Révisions de MPSI : Les polynômes

Révisions de MPSI : Les polynômes
Assurez-vous que les questions suivantes sont valables lorsque K est un
sous-corps de C.
1◦ ) Construction de l’ensemble K[X] et définition du degré d’un polynôme.
2◦ ) Définition de la somme de deux polynômes.
Montrer que deg(P +Q) ≤ sup(deg(P ), deg(Q)), avec égalité lorsque deg(P ) 6= deg(Q).
3◦ ) Montrer que (K[X], +) est un groupe commutatif.
4◦ ) Définition du produit de deux polynômes.
Montrer que deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q).
5◦ ) Montrer que (K[X], +, ×) est un anneau commutatif.
6◦ ) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau K[X] et montrer que K[X] est un
anneau intègre.
7◦ ) Pour
X le polynôme P = (a0 , a1 , . . . , an , . . .) ∈ K[X], justifier la notation
an X n .
P =
n∈N
8◦ ) Si P ∈ K[X], définir l’application polynômiale P̃ : K −→ K. Montrer que
P 7−→ P̃ est un morphisme d’anneaux de K[X] dans F(K, K).
9◦ ) (Hors programme) Si P ∈ K[X] et si x ∈ A, présenter le calcul de P̃ (x) par
l’algorithme d’Hörner.
10◦ ) Montrer l’existence et l’unicité de la division euclidienne de A ∈ K[X] par
B ∈ K[X] \ {0}.
11◦ ) Que vaut le reste de la division euclidienne de A(X) ∈ K[X] par X − a, où
a ∈ K ? En déduire que (X − a)|A ⇐⇒ Ã(a) = 0.
12◦ ) Définition du PPCM et du PGCD de deux polynômes A et B.
13◦ ) Présenter en le justifiant l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD de deux
polynômes de K[X].
14◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de Bezout.
15◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de Gauss.
16◦ ) Montrer que si A est premier avec B et avec C, alors A est premier avec BC.
17◦ ) Montrer que si A|C et B|C, avec A et B premiers entre eux, alors AB|C.
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18◦ ) Soit a1 , . . . , ak k scalaires de K deux à deux distincts. Montrer que
(X − a1 ) × · · · × (X − ak )|P si et seulement si a1 , . . . , ak sont des racines de P .
19◦ ) Montrer que P 7→ P̃ est injective, ce qui permet d’identifier les polynômes formels
et les applications polynomiales de K dans K.
20◦ ) Si P, Q ∈ K[X], définir P ◦ Q.
Enoncer des propriétés relativement à (P + Q) ◦ R, (P Q) ◦ R, (P ◦ Q) ◦ R, deg(P ◦ Q).
21◦ ) Montrer que P GCD(A, B) × P P CM (A, B) et AB sont proportionnels.
22◦ ) Soit (A, B, C) ∈ K[X]3 avec A 6= 0 et B 6= 0. Résoudre l’équation de Bezout
AU + BV = C, en l’inconnue (U, V ).
23◦ ) Montrer que tout polynôme A(X) non constant admet un diviseur irréductible.
24◦ ) Si P et Q sont deux polynômes, avec P irréductible, montrer que P et Q sont
premiers entre eux, ou bien P |Q.
25◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de décomposition d’un polynôme en produit
de polynômes irréductibles.
26◦ ) Sans démonstration, donner les polynômes irréductibles de C[X] et ceux de R[X].
27◦ ) Définition de la dérivée d’un polynôme. Enoncer et démontrer la formule de
Leibniz.
28◦ ) Enoncer et démontrer la formule de Taylor.
29◦ ) Donner deux définitions de la multiplicité d’une racine a d’un polynôme P , l’une
faisant intervenir la divisibilité par (X − a)k et l’autre les dérivées successives de P en
a. Montrer que ces deux définitions sont équivalentes.
30◦ ) Sans démonstration, énoncer précisément les relations entre coefficients et racines
d’un polynôme scindé.
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Eric
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Complément : les polynômes scindés
On rappelle que K désigne un sous-corps de C.
Théorème de d’Alembert : Tout polynôme de C[X] de degré supérieur ou égal à 1
possède au moins une racine dans C.
Démonstration.
Admis
Corollaire. Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de
degré 1.
Démonstration.
En général, dans K[X], tout polynôme irréductible est de degré supérieur ou égal à 1.
De plus dans C[X], si P est un polynôme de degré strictement supérieur à 1, d’après le
théorème de d’Alembert, il existe α ∈ C tel que P (α) = 0, donc X − α est un diviseur
de P , non constant et non associé à P , donc P n’est pas irréductible.
Corollaire. Si P ∈ C[X] \ {0}, la décomposition dans C[X] de P en produit de
polynômes irréductibles est de la forme
k
n
Y
Y
mi
P (X) = µ (X − αi ) = µ (X − βj ),
i=1
j=1
où µ est le coefficient dominant de P , n est son degré, α1 , . . . , αk est la liste des racines
de P (comptées sans multiplicité), mi désigne la multiplicité de αi en tant que racine
de P , et où β1 , . . . , βn est la liste des racines de P comptées avec multiplicité.
Définition. Soit P ∈ K[X] \ {0}. Notons α1 , . . . , αk la liste des racines de P dans K
(comptées sans multiplicité) et pour tout i ∈ {1, . . . , k}, désignons par mi la multiplicité
de αi en tant que racine de P . Notons enfin µ le coefficient dominant de P .
k
Y
Alors µ (X − αi )mi divise P .
i=1
k
Y
On dit que P est scindé dans K[X] si et seulement si P = µ (X − αi )mi .
i=1
Remarque. Si P est un polynôme constant non nul de K[X], il est scindé dans K[X].
Propriété. Dans C[X], tous les polynômes sont scindés.
Remarque. Le polynôme X 2 + 1 n’est pas scindé dans R[X] mais il est scindé dans
C[X], donc la propriété “P est scindé dans K[X]” dépend du corps K.
Propriété. Soit P ∈ K[X] \ {0}. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
– i) P est scindé dans K[X].
– ii) P est un produit de polynômes de degré 1 de K[X].
– iii) Les diviseurs irréductibles de P dans K[X] sont tous de degré 1.
– iv) Pour tout α ∈ C, [P (α) = 0 =⇒ α ∈ K] (i.e : les racines complexes de P sont
toutes dans K).
– v) Le nombre de racines de P dans K, comptées avec multiplicités, est égal au degré
de P .
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Démonstration.
i) ⇒ ii) : évident.
ii) ⇒ iii) : par hypothèse, (1) : P =
n
Y
Pi , où pour tout i, Pi est un polynôme de
i=1
degré 1 de K[X], mais tout polynôme de degré 1 de K[X] est irréductible dans K[X],
donc (1) est l’unique décomposition de P en produit de polynômes irréductibles de
K[X]. Ainsi l’ensemble des diviseurs irréductibles de P est {Pi /i ∈ {1, . . . , n}} ce qui
prouve iii).
iii) ⇒ iv) : Si P vérifie iii), la décomposition de P en produit de polynômes
n
Y
irréductibles dans K[X] est de la forme P (X) = µ (X − βj ), où pour tout j, βj ∈ K,
j=1
donc pour tout α ∈ C, P (α) = 0 ⇐⇒ [∃j ∈ {1, . . . , n}, α = βj ], ce qui prouve iv).
iv) ⇒ v) : Supposons que P vérifie iv). Avec les notations du second corollaire du
k
Y
théorème de d’Alembert, P (X) = µ (X − αi )mi , où d’après iv), pour tout i, αi ∈ K.
i=1
En passant au degré, on a bien deg(P ) =
k
X
mi , ce qui prouve v).
i=1
v) ⇒ i) : Supposons que P vérifie v).
Notons α1 , . . . , αk la liste des racines de P dans K (comptées sans multiplicité) et pour
tout i ∈ {1, . . . , k}, désignons par mi la multiplicité de αi en tant que racine de P .
Notons enfin µ le coefficient dominant de P .
k
Y
Alors µ (X −αi )mi divise P , mais d’après v), ces deux polynômes ont le même degré.
i=1
De plus ils ont le même coefficient dominant, donc ils sont égaux, donc P est scindé
dans K[X].
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