs relatives sont : Er1 = E1 /|x| = 0.5% Er2 = E2 /|y| = 0.5% Ainsi, bier que les erreurs absolues soient égales, x∗ est une approximation dix fois plus précise pour x que ne l’est y ∗ pour y. 2 Majorants des erreurs absolue et relative On appelle majorant de l’erreur absolue dune valeur approchée x∗ tout nombre réel positif 4x vérifiant : E = |x − x∗ | ≤ 4x ou de manière équivalente : x∗ − 4x ≤ x ≤ x∗ + 4x. On écrit x = x∗ ± 4x 3 Propagation des erreurs Soient x et y deux valeur exactes, x∗ et y ∗ deux approximations de x et y, 4x et 4y les erreurs absolues et δx et δy les erreurs relatives. 3.1 Addition 4(x + y) = 4x + 4y et δ(x + y) ≤ max(δx, δy) 3.2 Soustraction 4(x − y) = 4x + 4y et δ(x − y) ≤ 3.3 |x∗ +y ∗ | max(δx, δy) |x∗ −y ∗ | Multiplication 4(xy) = x∗ 4y + y ∗ 4x et δ(xy) = δx + δy 2 Cours MNA-BELDJELILI-2014 CHAPITRE 1. LES ERREURS 3.4 Division 4(x/y) = 4 x∗ 4y+y ∗ 4x (y ∗ )2 et δ(x/y) = δx + δy Chiffres significatifs 4.1 Représentation décimale des nombres approches On sait que tout nombre réel positif x Peut être representé sous la forme d’un nombre décimal de développement limite ou illimite : x = am 10m + am−1 10m−1 + ... + am−n 10m−n + ... ou les ai sont les chiffres du nombre réel x (les ai prennent les valeurs 0, 1, 2, ., 9), avec am 6= 0 ou m est un entier naturel appelé rang supérieur du nombre réel x. Exemple Cas d’un développèrent limite : 3125.1670 = 3.103 + 1.102 + 2.103 + 5.100 + 1.10−1 + 6.10−2 + 7.10−3 + 0.10−4 Cas d’un développèrent illimité : π = 3.14159265358... = 3.100 + 1.10−1 + 4.10−2 + 1.10−3 + 5.10−4 + ... + 5.10−10 + 8.10−11 + ... Dans la pratique on n’utilise, essentiellement, que des nombres approches finis (avec développements limites) : x ≈ bm 10m + bm−1 10m−1 + ... + bm−n 10m−n | {z } bm 6= 0 x* - Tous les chiffres conservés bi (i = m, ...m − n) s’appellent chiffres significatifs du nombre approché x. - Certains des bi peuvent être nuls. - Les exemples suivants illustrent les cas où le zéro n’est pas considéré comme chiffre significatif. 1. x∗ = 3.10−3 +0.10−4 +4.10−5 +0.10−6 qui s’écrit en notation décimale x∗ = 0.003040 . Les zéros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs. 2. x∗ = 2.108 + 0.107 + 0.106 + 1.105 + 0.104 qui s’écrit en notation décimale x∗ = 200100000. Les zéros soulignes ne sont pas des chiffres significatifs. 3 Cours MNA-BELDJELILI-2014 CHAPITRE 1. LES ERREURS Définition de chiffre significatif On appelle chiffre significatif d’un nombre approché, tout chiffre dans sa représentation décimale différent du zéro ; et un zéro s’il se trouve entre deux chiffres significatifs, où s’il constitue un chiffre conserve. Exemple Une approximation a 6 décimales de x = 0.00301045 est : 0.003010 = x ∗ (= 3.10−3 + 0.10−4 + 1.10−5 + 0.10−6 ) Ce zéro traduit le fait que le nombre approche a conserve la décimale 106 : c’est un chiffre significatif. Etant place entre les chiffres significatifs 3 et 1, zero est lui-même un chiffre significatif. Ne sont pas significatifs car ils ne servent qu’a, indiquer les rangs des autres chiffres. 4.2 Chiffres significatifs exacts Définition Un chiffre significatif d’un nombre approche x∗ est dit exact (c.s.e) si l’erreur absolue de ce nombre ne dépasse pas un demi unite de rang du chiffre significatif. Ainsi : Le neme chiffre significatif apres la virgule est exact si : 4x ≤ 0.5 10n Le neme chiffre significatif avant la virgule est exact si : 4x ≤ 0.5 10n−1 Exemple Pour x = 35.97 et x∗ = 36.00 (une approximation de x), nous avons : 4x = |x − x∗ | = |35.97 − 36.00| = 0.3 10−1 ≤ 0.5 10−1 donc les chiffres significatifs 3, 6 et le premier zero apres la virgule sont exacts. • Si un chiffre significatif est exact, tous les chiffres significatif a sa gauche sont exacts. • Si un chiffre significatif nest pas exact, tous ceux a sa droite ne le sont pas. • Si l’erreur absolue ne dépasse pas une unite de rang du chiffre significatif, on dit que c’est une approximation au sens large ou encore que c’est une approximation a chiffres exacts dans un sens large. 4 Cours MNA-BELDJELILI-2014 CHAPITRE 1. LES ERREURS 5 Arrondissement d’un nombre Une méthode habituelle pour tronquer un nombre pour ne garder qu’un nombre fini de chiffres significatifs est l’arrondi. 5.1 Règles d’arrondissement Pour arrondir un nombre jusqu’à n chiffres significatifs, il faut éliminer les chiffres a droite du neme c. s. conservé si on se trouve après la virgule, sinon on remplace par des zéros, puis on procède de la manière suivante : 1. Si le (n + 1)eme c. s. est > 5, on ajoute 1 au neme chiffre. 2. Si le (n + 1)eme c. s. est < 5, les chiffres retenus restent inchangés. 3. Si le (n + l)eme c. s. est égale a 5 alors deux cas sont possibles : • Tous les chiffres rejetés, situes après le (n + 1)eme c.s, sont des zéros : On applique la règle du chiffre pair, ie : le neme chiffre reste inchangé s’il est pair. On lui ajoute 1 s’il est impair. • Parmi les chiffres rejetés, situes après le (n + 1)eme c.s, il existe au moins un qui soit non nul : On ajoute 1 au neme chiffre. 5.2 Conséquence Un nombre correctement arrondi ne possède que des chiffres significatifs exacts. 6 Relation entre erreur relative et c.s.e Si un nombre approximatif possède n chiffres significatifs exacts, alors son erreur relative est < 5 10−n (sauf si le nombre est 1 suivi de (n − 1) zéros). Si l’erreur relative à x∗ est ≤ 0.5 10−n alors x∗ possède au moins n chiffres significatifs exacts. 5 Cours MNA-BELDJELILI-2014