3. Les polynômes irréductibles de Soient p ∈ Fp[X] P, n ∈ N \ {0} et q = pn. Fp[X] 1 Factorisation de X q − X dans 2 La fonction de Möbius 3 Le nombre Irrp (n) de polynômes irréductibles de Fp[X] de degré n 1. Factorisation de X q − X dans Soient p ∈ Fp[X] P, n ∈ N \ {0} et q = pn. Fp[X]) X q − X est le produit de tous les polynômes P ∈ Fp [X] irréductibles, de Théorème (factorisation de X q − X dans cœfficient dominant égal à 1 et tels que deg(P )|n. Démonstration : • Soit P ∈ p [X] irréductible. Alors K = p [X]/(P ) est un corps de cardinal pdeg(P ) . Désignons par π : p [X] → K la projection canonique du quotient, et posons α = π(X) ∈ K. • Supposons que deg(P )|n et montrons que P |X q − X dans p [X]. deg(P ) Comme [K : p ] = deg(P ), on a FrobK = IdK , donc aussi n q FrobK = IdK et en particulier α = α. Mais alors π(X q − X) = 0 et donc P |X q − X dans p [X]. F F F F F F Factorisation de X q − X dans Fp[X] (2) Suite de la démonstration : • Réciproquement, supposons que P |X q − X dans p [X] et montrons que deg(P )|n. On a π(X q − X) = 0, donc αq = α. Ainsi FrobnK (α) = α. Par suite {x ∈ K : FrobnK (x) = x} est un sous-anneau de K qui contient α, donc il coı̈ncide avec K = p [α]. On a donc FrobnK = IdK . Comme FrobK est d’ordre deg(P ), il vient deg(P )|n. • Par ailleurs, X q − X n’a pas de facteur multiple dans p [X] puisque son polynôme dérivé est qX q−1 − 1 = −1. • Enfin, comme X q − X est de cœfficient dominant égal à 1, il est égal au produit de ses facteurs irréductibles lorsque ceux-ci sont choisis avec leur cœfficient dominant égal à 1. F F F Conséquence pour le dénombrement des irréductibles P N Soient p ∈ , n ∈ \ {0} et q = pn . Pour tout k ∈ , désignons par Irrp (k) le nombre de polynômes irréductibles de p [X] de degré k : F N déf Irrp (k) = card {P ∈ Fp[X] : deg(P ) = k, irréductible et de cœfficient dominant = 1} Corollaire pn = X d Irrp (d) d|n Démonstration : c’est l’égalité des degrés de X q − X et de sa factorisation donnée par le théorème précédent. 2. La fonction de Möbius Définition (fonction de Möbius) La fonction de Möbius est définie sur (∀n > 1) (∀n ∈ N \ {0} par : µ(1) = 1 0 si n a un facteur carré µ(n) = (−1)r si n est produit de r nombres premiers deux à deux distincts N \ {0}) µ(n) ∈ {−1; 0; 1} Proposition (µ est multiplicative) (∀n, n0 ∈ N \ {0}) pgcd(n, n0 ) = 1 =⇒ µ(nn0 ) = µ(n)µ(n0 ) Démonstration : exercice. La fonction de Möbius (2) Proposition (une formule d’Euler pour µ ?) (∀n ∈ N \ {0}) X d|n 1 si µ(d) = 0 si n=1 n>1 Démonstration : Si n = 1, la somme se réduit à µ(1) = 1. Si n > 1, on factorise n en facteurs premiers distincts : m Y r n= pj j j=1 m k Il y a exactement 2 à 2 distincts, ainsi X d|n diviseurs de n qui sont produit de k nombres premiers m X m µ(d) = (−1)k = (1 − 1)m = 0 k k=0 La fonction de Möbius (3) Proposition (formule d’inversion de Möbius) N Soit une application f : \ {0} → X posé F (n) = f (d), on a : C. Alors, si pour tout n ∈ N \ {0} on a d|n (∀n ∈ N \ {0}) f (n) = X d|n n µ( )F (d) d Démonstration : =1 si d0 =n, 0 sinon z f (n) = X d0 |n f (d0 ) }| { X µ(d) d| dn0 = XX d0 |n d| dn0 f (d0 )µ(d) = XX f (d0 ) µ(d) d|n d0 | n d | {z =F ( n ) d } 3. Le nombre Irrp (n) de polynômes irréductibles de de degré n Fp[X] Corollaire 1 (∀n ∈ N \ {0}) Irrp (n) = 1X n d µ( )p n d d|n N \ {0}) 2 (∀n ∈ 3 Irrp (n) ∼n→∞ Irrp (n) ≥ pn n 1 >0 n Démonstration : 1 La formule d’inversion de Möbius donne directement P n Irrp (n) = d|n µ( nd )pd . 2 exercice. 3 exercice.