Activité algorithmique - Fractions egyptiennes

Terminale S Spécialité
Les fractions égyptiennes
Les anciens Égyptiens ne connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers.
Il s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers
strictement croissants.
On appelle fraction égyptienne toute fraction de numérateur égale à 1.
On s’intéresse aux décompositions des nombres rationnels
p
comme somme de telles
q
fractions où les dénominateurs sont des entiers naturels tous distincts.
I L’art de décomposer
2
Exemple 1 : décomposer .
7
2 1 1
= +
7 7 7
Or
1 1
1
1
1
2 1 1
1
= +
= +
; donc = + +
7 7 8 56
7 8 7×8 8 56
1) Exprimer une relation générale découlant de
1 1
1
1
= +
à partir de = …..
7 8 7×8
n
Démontrer cette relation.
3
2) Décomposer avec cette méthode .
7
3) Un premier algorithme : proposer un algorithme en pseudo-code décomposant selon
p
cette méthode une fraction du type .
q
Idées générales de l’algorithme :
Si p = 1 alors
la décomposition est terminée :
1
q
Sinon
Transformer
fin
1
p
en p fractions
q
q
Faux
Tant que non(fin) Faire
Si deux fractions ont le même dénominateur alors
conserver la première fraction
1
1
1
transformer la 2ème fraction en
+
q
q + 1 q(q + 1)
Sinon
Fin
Vrai
FinSi
Fin TantQue
Afficher la liste des fractions décomposées obtenues
FinSi
1
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Les fractions égyptiennes
4) Implémenter cet algorithme sous AlgoBox et le tester avec
2 3
5
; et
.
7 7
23
II Un algorithme efficace
Tout nombre rationnel peut être décomposé selon la méthode précédente.
Cette méthode est simple, mais a le défaut de ne pas économiser le nombre de fractions
3
égyptiennes utilisées. Ainsi, nous pouvons trouver une décomposition de en trois fractions
7
3 1 1
1
suivantes : = +
+
.
7 3 15 35
Un algorithme plus efficace pour décomposer un nombre rationnel x consiste à considérer le
1
1
plus petit entier n supérieur à , puis à recommencer sur la différence x – .
x
n
3
Exemple : Pour décomposer , cela donne successivement :
7
7
• le plus petit entier supérieur à est 3
3
3 1 2
– =
7 3 21
21
• le plus petit entier supérieur à
est 11.
2
2 1
1
- =
21 11 231
3 1 1
1
On obtient la décomposition : = + +
.
7 3 11 231
1) Ecrire l’algorithme correspondant en pseudo-code ; l’implémenter avec AlgoBox et le
2 3
5
.
tester avec ; et
23
7 7
2) Une preuve de cet algorithme : une descente infinie
Considérons un nombre rationnel x tel que 0 < x < 1.
1
. Posons x = x1 et n1 le plus petit entier supérieur à .
x1
1
1
Définissons ensuite x2 par x = x2 + et n2 le plus petit entier supérieur à , etc ..
n1
x1
De façon générale, nous obtenons :
1 1
1
x = xp + +
+…+
n1 n2
np-1
rp
Ecrivons xp sous la forme d’une fraction irréductible, xp = . Nous avons donc :
sp
rp+1
1 rp 1 rpnp – xp
xp+1 =
=xp – =
– =
sp+1
np xp np
xpnp
a) A partir des propriétés suivantes de la fonction partie entière :
• E(x) ≤ x < E(x) +1 ;
• x – 1 < E(x) ≤ x
2
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Montrer que :
(i) (xp) est une suite décroissante et tel que 0 < xp < 0.
1
(ii) np-1 <
≤ np
xp
(iii) 0 ≤ rpnp – sp <rp.
rp+1
b) La fraction
étant irréductible, on en déduit que rp+1 < rp
sp+1
On construit ainsi une suite décroissante d’entiers strictement positifs.
On en déduit qu’il existe p inférieur au numérateur de x tel que rp+1 = 1 et donc :
1 1
1
x= +
+…+
n1 n2
np
p
Cet algorithme permet donc de décomposer un nombre rationnel en au plus p
q
fractions égyptiennes.
III Des nombres pratiques
Lorsque le numérateur p est la somme de diviseurs distincts du dénominateur q, le
p
nombre se décompose en fractions égyptiennes de dénominateurs inférieurs à q.
q
Un nombre q tels que pour tout p entier < q ; p est somme de diviseurs de q est appelé
un nombre pratique.
1) Donner la liste 10 premiers nombres pratiques.
9
2) Décomposer la fraction
en utilisant le fait que 20 est un nombre pratique.
20
IV Des multiples pratiques
Si le dénominateur d’un nombre rationnel n’est pas pratique, nous pouvons nous y
ramener s’il possède un multiple pratique.
3
En reprenant le cas de , on utilise le fait que 28 est pratique.
7
3 3×4 7 + 4 + 1 1 1
1
=
= + +
.
Donc =
28
4 7 28
7 28
Pour construire de tels multiples pratiques, nous disposons du théorème suivant :
Si q est un nombre entier et n un nombre entier pratique premier avec q tel que q <
2n, alors q×n est pratique.
5
en somme de trois fractions égyptiennes
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différentes de celles données par l’algorithme du II.
Utiliser ce théorème pour décomposer
3
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V Pour aller plus loin
1) Décomposition en trois
Les exemples étudiés montrent des décompositions eu au plus trois fractions
égyptiennes. D’après l’algorithme décrit dans le paragraphe « Un algorithme
p
efficace », c’est le cas pour les nombres rationnels de la forme avec p = 1, 2 ou 3.
q
Cela semble également être le cas si p = 4 ou 5.
Cependant, personne n’a pu prouver ces conjectures.
Elles sont dues à Erdös pour la première et Sierpinski pour la seconde.
2) Un algorithme « pratique » pour déterminer des nombres pratiques
Pour déterminer si un nombre un pratique, on peut utiliser la caractérisation
suivante :
Soit n un nombre qui admet c diviseurs est :
d1 = 1, d2, …, dc
d
n est pratique
Pour tout r compris entre 1 et c – 1, ∑dr ≥ dr+1 – 1
i=1
Utiliser ce théorème pour écrire un algorithme qui liste les nombres pratiques
compris entre 1 et 1000.
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