Polynômes et fractions rationnelles

$Polynômes et fractions rationnelles$

Cours de Mathématiques
Polynômes et fractions rationnelles
Sommaire
Polynômes et fractions rationnelles
Sommaire
I
Polynômes à coefficients dans K . . . . . . . . . . . . .
I.1
Suites de K à support fini . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Degré et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Evaluation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5
Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Division dans K[X], Pgcd et Ppcm . . . . . . . . . . . .
II.1
Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Algorithme d’Euclide, Pgcd . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . .
II.5
Equation AU+BV=C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.6
Ppcm de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.7
Brève extension au cas de plusieurs polynômes . . . . .
III Racines des polynômes, factorisations . . . . . . . . . .
III.1 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Racines distinctes, polynômes scindés . . . . . . . . . .
III.3 Identification entre polynômes et fonctions polynomiales
III.4 Relations coefficients-racines pour un polynôme scindé .
IV Polynômes irréductibles et factorisations . . . . . . . .
IV.1 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Factorisation dans C[X] et dans R[X] . . . . . . . . . . .
V
Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Le corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . .
V.2
Opérations diverses sur fractions rationnelles . . . . . .
V.3
Degré, partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4
Pôles et partie polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5
Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . .
V.6
Pratique de la décomposition en éléments simples . . . .
V.7
Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
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Dans tout ce chapitre IK désigne un corps commutatif (le plus souvent IR ou C).
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Cours de Mathématiques
Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
I
Polynômes à coefficients dans K
I.1
Suites de K à support fini
Définition
Soit a = (ak )k≥0 un élément de IKIN , c’est-à-dire une suite à valeurs dans IK.
On appelle support de a l’ensemble (éventuellement vide) des indices k tels que ak 6= 0.
On note IK(IN) l’ensemble des suites de IK qui sont à support fini.
Remarques
– La suite a = (ak )k≥0 est à support fini⇔il existe un n dans IN tel que : ∀ k > n, ak = 0.
On peut alors noter symboliquement a = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .).
– Soient a = (ak )k≥0 et b = (bk )k≥0 deux éléments de IK(IN) .
a + b = (ak + bk )k≥0 est encore un élément de IK(IN) .
Pour cette loi, IK(IN) a une structure de groupe commutatif :
L’élément neutre est la suite nulle.
L’opposé de la suite (ak )k≥0 est la suite (−ak )k≥0 .
– Si a = (ak )k≥0 est dans IK(IN) , et si λ est dans IK on pose λa = (λak )k≥0 .
La suite λa est encore un élément de IK(IN) .
Pour désigner cette opération (λ, a) 7→ λa, on parle de la loi externe sur IK(IN) .
– On peut définir ce qu’on appelle des combinaisons linéaires dans IK(IN) .
Par exemple si a = (ak )k≥0 , b = (bk )k≥0 et c = (ck )k≥0 sont trois éléments de IK(IN) , et si
α, β, γ sont trois scalaires (c’est-à-dire trois éléments de IK), alors d = αa + βb + γc désigne
la suite à support fini dont le terme général est dk = αak + βbk + γck .
On dit que d est une combinaison linéaire de a, b, c, avec les coefficients α, β, γ.
an = 1
(IN)
– Pour tout n dans IN, notons en = (ak )k≥0 l’élément de IK
défini par
ak = 0 si k 6= n
Ainsi e0 = (1, 0, 0 . . .), e1 = (0, 1, 0, 0, . . .), e2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .).
– On remarque par exemple que a = (3, 0, 1, −2, 0, 0, 4, 0, 0, . . .) s’écrit a = 3e0 + e2 − 2e3 + 4e6 .
Plus généralement, soit a = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .) un élément de IK(IN) .
n
P
Alors a s’écrit a = a0 e0 + a1 e1 + · · · + an en =
ak ek .
k=0
On notera aussi a =
P
k≥0
ak ek ou a =
+∞
P
ak ek , en se souvenant que cette somme est finie.
k=0
L’écriture de a comme combinaison linéaire des en est unique, à l’ordre près.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
I.2
L’anneau K[X]
Définition (un produit sur IK(IN) )
Soient a = (ak )k≥0 et b = (bk )k≥0 deux éléments de IK(IN) .
P
On définit une suite à support fini c = ab en posant : ∀ n ∈ IN, cn =
aj b k .
j+k=n
Remarques et propriétés
– La définition précédente peut aussi s’écrire : ∀ n ∈ IN, cn =
n
P
an−k bk =
k=0
n
P
ak bn−k .
k=0
En particulier c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 , c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , etc.
– On sait qu’il existe m ∈ IN tel que j ≥ m ⇒ aj = 0 et p ∈ IN tel que k ≥ p ⇒ bk = 0.
On en déduit que si n = j + k ≥ m + p − 1, alors :
Ou bien j ≥ m et alors aj = 0.
Ou bien j ≤ m − 1 et alors k ≥ m + p − 1 − j ≥ p, donc bk = 0.
Ainsi n ≥ m + p − 1 ⇒ cn = 0, ce qui prouve que la suite c est à support fini.
– La loi produit sur IK(IN) est commutative, associative, distributive par rapport à l’addition.
La suite e0 = (1, 0, 0, . . .) est élément neutre pour ce produit.
– Pour tous indices j et k, on remarque que ej ek = ej+k .
On en déduit que pour tout n de IN, on a en = en1 (en posant e01 = e0 ).
Définition
Muni de la loi + “naturelle” et de la loi × précédente, IK(IN) est donc un anneau commutatif.
Les éléments de cet anneau sont appelés polynômes à coefficients dans IK.
Notation définitive des polynômes
– L’application ϕ : IK → IK(IN) définie par ϕ(λ) = λe0 est un morphisme injectif d’anneaux.
ϕ est donc un isomorphisme de IK sur son image {P = λe0 , λ ∈ IK}.
On peut ainsi identifier λe0 et λ. On posera donc e0 = 1 et on écrira P = λe0 = λ.
– On pose X = e1 = (0, 1, 0, 0, . . .).
Avec cette notation, Xn = en = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), et en particulier X0 = e0 = 1.
+∞
P
P
P = (ak )k≥0 s’écrit donc P =
ak X k =
ak Xk = a0 + a1 X + · · · + an Xn + · · ·
k≥0
k=0
Une telle somme, toujours finie, représente P de façon unique (à l’ordre près).
On dit que les ak sont les coefficients de P .
n
P
Si n est un entier tel que k > n ⇒ ak = 0, on notera aussi P =
a k Xk .
k=0
– L’unicité de l’écriture P =
P
k
ak X permet de procéder à des identifications.
k≥0
En particulier, P est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
P
P
De même, on a l’équivalence :
ak Xk =
bk Xk ⇔ ∀ k ∈ IN, ak = bk .
k≥0
k≥0
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
– On notera maintenant IK[X] l’anneau des polynômes à coefficients dans IK.
– Les lois sur IK[X] sont donc définies par :
Produit d’un polynôme par un scalaire : λ
a k Xk =
P
k≥0
Somme de deux polynômes :
P
ak X k +
k≥0
Produit de deux polynômes :
P
k≥0
P
k≥0
a k Xk
(λak )Xk
k≥0
b k Xk =
P
P
P
(ak + bk )Xk
k≥0
b k Xk =
k≥0
P P
k≥0
ai b j X k
i+j=k
– Soit P un élément de IK[X].
On dit que P est un monôme s’il s’écrit P = λXn , avec λ ∈ IK et n ∈ IN.
On dit que P est un polynôme constant si P = λ, avec λ ∈ IK.
– Dans la notation IK[X], on dit que le polynôme X est l’indéterminée. Il est évident que le
choix de la lettre X est assez arbitraire (quoique classique) et qu’on peut très bien travailler
sur des polynômes de l’indéterminée Y par exemple.
On peut même définir l’anneau IK[X, Y] des polynômes aux indéterminées X, Y (c’est-à-dire
des sommes de monômes λm,n Xm Yn , comme P = 1 − X + X4 Y + 2XY2 + Y3 ) mais cette
notion est hors-programme.
I.3
Degré et valuation
Définition
P
Soit P =
ak Xk un polynôme non nul de IK[X].
k≥0
On appelle degré de P et on note deg(P ) l’entier k maximum tel que ak 6= 0.
On appelle valuation de P et on note val (P ) l’entier k minimum tel que ak 6= 0.
Par convention, on pose deg(0) = −∞ et val (0) = +∞.
Exemples et remarques
– Le polynôme P = 3X2 + X3 − 2X5 + X7 est de valuation 2 et de degré 7.
P
– Si P =
ak Xk , on dit que ak est le coefficient du terme ou du monôme de degré k dans P .
k≥0
On dit que a0 est le coefficient constant de P .
– Les polynômes sont en général écrits suivant les degrés croissants (P = 3X2 + X3 − 2X5 + X7 )
ou suivant les degrés décroissants (P = X7 − 2X5 + X3 + 3X2 ). Ce choix n’est souvent qu’une
question de “confort” (identification de coefficients, division de deux polynômes, etc.)
– On a val (P ) = 0 si et seulement si le coefficient constant de P est non nul.
écrire que deg(P ) appartient à IN, c’est écrire que P est non nul.
écrire que deg(P ) ≥ 1, c’est écrire que P n’est pas un polynôme constant.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
– Soit P =
P
ak Xk un polynôme non nul, et soit n = deg(P ) ≥ 0.
k≥0
On dit que an est le coefficient dominant de P .
On dit que le polynôme P est normalisé (ou encore unitaire) si an = 1.
Proposition (degré et valuation d’une somme ou d’un produit)
Soient A et B deux éléments de IK[X]. On a les résultats suivants :
deg(A + B) ≤ max(deg(A), deg(B)), avec égalité si deg(A) 6= deg(B).
val (A + B) ≥ min(val (A), val (B)), avec égalité si val (A) 6= val (B).
deg(AB) = deg(A) + deg(B).
val (AB) = val (A) + val (B).
Proposition (intégrité de l’anneau IK[X])
L’égalité deg(AB) = deg(A) + deg(B) montre que si A 6= 0 et B 6= 0 alors AB 6= 0.
Autrement dit AB = 0 ⇒ (A = 0 ou B = 0).
Plus généralement, si A1 A2 . . . An = 0, alors l’un au moins des Ak est nul.
Autre interprétation : tout polynôme non nul est simplifiable pour le produit.
Conclusion : IK[X] est un anneau intègre.
Proposition (éléments inversibles de IK[X])
Soient A et B deux éléments de IK[X].
On a AB = 1 si et seulement si A et B sont des constantes inverses l’une de l’autre.
Les seuls éléments inversibles pour le produit dans l’anneau IK[X] sont donc les polynômes
de degré 0, c’est-à-dire les polynômes constants non nuls.
Remarques
– Les résultats de la proposition précédente sont valables y compris si A ou B est nul, avec les
conventions deg(0) = −∞, val (0) = +∞ et les règles de calculs habituelles avec ±∞.
– Si deg(A) = deg(B) = n, on peut avoir deg(A + B) < n.
Il suffit pour cela que les termes de plus haut degré de A et B se “neutralisent”.
A = X3 + X
Par exemple, si
, alors A + B = X + 1 et deg(A + B) = 1 < 3.
B = −X3 + 1
On peut aussi prendre l’exemple extrême B = −A, car alors deg(A + B) = −∞.
– De la même manière, on peut avoir val (A + B) > n si val (A) = val (B) = n.
A = X3 + X
Par exemple, si
, on a A + B = X3 + X2 et val (A + B) = 2 > 1.
2
B =X −X
De même, si on choisit B = −A, alors val (A + B) = +∞.
deg(λA) = deg(A) si λ 6= 0
– Pour tout A dans IK[X] et pour tout λ dans IK, on a
deg(λA) = −∞
si λ = 0
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
n
P
deg(Ak ). En particulier deg(An ) = n deg(A).
k=1
P
n
λk Ak ≤ max (deg(Ak )).
Pour tous scalaires λk , on a deg
– On a deg(A1 A2 · · · An ) =
k=1,.., n
k=1
Dans ce dernier résultat, si l’un des Ak est de degré supérieur aux autres et si le coefficient
λk correspondant est non nul, alors il y a égalité.
I.4
Evaluation des polynômes
Définition (Composition de deux polynômes)
P
Soit A =
ak Xk un élément de IK[X].
k≥0
Pour tout polynôme B, on pose A(B) =
P
ak B k .
k≥0
On dit que A(B) est le composé du polynôme B par le polynôme A.
Remarques et propriétés
– Un exemple : posons A = X3 + X + 1 et B = X2 − 1.
Alors A(B) = B 3 + B + 1 = (X2 − 1)3 + (X2 − 1) + 1 = X6 − 3X4 + 4X2 − 1.
– Si B = X, alors A(B) = A. Ceci justifie qu’on note souvent A(X) un polynôme de IK[X].
– Un cas classique est le calcul des polynômes A(X + h), appelés translatés du polynôme A.
Par exemple : A = aX2 + bX + 1 ⇒ A(X + 1) = aX2 + (2a + b)X + a + b + 1.
– Pour tous polynômes non nuls A et B, on a deg(A(B)) = deg(A) deg(B).
– Pour tous polynômes A, B, C, on a (AB)(C) = A(C)B(C)
Définition (Fonction polynomiale associée)
P
P
Soit A =
ak Xk un élément de IK[X]. Pour tout λ de IK, on pose A(λ) =
ak λ k .
k≥0
k≥0
On dit que A(λ) est la valeur du polynôme A en λ.
Remarques et propriétés
– A(0) est le coefficient constant de A ; A(1) est la somme de ses coefficients.
– Le calcul de A(λ) est un cas particulier de composition. On compose en effet ici le polynôme
constant λ par le polynôme A, et on obtient un polynôme constant.
– Les notations sont trompeuses. Par définition, un polynôme A n’est pas une application de
IK dans IK. A priori on ne doit donc pas le confondre avec celle qui à tout λ associe A(λ).
Cette application est appelée fonction polynomiale associée au polynôme A.
e
Pour éviter tout risque de confusion, on peut (du moins dans un premier temps) la noter A.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
e+B
e
^
A
+B =A
g=A
eB
e
AB
e
Notons ϕ l’application de IK[X] dans F(IK, IK) définie par ϕ(A) = A.
L’image du polynôme 1 (le neutre de IK[X] pour le produit) est la fonction constante λ 7→ 1
(le neutre de F(IK, IK) pour le produit des fonctions).
Ainsi ϕ est un morphisme de l’anneau (IK[X], +, ×) dans l’anneau (F(IK, IK), +, ×).
On verra que si IK est infini (notamment si IK = IR ou C)
l alors ϕ est injective et réalise
donc un isomorphisme de IK[X] sur son image c’est-à-dire sur l’ensemble des fonctions polynomiales.
Dans ce cas, on pourra identifier un polynôme avec la fonction polynomiale associée.
– Avec ces notations, et pour tous A, B dans IK[X], on a
Schéma de Horner
P
– Soit A =
ak Xk un polynôme, et λ un scalaire.
k≥0
On va voir comment calculer A(λ) en un minimum d’opérations.
Posons par exemple A = a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + a1 X + a0 .
Le calcul de A(λ) = a4 λ4 + a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0 nécessite à priori 14 opérations.
On remarque qu’on peut écrire A(λ) = (((a4 λ + a3 )λ + a2 ) λ + a1 ) λ + a0 .
Sous cette forme, le calcul de A(λ) nécessite 8 opérations.
Tout repose donc sur l’expression A = (((a4 X + a3 )X + a2 ) X + a1 ) X + a0 .
On dit que cette expression est le schéma de Horner du polynôme A.
Elle est particulièrement adaptée si on souhaite effectuer de nombreuses évaluations de A.
n
P
Plus généralement, A =
ak Xk = ((· · · ((an X + an−1 )X + an−2 ) X + · · ·) X + a1 ) X + a0
k=0
– Voici une procédure Maple permettant d’évaluer un polynôme A en un point x, et utilisant
l’algorithme de Horner sous forme itérative.
A est représenté par la liste [an , . . . , a0 ] de ses coefficients dans l’ordre des degrés décroissants :
> horner:=proc(a::list,x)
local c,t:
t:=0; for c in a do t:=t*x+c od;
end:
On teste cette fonction sur un polynôme A =
> A:=[a[5-k]$k=0..5]; horner(A,X);
5
P
ak X k :
k=0
A := [a5 , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 ]
((((a5 X + a4 )X + a3 )X + a2 )X + a1 )X + a0
Voici maintenant une version récursive de l’algorithme de Horner :
> horner2:=proc(a::list,x) local n;
if a=[] then 0 else n:=nops(a); horner2(a[1..n-1],x)*x+a[n] fi
end:
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
Et on vérifie avec le même exemple :
> horner2(A,X);
((((a5 X + a4 )X + a3 )X + a2 )X + a1 )X + a0
La fonction intégrée convert possède une option permettant de convertir un polynôme (exprimé sous forme algébrique) en sa forme de Horner.
Voici comment on retrouve le résultat précédent :
> A:=sum(a[k]*X^k,k=0..5); convert(A,horner,X);
A := a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + a4 X 4 + a5 X 5
((((a5 X + a4 )X + a3 )X + a2 )X + a1 )X + a0
I.5
Dérivation des polynômes
Dans tout ce paragraphe, et à chaque fois qu’il sera question de polynôme dérivé, on suppose
que le corps IK est infini, ce qui revient à dire qu’il contient le corps Ql des rationnels.
Cette précaution est nécessaire pour qu’on ait l’implication nλ = 0 ⇒ λ = 0 quand n ∈ IN∗ .
Autrement dit, tout élément est d’ordre 0 dans le groupe additif (IK, +).
Définition (Polynôme dérivé)
P
Soit A =
ak Xk un élément de IK[X].
k≥0
On appelle polynôme dérivé de A, le polynôme noté A0 et égal à
P
(k + 1)ak+1 Xk .
k≥0
Remarques et propriétés
– Par exemple, si A = aX3 + bX2 + cX + d alors A0 = 3aX2 + 2bX + c.
– Si A =
n
P
k=0
ak Xk , alors A0 =
n−1
P
k=0
(k + 1)ak+1 Xk , ou encore A0 =
n
P
kak Xk−1 .
k=1
– Si IK = IR, alors la fonction polynomiale associée au polynôme A0 est bien la dérivée (au
sens habituel donné à ce nom) de la fonction polynomiale associée à A. Il faut ici se limiter
à IK = IR car le programme impose de ne dériver que des fonctions d’une variable réelle.
– Pour A, B dans IK[X], et λ, µ dans IK, on a : (λA + µB)0 = λA0 + µB 0 et (AB)0 = A0 B + AB 0 .
– Si deg(A) ≥ 1 on a deg(A0 ) = deg(A) − 1 (c’est là qu’intervient l’hypothèse “IK infini”.)
Pour cette raison, A0 est le polynôme nul si et seulement si A est un polynôme constant.
Plus généralement : ∀ (A, B) ∈ IK[X]2 , A0 = B 0 ⇔ ∃ λ ∈ IK, A = B + λ.
Définition (Polynômes dérivés successifs)
Soit A un élément de IK[X].
(0)
A =A
On définit les polynômes dérivés successifs de A en posant
∀ m ∈ IN, A(m+1) = (A(m) )0
On dit que A(m) est le polynôme dérivé m-ième de A.
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Cours de Mathématiques
Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
Remarques et propriétés
– On note bien sûr A0 et A00 plutôt que A(1) et A(2) .
P
P
P (k+m)!
k!
k−m
=
ak+m Xk .
– Si A =
ak Xk , alors A(m) =
(k−m)! ak X
k!
k≥0
k≥0
k≥m
– Si deg(A) = n ≥ m, on a deg(A(m) ) = n − m.
n
n−m
n
P
P (k+m)!
P
k!
k
(m)
k−m
Si A =
ak Xk , alors A(m) =
a
X
,
ou
encore
A
=
.
k+m
m!
(k−m)! ak X
k=0
k=0
k=m
On a A(m) = 0 si et seulement si deg(A) < m.
k!
– Si m ≥ k, on a (Xk )(m) = k(k − 1) · · · (k − m + 1)Xk−m = (k−m)!
Xk−m .
En particulier, (Xm )(m) = m!, et si m > k on a bien sûr (Xk )(m) = 0.
P
– Si P =
ak Xk est de degré n, alors P (n) est le polynôme constant n! an .
k≥0
– On a toujours la propriété de linéarité : (λA + µB)(n) = λA(n) + µB (n) .
Proposition (formule de Leibniz)
m
P
Soient A, B dans IK[X], et m dans IN. On a (AB)(m) =
C km A(k) B (m−k) .
k=0
Remarque
(AB)00 = A00 B + 2A0 B 0 + AB 00
0
0
0
On retrouve (AB) = A B +AB , mais on a aussi
(AB)000 = A000 B + 3A00 B 0 + 3A0 B 00 + AB 000
On se méfiera de l’analogie entre (A + B)(n) dans IK[X] et (a + b)n dans IK.
En effet on a A(0) = A et B (0) = B aux “extrémités”, alors que dans IK on a a0 = b0 = 1.
Proposition (formule de Taylor en un point)
P
Soit A =
ak Xk un élément de IK[X], et soit λ un élément de IK.
k≥0
On a l’égalité : A = A(λ) + A0 (λ)(X − λ) +
P A(k) (λ)
A00 (λ)
2
k
(X
−
λ)
+
·
·
·
=
2!
k! (X − λ)
k≥0
Remarques
A(n) (λ)
– La somme précédente est finie, et si deg(A) = n son dernier terme est n! (X − λ)n .
– La formule de Taylor montre qu’un polynôme est entièrement déterminé par la valeur de ses
dérivées successives en un point.
– Le cas particulier λ = 0 est connu sous le nom de formule de Mac Laurin.
P
P A(k) (0) k
A(k) (0)
X
.
Ainsi
:
∀
k
≥
0,
a
=
Si A =
ak Xk , alors A =
k
k!
k! .
k≥0
k≥0
– On a l’équivalence : A(X) =
P A(k) (λ)
k≥0
k!
(X − λ)k ⇔ A(X + λ) =
P A(k) (λ)
k≥0
k!
Xk .
– La procédure suivante calcule les coefficients de B(X) = A(X+λ), où A et B sont représentés
par la liste de leurs coefficients dans l’ordre des degrés croissants.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie I : Polynômes à coefficients dans K
> transpol:=proc(A::list,h) local j,k,a: a:=A;
for j to nops(A)-1 do
for k from j to 1 by -1 do a[k+1]:=a[k+1]+h*a[k] od;
od; a:
end:
Voici un exemple d’utilisation, avec A = X4 + 2X3 − X + 1 et h = 2 :
> A:=[1,2,0,-1,1]: A,transpol(A,2);
[1, 2, 0, −1, 1],
[1, 10, 36, 55, 31]
A(X + 2) = X4 + 10X3 + 36X2 + 55X + 31 ou encore :
A(X) = (X − 2)4 + 10(X − 2)3 + 36(X − 2)2 + 55(X − 2) + 31
On vérifie avec la fonction taylor, intégrée à Maple :
Ce résultat signifie que
> A:=sum(A[5-k]*X^k,k=0..4); taylor(A,X=2);
A := 1 − X + 2X3 + X4
31 + 55(X − 2) + 36(X − 2)2 + 10(X − 2)3 + (X − 2)4
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
II
II.1
Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
Divisibilité dans K[X]
Définition (multiples et diviseurs)
Soient A et B deux éléments de IK[X].
On dit que B est un diviseur de A, ou encore que A est un multiple de B, et on note B | A,
s’il existe un polynôme Q tel que A = BQ.
On note D(A) l’ensemble des diviseurs du polynôme A, et AIK[X] l’ensemble de ses multiples.
Remarques et propriétés
– Le polynôme nul est un multiple de tout polynôme B (en effet on a 0 = 0B) mais il ne divise
que lui-même (car A = Q0 ⇒ A = 0.)
Autrement dit D(0) = IK[X] et 0IK[X] = {0}.
Si A = λ ∈ IK∗ alors A divise tout polynôme B (car B = QA avec Q = λ1 B).
Mais λ 6= 0 n’est multiple que des polynômes constants non nuls (BQ = λ ⇒ deg(B) = 0).
Autrement dit, pour tout λ de IK∗ : D(λ) = IK∗ et λIK[X] = IK[X].
– Si A = BQ avec B 6= 0, alors Q (le quotient exact de A par B) est défini de façon unique.
étant donnés deux polynômes A, B, avec B 6= 0, il est exceptionnel que B divise A.
A
Si cela se produit, on évitera cependant de noter B
leur quotient exact.
– En posant A | B, on définit une relation binaire sur IK[X] qui est réflexive et transitive.
Mais elle n’est pas antisymétrique (donc ce n’est pas une relation d’ordre).
On a en effet : (A | B et B | A) ⇔ (∃ λ ∈ IK∗ , A = λB).
On exprime cette situation en disant que les polynômes A et B sont associés.
Si on suppose que A et B sont unitaires : (A | B et B | A) ⇔ A = B.
– Si deux polynômes sont associés, alors ils ont les mêmes diviseurs (réciproque vraie).
Si deux polynômes sont associés, alors ils ont les mêmes multiples (réciproque vraie).
– Soit A un polynôme non nul, et soit λ le coefficient de plus haut degré de A.
Le polynôme A∗ = λ1 A est appelé le normalisé de A.
Deux polynômes non nuls sont associés s’ils ont le même normalisé.
– Soit A un polynôme non nul.
A∗ est l’unique polynôme normalisé tel que D(A∗ ) = D(A).
Il est l’unique polynôme normalisé tel que AIK[X] = A∗ IK[X].
– Pour tous polynômes A, B, on a : AIK[X] ⊂ BIK[X] ⇔ B | A ⇔ D(B) ⊂ D(A).
On en déduit AIK[X] = BIK[X] ⇔ A∗ = B ∗ ⇔ D(A) = D(B).
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
II.2
Division euclidienne
Proposition
Soient A et B deux éléments de IK[X], avec B 6= 0.
A = QB + R
deg(R) < deg B
Le passage du couple (A, B) au couple (Q, R) s’appelle division euclidienne de A par B.
Dans cette division, A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste.
Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes tels que
Remarques et propriétés
– Il ne faut jamais oublier de mentionner la condition deg(R) < deg(B).
– Si deg(A) < deg(B), la division euclidienne de A par B s’écrit A = 0B + A.
– Si B 6= 0, dire que B divise A, c’est dire que le reste dans la division de A par B est nul.
– Soit A dans IK[X] et α dans IK.
Le reste dans la division de A par (X − α) est la constante A(α).
– Plus généralement si A = QB + R et si B(α) = 0 alors A(α) = R(α).
√
−1+ 13
Supposons par exemple qu’on veuille calculer A(α) avec deg(A) ≥ 2 et α =
.
2
Il est sans doute plus commode de diviser par B = X2 + X − 3 car B(α) = 0.
Le reste R s’écrit en effet R = aX + b et on a alors A(α) = aα + b.
– Soient IK et IK0 deux corps, IK étant un sous-corps de IK0 .
Soient A, B deux éléments de IK[X], le polynôme B étant non nul.
Soit A = BQ + R la division euclidienne de A par B dans IK[X].
Par unicité, cette égalité représente aussi la division euclidienne de A par B dans IK0 [X].
Cette propriété est souvent utilisée avec IK = IR et IK0 = Cl : on part d’une division dans IR[X],
et on la considère momentanément comme une division dans C[X],
l
le temps de substituer à
X un nombre complexe (souvent une racine complexe du polynôme B).
– Voici un exemple de division euclidienne.
On divise ici le polynôme A = X5 + 2X3 − X2 − 4X + 3 par le polynôme B = X2 + 3X + 1.
X5
+
− 3X4 +
2X3
−
X2
−
4X
+
3
X3 − X2 − 4X + 3
10X3 + 2X2 − 4X + 3
− 28X2 − 14X + 3
70X + 31
Q = X3 − 3X2 + 10X − 28
Ainsi A = BQ + R avec
R = 70X + 31
X2 +
3X
+
1
X3 − 3X2 + 10X − 28
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
Programmation Maple
– Voici une procédure Maple qui effectue la division euclidienne d’un polynôme A par un
polynôme B (représentés par la liste de leurs coefficients suivant les degrés décroissants).
Cette procédure renvoie la liste formée du quotient puis du reste. Remarquer les instructions
du type subsop(1=NULL,L) pour supprimer le premier élément d’une liste L.
> division:=proc(A::list,B::list) local r,b,q,k,t; r:=A; b:=B;
while nops(r)>=2 and r[1]=0 do r:=subsop(1=NULL,r) od;
while nops(b)>=1 and b[1]=0 do b:=subsop(1=NULL,b) od;
if nops(b)=0 then ERROR("Diviseur nul") fi;
if nops(r)<nops(b) then [[0],r] else q:=NULL;
to nops(r)-nops(b)+1 do t:=r[1]/b[1]; q:=q,t;
for k to nops(b) do r[k]:=r[k]-t*b[k] od;
r:=subsop(1=NULL,r);
od;
while nops(r)>=2 and r[1]=0 do r:=subsop(1=NULL,r) od; [[q],r];
fi
end:
– A titre d’exemple, on reprend la division précédente :
> division([1,0,2,-1,-4,3],[1,3,1]);
[[1, −3, 10, −28], [70, 31]]
– On peut vérifier le résultat avec les fonctions intégrées quo et rem :
> A:=X^5+2*X^3-X^2-4*X+3: B:=X^2+3*X+1: quo(A,B,X),rem(A,B,X);
X 3 − 3X 2 + 10X − 28,
II.3
31 + 70X
Algorithme d’Euclide, Pgcd
Proposition (Pgcd de deux polynômes)
Soient A et B deux éléments de IK[X].
Il existe un unique polynôme normalisé ou nul D tel que D(A) ∩ D(B) = D(D).
Autrement dit, pour tout polynôme P , on a (P | A et P | B) ⇔ P | D.
On dit que D est le pgcd de A et de B. On note D = pgcd(A, B), ou D = A ∧ B.
Il existe un couple de polynômes U, V tels que AU + BV = A ∧ B.
On dit que (U, V ) est un couple de coefficients de Bezout du couple (A, B).
Remarques
– Si A = B = 0, alors D(A) = D(B) = IK[X].
Seul le polynôme D = 0 vérifie IK[X] = D(D). Ainsi 0 ∧ 0 = 0.
Dans ce cas l’égalité AU + BV = A ∧ B est vérifée pour tous polynômes U et V .
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
– L’unicité (si existence) de D = A ∧ B vient du fait que si D(D1 ) = D(D2 ) alors D1 = D2
sont associés. Or deux polynômes associés et unitaires sont égaux.
Pour démontrer la proposition quand (A, B) 6= (0, 0) on s’inspire de l’algorithme d’Euclide
dans ZZ et on forme une succession de divisions euclidiennes partant du couple (A, B), jusqu’à
obtenir un reste nul. Le pgcd de A et B est alors le normalisé du dernier reste non nul.
Mise en œuvre de l’algorithme d’Euclide
– Quitte à échanger A et B on peut supposer B 6= 0.
On pose R0 = A et R1 = B. Le polynôme R1 est le premier “reste” : il est non nul.
On effectue la division euclidienne de R0 par R1 .
Notons R0 = Q1 R1 + R2 cette division. On a bien sûr deg(R2 ) < deg(R1 ).
– Si R2 = 0, alors le procédé s’arrête, et R1 est le dernier reste non nul obtenu.
Sinon on effectue la division de R1 par R2 : R1 = Q2 R2 + R3 , avec deg(R3 ) < deg(R2 ).
– Si R3 = 0, alors le procédé s’arrête, et R2 est le dernier reste non nul obtenu.
Sinon on effectue la division de R2 par R3 .
– La k-ième étape de cet algorithme est une division Rk−1 = Qk Rk + Rk+1 .
A ce stade on a : deg(R0 ) > deg(R1 ) > · · · > deg(Rk ) > deg(Rk+1 ).
Ce procédé est fini car la suite des deg(Rk ) est strictement décroissante dans IN.
Il existe donc une n-ième étape lors de laquelle Rn−1 = Qn Rn c’est-à-dire Rn+1 = 0.
Le polynôme Rn est le dernier reste non nul obtenu dans cette méthode.
Pour montrer que le normalisé Rn∗ du dernier reste non nul est bien le pgcd de A et de B
(c’est-à-dire satisfait aux conditions de la définition), on fait les remarques suivantes :
Justification de l’algorithme d’Euclide
– Soient S 6= 0 et T deux polynômes, et T = QS + R la division euclidienne de T par S.
Alors D(T ) ∩ D(S) = D(S) ∩ D(R).
– Si on revient à l’algorithme précédent, on a donc :
D(A) ∩ D(B) = D(R0 ) ∩ D(R1 ) = D(R1 ) ∩ D(R2 ) = · · · = D(Rn−1 ) ∩ D(Rn )
Or Rn divise Rn−1 . Il en découle D(Rn ) ⊂ D(Rn−1 ) donc D(Rn−1 ) ∩ D(Rn ) = D(Rn ).
Ainsi D(A) ∩ D(B) = D(Rn ) = D(Rn∗ ).
– La k-ième étape de l’algorithme s’écrit : Rk+1 = Rk−1 − Qk Rk . Elle montre que si
Uk+1 = Uk−1 − Qk Uk
Rk−1 = AUk−1 + BVk−1
alors Rk+1 = AUk+1 + BVk+1 avec
Vk+1 = Vk−1 − Qk Vk
et Rk = AUk + BVk
R0 = AU0 + BV0
A=A·1+B·0
Or R0 = A et R1 = 1 s’écrivent
. En effet
R1 = AU1 + BV1
B =A·0+B·1
Une récurrence finie montre donc qu’il existe Un , Vn tels que Rn = AUn + BVn .
En divisant par le coefficient dominant de Rn , on obtient une égalité : Rn∗ = AU + BV .
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
Remarques et propriétés
– Pour tout polynôme A, on a A ∧ 0 = A∗ .
Plus généralement, on a A ∧ B = A∗ si et seulement si A divise B.
– Si A et B ne sont pas tous deux nuls, alors D = A ∧ B est non nul.
Le polynôme D est un diviseur commun à A et B.
Parmi tous les diviseurs communs à A et B, D est le polynôme unitaire de plus haut degré.
Cette propriété justifie l’appellation “pgcd”.
– On pourrait abandonner la condition que le pgcd de A et B soit unitaire.
Dans ce cas A ∧ B ne serait défini qu’à une constante multiplicative près, et A ∧ B serait par
exemple le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
– Pour tous polynômes A, B, C on a A ∧ B = (A − BC) ∧ B.
Par exemple, on a A ∧ B = Rk ∧ Rk+1 , pour tout couple (Rk , Rk+1 ) de restes successifs non
nuls dans l’algorithme d’Euclide appliqué au couple (A, B).
– Pour tous polynômes A et B, et tous scalaires λ, µ non nuls, on a A ∧ B = (λA) ∧ (µB).
Cela peut permettre de simplifier les divisions successives dans l’algorithme d’Euclide.
– Pour tous polynômes A, B, C, on a : (CA) ∧ (CB) = C ∗ (A ∧ B).
e et B = ∆B.
e
De même, soit ∆ un diviseur commun de A et B. Posons A = ∆A
e∧B
e est un diviseur de A ∧ B. Plus précisément : A ∧ B = ∆∗ (A
e ∧ B).
e
Alors A
Programmation Maple
– Voici une procédure Maple calculant itérativement le pgcd de deux polynômes A et B.
Les polynômes sont ici représentés par la liste de leurs coefficints (degrés décroissants).
On fait appel à la procédure division définie précédemment.
> eucl_pol:=proc(A::list,B::list)
local a,b,r,q,t;
a:=A; b:=B;
while b<>[0] do
t:=division(a,b); a:=b; b:=t[2];
od;
a/a[1];
end:
A = X6 + 2X5 − 3X4 − 5X3 + 4X2 + 3X − 2
– Voici un exemple d’utilisation, avec
B = X5 + 4X4 + 4X3 − X2 − 4X − 4
> A:=[1,2,-3,-5,4,3,-2]: B:=[1,4,4,-1,-4,-4]: eucl_pol(A,B);
[1, 1, −2]
Le pgcd de A et B est donc D = X 2 + X − 2.
– Voici une procédure Maple calculant récursivement le pgcd de A et B.
On écrit encore les polynômes comme des listes, et on utilise la procédure division.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
> euclpol_rec:=proc(a::list,b::list)
if b=[0] then a/a[1] else
euclpol_rec(b,division(a,b)[2])
fi
end:
– Pour trouver un couple (U, V ) de polynômes tels que AU + BV = A ∧ B, on peut s’inspirer
de ce qui a été fait dans la partie “arithmétique” du chapitre 4.
Voici donc une version itérative puis une version récursive.
Dans les deux cas, on utilise la notation algébrique traditionnelle pour les polynômes.
On peut ainsi utiliser les fonctions intégrées quo et rem.
Il faut indiquer l’indéterminée X en troisième paramètre.
> bezout_pol:=proc(A,B,var)
local a,b,u,v,u1,v1,u2,v2,q,r,t;
a:=A; b:=B; u1:=1; v1:=0; u2:=0; v2:=1;
while b<>0 do
q:=quo(a,b,var,’r’); a:=b; b:=r;
u:=sort(expand(u1-q*u2)); v:=sort(expand(v1-q*v2));
u1:=u2; v1:=v2; u2:=u; v2:=v;
od;
t:=lcoeff(a,var); u1/t,v1/t;
end:
> bezout_pol_rec:=proc(A,B,var) # version recursive
local Q,t:
if B=0 then 1/lcoeff(A,var),0 else
t:=bezout_pol_rec(B,rem(A,B,var,’Q’),var);
t[2],sort(expand(t[1]-Q*t[2]));
fi;
end:
A = X6 + 2X5 − 3X4 − 5X3 + 4X2 + 3X − 2
Voici un exemple d’utilisation, avec
B = X5 + 4X4 + 4X3 − X2 − 4X − 4
> A:=X^6+2*X^5-3*X^4-5*X^3+4*X^2+3*X-2:
B:=X^5+4*X^4+4*X^3-X^2-4*X-4:
t:=bezout_pol(A,B,X); bezout_pol_rec(A,B,X);
t :=
1 2
X − 29 X + 19 ,
− 18
1 3
1 2
1
4
18 X + 9 X − 2 X + 9
On vérifie que le résultat est correct :
> sort(expand(A*t[1]+B*t[2]));
X2 + X − 2
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Cours de Mathématiques
Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
II.4
Polynômes premiers entre eux
Définition
Soient A et B deux polynômes.
On dit que A et B sont premiers entre eux si A ∧ B = 1.
Cela équivaut à dire que les seuls diviseurs communs à A et B sont les constantes non
nulles.
Proposition (identité de Bezout)
Soient A et B deux polynômes.
A et B sont premiers entre eux⇔il existe deux polynômes U, V tels que AU + BV = 1.
Théorème (Théorème de Gauss)
Soient A, B, C trois polynômes.
Si A divise BC et si A est premier avec B, alors A divise C.
Remarques et propriétés
– Deux polynômes A et B non nuls sont premiers entre eux si et seulement si le dernier reste
non nul dans l’algorithme d’Euclide des divisions successives est une constante.
– Soient A et B deux polynômes (non tous deux nuls), et D un diviseur commun.
e et B
e les les polynômes tels que A = DA
e et B = DB.
e
Soient A
∗
e et B
e sont premiers entre eux.
Alors D = A ∧ B si et seulement si A
– Soient A, B, C trois polynômes.
Si A est premier
n avec B et avec C, alors il est premier avec BC.
A∧B =1
Autrement dit
⇒ A ∧ (BC) = 1.
A∧C =1
Plus généralement si pour tous indices j et k les polynômes Aj et Bk sont premiers entre
eux, alors les produits A1 A2 . . . Am et B1 B2 · · · Bn sont premiers entre eux.
En particulier : A ∧ B = 1 ⇒ Am ∧ B n = 1.
– Si λ et µ sont deux scalaires distincts, alors (X − λ) ∧ (X − µ) = 1.
Plus généralement, soient λ1 , λ2 , . . . , λn , µ1 , µ2 , . . . , µp des scalaires distincts deux à deux.
Soient α1 , α2 , . . . , αn , β1 , β2 , . . . , βp des entiers naturels.
A = (X − λ1 )α1 (X − λ2 )α2 · · · (X − λn )αn
Alors
sont premiers entre eux.
B = (X − µ1 )β1 (X − µ2 )β2 · · · (X − µp )βp
– Réciproquement si A est premier avec le produit BC, il est premier avec B et avec C.
Plus généralement si les produits A1 A2 . . . Am et B1 B2 · · · Bn sont premiers entre eux, alors
chacun des Aj est premier avec chacun des Bk .
– Soient A, B, C trois polynômes.
On suppose que A et B divisent C et que A ∧ B = 1. Alors le produit AB divise C.
Plus généralement si les polynômes A1 , A2 , . . . , An sont premiers entre eux deux à deux, et
si chacun des Ak divise le polynôme C, alors le produit A1 A2 . . . An divise C.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
II.5
Equation AU+BV=C
Proposition (résolution de AU + BV = 1)
Soient A et B deux polynômes non nuls et premiers entre eux.
Alors il existe une infinité de couples (U, V ) de IK[X]2 tels que AU + BV = 1.
U = U0 + QB
Si (U0 , V0 ) est l’un d’eux, les autres sont donnés par
avec Q ∈ IK[X].
V = V0 − QA
Il existe un unique couple solution (U, V ) tel que deg(U ) < deg(B) et deg(V ) < deg(A).
Cette solution “minimale” est celle qui est obtenue en “remontant” l’algorithme d’Euclide.
Proposition (résolution de AU + BV = A ∧ B)
Soient A et B deux polynômes non nuls.
(
e et B
e les polynômes (premiers entre eux) tels que
Soient A
e
A = (A ∧ B)A
e
B = (A ∧ B)B
Il existe une infinité de couples (U, V ) de IK[X]2 tels que AU + BV = A ∧ B.
Chacun d’eux est appelé un couple de coefficients de Bezout de (A, B).
e
Si (U0 , V0 ) est l’un d’eux, les autres sont donnés par U = U0 + QB
e avec Q ∈ IK[X].
V = V0 − QA
Résolution de l’équation AU + BV = C dans le cas général
Soient A, B, C trois polynômes de IK[X], avec A 6= 0 et B 6= 0.
On veut résoudre l’équation (E) : AU + BV = C dans IK[X]2 .
– Supposons que le polynôme C ne soit pas un multiple de A ∧ B.
Dans ce cas l’équation (E) n’a pas de solutions dans IK[X]2 .
– Supposons que le polynôme C soit divisible par A ∧ B.
Il existe donc un polynôme ∆ tel que C = ∆(A ∧ B).
Soit (U0 , V0 ) un couple de coefficients de Bezout de (A, B).
On a AU0 + BU0 = A ∧ B donc A(∆U0 ) + B(∆V0 ) = C.
Ainsi le couple (∆U0 , ∆V0 ) est une solution particulière de (E).
L’équation (E) s’écrit alors AU + BV = A(∆U0 ) + B(∆V0 ).
Par regroupement des facteurs de A et B, on obtient A(U − ∆U0 ) = B(∆V0 − V ).
(
e
e et B
e les polynômes (premiers entre eux) définis par A = A(A ∧ B)
– Soient A
e ∧ B)
B = B(A
e − ∆U0 ) = B(∆V
e
L’équation (E) équivaut alors à : A(U
0 − V ).
e∧B
e = 1, on peut appliquer le théorème de Gauss.
Puisque A
Les solutions de (E) sont donc les couples (U, V ) tels que
e
U = ∆U0 + QB
avec Q ∈ IK[X]
e
V = ∆V0 − QA
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie II : Division dans K[X], Pgcd et Ppcm
II.6
Ppcm de deux polynômes
Définition (ppcm de deux polynômes)
Soient A, B deux polynômes de IK[X].
Il existe un unique polynôme unitaire ou nul M tel que AIK[X] ∩ BIK[X] = M IK[X].
On dit que M est le ppcm de A et B. On note M = ppcm(A, B), ou M = A ∨ B.
Remarques et propriétés
Rappelons qu’on note P ∗ le polynôme unitaire associé à un polynôme non nul P .
– A ∨ B est multiple de A et B, et tout multiple de A et B est un multiple de A ∨ B.
On a l’égalité A ∨ B = A∗ si et seulement si A est un multiple de B.
– Si A = 0 ou B = 0 alors A ∨ B = 0 (le seul multiple commun à A et B est 0).
Si A 6= 0 et B 6= 0, alors M = A ∨ B 6= 0 et parmi les multiples communs à A et B, A ∨ B
est le polynôme unitaire de plus petit degré (ce qui justifie l’appellation “ppcm”).
– Pour tous polynômes A, B, et tous scalaires non nuls λ, µ, on a (λA) ∨ (µB) = A ∨ B.
Pour tous polynômes A, B, ∆, on a : (∆A) ∨ (∆B) = ∆∗ (A ∨ B).
e et B = ∆B,
e alors A ∨ B = ∆∗ (A
e ∨ B).
e
Soit ∆ un diviseur commun à A et B. Si A = ∆A
– Si A et B sont premiers entre eux, alors A ∨ B = (AB)∗ , et la réciproque est vraie.
Pour tous polynômes A et B, on a l’égalité : (A ∧ B)(A ∨ B) = (AB)∗ .
II.7
Brève extension au cas de plusieurs polynômes
Proposition
Les lois (A, B) 7→ A ∧ B et (A, B) 7→ A ∨ B sont commutatives et associatives dans IK[X].
Soit A1 , . . . , An une famille de n polynômes, avec n ≥ 2.
On note pgcd(A1 , . . . , An ) = A1 ∧ · · · ∧ An et ppcm(A1 , . . . , An ) = A1 ∨ · · · ∨ An .
Caractérisation du pgcd et du ppcm
– D = pgcd(A1 , . . . , An ) est le polynôme normalisé ou nul D tel que
n
T
D(Ak ) = D(D).
k=1
Il existe des polynômes U1 , . . . , Un tels que A1 U1 + · · · + An Un = D.
Ainsi un polynôme B divise A1 , A2 , . . . , An si et seulement si B divise D.
n
T
– M = ppcm(A1 , . . . , An ) est le polynôme normalisé ou nul tel que
Ak IK[X] = M IK[X].
Ainsi B est multiple de A1 , . . . , An ⇔ B est multiple de M .
k=1
Définition (polynômes premiers entre eux dans leur ensemble)
On dit que A1 , A2 , . . . , An sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd vaut 1.
Cela signifie que les seuls diviseurs communs à A1 , A2 , . . . , An sont les constantes non nulles.
Cela équivaut à l’existence de U1 , . . . , Un dans IK[X] tels que A1 U1 +· · ·+An Un = 1 (Bezout).
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie III : Racines des polynômes, factorisations
III
III.1
Racines des polynômes, factorisations
Racines d’un polynôme
Définition
Soit A un élément de IK[X] et α un élément de IK.
On dit que α est une racine du polynôme A si A(α) = 0.
Il est équivalent de dire que A est divisible par le polynôme X − α.
Définition
Soit A un polynôme non nul et α une racine de A dans IK.
(X − α)m | A
On appelle multiplicité de α (comme racine de A) l’entier m ≥ 1 tel que
(X − α)m+1 |A
(X − α) | A
Si m = 1, c’est-à-dire si
on dit que α est racine simple de A.
(X − α)2 |A
Si m > 1, on dit que α est racine multiple de A.
Si m = 2 (resp. m = 3) on dit que α est racine double (resp. racine triple) de A.
Remarques
– En toute précision, il faudrait dire que α est une racine de A ou que α est un zéro de la
fonction polynomiale associée à A, mais on commet souvent l’abus de langage de dire que α
est un zéro du polynôme A.
– Si α n’est pas une racine de A, il pourra cependant être commode de dire que α est une
racine de A avec la multiplicité 0.
– Si α est une racine de multiplicité m de A, alors m ≤ deg(A).
– Dire que A est divisible par (X − α)m , c’est dire que α est racine de A avec une multiplicité
au moins égale à m.
– Si IK est un sous-corps de IK0 , et si A est dans IK[X], alors A est dans IK0 [X].
Chacune des racines de A dans IK est racine de A dans IK0 , et avec la même multiplicité.
En revanche, il se peut que A admette des racines qui soient dans IK0 mais pas dans IK.
Par exemple, soit A = (X2 − 2)(X2 + 1) :
A n’a pas de racines dans Q.
l
√
√
Ses racines dans IR sont − 2 et 2.
√ √
Ses racines dans Cl sont − 2, 2, −i, i.
Proposition
Soit A dans IK[X], α dans IK, et m dans IN.
α est racine de A avec la multiplicité m ⇔ ∃ B ∈ IK[X],
A = (X − α)m B
B(α) 6= 0
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie III : Racines des polynômes, factorisations
Proposition (caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives)
Soit A dans IK[X], α dans IK, et m dans IN.
A(α) = A0 (α) = · · · = A(m−1) (α) = 0
α est racine de A avec la multiplicité m ⇔
A(m) (α) 6= 0
La multiplicité d’une racine α de A est donc l’ordre de la première dérivée non nulle en α.
Exemples
A(α) = 0
A0 (α) = 0
A(α) = A0 (α) = 0
A(α) = A0 (α) = A00 (α) = 0
– α est racine double⇔
,
triple⇔
A00 (α) 6= 0
A000 (α) 6= 0
– α est racine simple⇔
A(α) = 0
, multiple⇔
A0 (α) 6= 0
Proposition
Soit A dans IK[X], α dans IK, et m dans IN.
Supposons que α soit racine de A avec la multiplicité m ≥ 1.
Alors α est racine de A0 avec la multiplicité m − 1.
Supposons que α soit racine de A0 avec la multiplicité m.
Si A(α) = 0, alors α est racine de A avec la multiplicité m + 1.
Proposition (racines complexes d’un polynôme à coefficients réels)
Soit A un polynôme de IR[X]. Soit α une racine de A dans Cl de multiplicité m.
l avec la même multiplicité m.
Alors α est une racine de A dans C,
III.2
Racines distinctes, polynômes scindés
Proposition
Soit A un polynôme non nul de IK[X].
Soient α1 , α2 , . . . , αp dans IK, distincts deux à deux. Soient m1 , m2 , . . . , mp dans IN.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
Pour tout k de {1, . . . , p}, αk est racine de A avec la multiplicité mk .
p
Q
Il existe Q dans IK[X] tel que A = Q (X − αk )mk et ∀ k ∈ {1, . . . , n}, Q(αk ) 6= 0.
k=1
Remarque
Quand on dénombre les racines d’un polynôme A, on peut soit considérer les racines distinctes
de A (indépendamment de leur multiplicité) soit au contraire compter chaque racine autant
de fois que sa multiplicité.
Ainsi une racine double sera comptée deux fois, une racine triple trois fois, etc.
Proposition (nombre maximum de racines d’un polynôme)
Soit A un polynôme de IK[X], de degré n ≥ 0.
A admet au plus n racines dans IK, chacune étant comptée autant de fois que sa multiplicité.
En particulier, A admet au plus n racines distinctes dans IK.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie III : Racines des polynômes, factorisations
Proposition (polynômes scindés)
Soit A dans IK[X], de degré n ≥ 1. Soient α1 , α2 , . . . , αp ses racines distinctes dans IK.
Soient m1 , m2 , . . . , mp leurs multiplicités respectives (les mk ≥ 1).
On suppose que m1 + m2 + · · · + mp = n (autrement dit on suppose que A admet n racines
dans IK, chacune étant comptée autant de fois que sa multiplicité.)
p
Q
Alors A = λ (X − αk )mk , où λ est le coefficient dominant de A.
k=1
On exprime cette situation en disant que le polynôme A est scindé dans IK.
Remarque
Dire qu’un polynôme A est scindé dans IK c’est dire qu’il peut s’écrire sous la forme d’un
n
Q
produit de facteurs du premier degré : A = λ (X − βk ), où n = deg(A) et où β1 , . . . βn sont
k=1
les racines (distinctes ou non) de A dans IK.
Théorème (théorème de d’Alembert-Gauss)
Soit A un polynôme de C[X],
l
de degré n ≥ 1.
Alors A admet au moins une racine dans C.
l
On exprime cette propriété en disant que le corps Cl est algébriquement clos.
Proposition
Dans C[X],
l
tout polynôme non constant est scindé.
Ainsi tout polynôme de degré n ≥ 1 dans C[X]
l
admet exactement n racines dans C,
l chacune
étant comptée autant de fois que sa multiplicité.
III.3
Identification entre polynômes et fonctions polynomiales
Proposition
Soit A un polynôme de IK[X], de degré inférieur ou égal à n.
On suppose que A s’annule en au moins n + 1 points distincts de IK.
Alors A est le polynôme nul.
Proposition
Soient A, B deux polynômes de IK[X], de degrés inférieurs ou égaux à n.
On suppose que A et B prennent la même valeur en au moins n + 1 points distincts de IK.
Alors les polynômes A et B sont identiques (autrement dit ils ont les mêmes coefficients.)
Proposition
e
Soit ϕ l’application qui à un polynôme A de IK[X] associe la fonction polynomiale A.
On sait que ϕ est un morphisme d’anneaux de (IK[X], +, ×) dans (F(IK, IK), +, ×).
Si le corps IK est infini, alors le morphisme ϕ est injectif. C’est un isomorphisme de IK[X]
sur son image, c’est-à-dire sur l’ensemble des fonctions polynomiales de IK dans IK.
Il n’y a alors aucun risque à identifier un polynôme et la fonction polynomiale associée.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie III : Racines des polynômes, factorisations
III.4
Relations coefficients-racines pour un polynôme scindé
Définition (fonctions symétriques élémentaires)
Soient x1 , x2 , . . . , xn une famille de n éléments de IK. On note :
σ1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + · · · + xn
P
σ2 (x1 , x2 , . . . , xn ) =
xi xj (somme des produits deux à deux)
i<j
∀ k ∈ {1, . . . , n}, σk (x1 , x2 , . . . , xn ) =
P
xi1 xi2 · · · xik (somme des produits k à k)
i1 <i2 <···<ik
σn (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 · · · xn
Les quantités précédentes (notées plus simplement σ1 , σ2 , . . . , σn s’il n’y pas d’ambiguité)
sont appelées fonctions symétriques élémentaires de x1 , x2 , . . . , xn .
Exemples et remarques
– Chaque expression σk est une somme de C kn termes.
– Les fonctions symétriques élémentaires de a, b sont σ1 = a + b et σ2 = ab.
Celles de a, b, c sont σ1 = a + b + c, σ2 = ab + ac + bc et σ3 = abc.
σ1 = a + b + c + d,
σ2 = ab + ac + ad + bc + bd + cd
Celles de a, b, c, d sont
σ3 = abc + abd + acd + bcd,
σ4 = abcd
– Soient s une permutation de {1, 2, . . . , n} et k un élément de {1, . . . , n}.
On a σk (x1 , . . . , xn ) = σk (xs(1) , . . . , xs(n) ), ce qui justifie le nom de “fonctions symétriques”.
Elles sont dites “élémentaires” parce que de nombreuses autres fonctions symétriques de
x1 , x2 , . . . , xn peuvent s’écrire en fonction de σ1 , σ2 , . . . , σn .
1
1
1
σn−1
– Ainsi S2 = x21 + x22 + · · · + x2n = σ12 − 2σ2 , ou encore
+
+ ··· +
=
.
x1 x2
xn
σn
Proposition (relations coefficients-racines)
Soit A = an Xn + an−1 Xn−1 + · · · + a1 X + a0 un polynôme de IK[X], avec deg(A) = n ≥ 1.
On suppose que le polynôme A est scindé dans IK.
n
Q
Ainsi A = an (X−αk ) ou α1 , . . . , αn sont les racines non nécessairement distinctes de A.
k=1
Soient σ1 , σ2 , . . . , σn les fonctions symétriques élémentaires de α1 , α2 , . . . , αn .
an−k
.
Alors on a les égalités : ∀ k ∈ {1, . . . , n}, σk = −
an
Exemples
– Si P = aX2 + bX + c = a(X − α)(X − β), alors σ1 = α + β = −
b
c
et σ2 = αβ = .
a
a
– Si P = aX3 + bX2 + cX + d = a(X − α)(X − β)(X − γ), alors :
b
c
d
σ1 = α + β + γ = − , σ2 = αβ + αγ + βγ = , σ3 = αβγ = −
a
a
a
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie III : Racines des polynômes, factorisations
Proposition
Soient σ1 , . . . , σn les fonctions symétriques élémentaires de n scalaires α1 , . . . , αn .
Soient λ1 , λ2 , · · · , λn une famille de n scalaires.

σ = λ1
Soit (E) l’équation xn − λ1 xn−1 + · · · + (−1)n−1 λn−1 x + (−1)n λn = 0.

 1
σ2 = λ2
On considère le système (S) de n équations, aux n inconnues x1 , x2 , . . . , xn :
···

Les conditions suivantes sont équivalentes :
σn = λn
Le n-uplet (x1 , x2 , . . . , xn ) est solution de (S).
L’ensemble {x1 , x2 , . . . , xn } est égal à l’ensemble des solutions de (E).
Exemples
– Soit (E) l’équation t2 − St + P = 0, d’inconnue t dans IK.
Soit S l’ensemble de ses solutions dans IK.
Ces deux conditions sont équivalentes :
x+y =S
Le couple (x, y) est solution du système
xy = P
{x, y} est égal à S.
– Soit (E) l’équation t3 − St2 + λt − P = 0, d’inconnue t dans IK.
Soit S l’ensemble de ses solutions dans IK.
(x + y + z = S
Ces deux conditions sont équivalentes :
Le triplet (x, y, z) est solution du système xy + xz + yz = λ
xyz = P
{x, y, z} est égal à S.
Un exemple d’utilisation des fonctions symétriques élémentaires.
– On considère le polynôme A = X3 + X2 + 3X + 2. Soient α, β, γ ses racines dans C.
l
On se propose de calculer les sommes Sn = αn + β n + γ n , pour n dans IN.
On a tout d’abord S0 = 3, S1 = σ1 = −1, S2 = σ12 − 2σ2 = −5.


 α3 + α2 + 3α + 2 = 0
 αn + αn−1 + 3αn−2 + 2αn−3 = 0
On a β 3 + β 2 + 3β + 2 = 0 puis, pour tout n ≥ 3 : β n + β n−1 + 3β n−2 + 2β n−3 = 0
 3
 n
γ + γ 2 + 3γ + 2 = 0
γ + γ n−1 + 3γ n−2 + 2γ n−3 = 0
On en déduit, après addition terme à terme : ∀ n ≥ 3, Sn = −Sn−1 − 3Sn−2 − 2Sn−3 .
Ainsi S3 = −S2 − 3S1 − 2S0 = 2, S4 = −S3 − 3S2 − 2S1 = 15, etc.
Le polynôme A admet deux racines complexes conjuguées non réelles, et une racine réelle
que voici, telle que donnée par Maple (on voit bien que le calcul des Sn ne peut pas se faire
par utilisation des expressions des racines de A) :
q
√
1 3
16
1
1
p
−
116 + 12 321 +
−
√
6
3 3 116 + 12 321 3
Remarque : Voici comment obtenir directement S4 = 15 avec Maple.
> sum(x^4,x=RootOf(x^3+x^2+3*x+2));
15
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie IV : Polynômes irréductibles et factorisations
IV
IV.1
Polynômes irréductibles et factorisations
Polynômes irréductibles
Définition
Soit P un polynôme non constant de IK[X].
On dit que P est irréductible dans IK[X] si ses seuls diviseurs dans IK[X] sont :
Les polynômes constants non nuls.
Les polynômes associés à P , c’est-à-dire les λP , avec λ dans IK∗ .
Remarques et propriétés
– Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
Si deg(P ) ≥ 2 et si P admet une racine dans IK, P n’est pas irréductible dans IK[X].
– Si deg(P ) ∈ {2, 3} et si P n’a pas de racine dans IK alors il est irréductible dans IK[X].
Cette propriété cesse d’être vraie si deg(P ) ≥ 4 (exemple : P = (X2 + 1)2 dans IR[X])
– La notion de polynôme irréductible dépend du corps IK.
Ainsi A = X 2 − 2 est irréductible dans Q[X],
l
mais il ne l’est pas dans IR[X].
2
De même A = X + 1 est irréductible dans IR[X], mais il ne l’est pas dans C[X].
l
– Si un polynôme irréductible P ne divise pas un polynôme A, alors il est premier avec A.
En particulier, P est premier avec les polynômes de degré strictement inférieur à deg(P ).
– Si un polynôme P est irréductible, ses associés le sont aussi.
Si deux polynômes irréductibles ne sont pas associés, ils sont premiers entre eux.
Deux polynômes irréductibles unitaires distincts sont premiers entre eux.
– Soit P un polynôme irréductible, et soit A1 , A2 , . . . , An une famille de polynômes.
Alors P divise le produit A1 A2 . . . An si et seulement si P divise l’un au moins des Ak .
Proposition
Tout polynôme non constant est divisible par au moins un polynôme irréductible.
Théorème (décomposition en produit de polynômes irréductibles)
Tout polynôme A non constant s’écrit A = λP1α1 P2α2 . . . Pmαm , où :
– m est un entier strictement positif.
– P1 , P2 , . . . , Pm sont des polynômes irréductibles unitaires distincts deux à deux.
– α1 , α2 , . . . , αm sont des entiers strictement positifs.
Une telle écriture de A est unique à l’ordre près des facteurs.
On l’appelle décomposition de A en produit de facteurs irréductibles.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie IV : Polynômes irréductibles et factorisations
Remarques et propriétés
– Dans l’écriture précédente de A, les Pk sont les diviseurs irréductibles unitaires de A.
– Supposons que {P1 , . . . , Pm } contienne l’ensemble des diviseurs irréductibles unitaires de A.
Alors on peut encore écrire A = λP1α1 P2α2 . . . Pmαm , où les αk sont seulement supposés ≥ 0.
Pour un ensemble {P1 , P2 , . . . , Pm } donné, il y a encore unicité de l’écriture.
Un polynôme constant λ peut s’écrire sous cette forme, avec des αk tous égaux à 0.
– Soit A = λP1α1 . . . Pmαm dans IK[X] (les Pk irréductibles normalisés distincts, les αk ∈ IN).
Soit B un polynôme non constant de IK[X].
Le polynôme B divise A ⇔ B = µP1β1 . . . Pmβm , avec 0 ≤ βk ≤ αk pour tout k.
– Soient A et B deux entiers naturels.
Soient P1 , P2 , . . . , Pm les polynômes irréductibles normalisés distincts divisant A ou B.
On peut donc écrire A = λP1α1 P2α2 . . . Pmαm et B = µP1β1 P2β2 . . . Pmβm , où les αk , βk sont ≥ 0.
γk = min(αk , βk )
A ∧ B = P1γ1 P2γ2 . . . Pmγm
Dans ces conditions
avec
pour tout k.
δ1 δ2
δm
δk = max(αk , βk )
A ∨ B = P 1 P2 . . . Pm
Ce résultat permet de retrouver l’égalité (A ∧ B)(A ∨ B) = (AB)∗ .
On a en effet γk + δk = αk + βk pour tout indice k.
IV.2
Factorisation dans C[X] et dans R[X]
Proposition
Les polynômes irréductibles dans C[X]
l
sont les polynômes de degré 1.
Proposition (factorisation dans C[X])
l
Soit A un polynôme non constant de C[X].
l
Alors A s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) A = λ
p
Q
(X − αk )mk où :
k=1
λ est le coefficient dominant de A.
α1 , α2 , . . . , αp sont les racines distinctes de A dans C.
l
m1 , m2 , . . . , mp sont leurs multiplicités respectives (ce sont des éléments de IN∗ .)
Un exemple
Les racines de Xn − 1 dans Cl sont les racines n-ièmes de l’unité ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 .
Ce sont toutes des racines de multiplicité 1.
n−1
n−1
Q
Q
2ikπ
n
La factorisation dans C[X]
l
est donc X − 1 =
(X − ωk ) =
X − exp n
k=0
k=0
En utilisant les relations coefficients-racines, on trouve immédiatement :
ω0 + ω1 + · · · + ωn−1 = 0,
et ω0 ω1 · · · ωn−1 = (−1)n−1
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie IV : Polynômes irréductibles et factorisations
Proposition
Les polynômes irréductibles dans IR[X] sont :
Les polynômes de degré 1.
Les polynômes P = aX2 + bX + c de degré 2 et de discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0.
Proposition (factorisation dans IR[X])
Soit A un polynôme non constant de IR[X]. Alors A s’écrit de manière unique (à l’ordre
p
q
Q
Q
près des facteurs) : A = λ (X − αk )rk
(X2 + bk X + ck )sk où :
k=1
k=1
λ est le coefficient dominant de A.
α1 , α2 , . . . , αp sont les racines distinctes de A dans IR.
r1 , r2 , . . . , rp sont leurs multiplicités respectives (ce sont des éléments de IN∗ .)
Les polynômes X2 + bk X + ck sont distincts deux à deux. Ils ont un discriminant négatif.
Dans C[X],
l
chaque X2 + bk X + ck se factoriserait en (X − βk )(X − βk ), où βk est l’une des
racines complexes non réelles de A.
Les entiers s1 , . . . , sq (tous ≥ 1) sont les multiplicités respectives de β1 , . . . , βq dans C[X].
l
Remarques
– Dans l’écriture précédente de A, il est possible que q soit nul (si A est scindé dans IR), ou
que p soit nul (si A ne possède que des racines complexes non réelles.)
p
q
Q
Q
Dans ce cas, le produit “vide”
· · · ou
· · · prend la valeur 1.
k=1
k=1
– Il arrive souvent qu’on ait à factoriser dans IR[X] des polynômes “bicarrés” à discriminant
négatif, c’est-à-dire du type A = X4 + bX2 + c, avec ∆ = b2 − 4c < 0.
Dans ce cas, on considère les termes X4 et c comme provenant du développement d’un carré.
√
√
Plus précisément, on écrit : X4 + bX2 + c = (X2 + c)2 − (2 c − b)X 2 .
√
Or le coefficient 2 c − b est strictement positif.
On peut donc l’écrire comme un carré β 2 .
√
√
√
On arrive alors à X4 + bX2 + c = (X2 + c)2 − β 2 X 2 = (X2 + βX + c)(X2 − βX + c).
– Pour factoriser dans IR[X] un polynôme A ayant des racines non réelles, on peut le factoriser
dans C[X]
l
puis regrouper les facteurs correspondant à des racines complexes non réelles.
Il y a parfois une meilleure méthode comme le montre l’exemple suivant.
– Factorisation de A = X8 + X4 + 1 dans IR[X].
On a tout d’abord A = (X4 + 1)2 − X4 = (X4 − X2 + 1)(X4 + X2 + 1).
√
√
4
(X − X2 + 1) = (X2 + 1)2 − 3X2 = (X2 + 3X + 1)(X2 − 3X + 1)
Ensuite
(X4 + X2 + 1) = (X2 + 1)2 − X2 = (X2 + X + 1)(X2 − X + 1)
√
√
Conclusion : X8 + X4 + 1 = (X2 + X + 1)(X2 − X + 1)(X2 + 3X + 1)(X2 − 3X + 1)
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
V
V.1
Fractions rationnelles
Le corps des fractions rationnelles
Dans la suite de ce chapitre, IK = IR ou C.
l
Définition (Le corps IK(X))
On note IK(X) le corps des fractions de l’anneau intègre IK[X].
Les éléments de IK(X) sont appelés fractions rationnelles à coefficients dans IK.
Remarques
– Pour tout F de IK(X), il existe A et B, dans IK[X], avec B 6= 0, tels que F = AB −1 .
A
Le produit dans IK(X) étant commutatif, on note plutôt F = .
B
Dans cette écriture, on dit bien sûr que A est le numérateur et que B est le dénominateur.
A
Dans toute la suite, quand on dira “soit F =
une fraction rationnelle”, il sera sous-entendu
B
que A et B sont deux polynômes de IK[X], avec B 6= 0.
– Le corps IK(X) contient l’anneau IK[X], car tout polynôme P s’écrit P =
P
.
1
A
C
et G =
dans IK(X). On a F = G ⇔ AD = BC.
B
D
AQ
A
En particulier, pour tous polynômes A, B, Q, avec B 6= 0 et Q 6= 0, on a
= .
BQ
B
A
Soit F =
un élément de IK(X). Soit ∆ = A ∧ B 6= 0.
B
C
A = ∆C
Il existe C, D tels que
, donc tels que F = , avec C ∧ D = 1.
D
B = ∆D
On dit alors que F est écrite sous forme irréductible, ou simplifiée.
A
C
– Réciproquement, supposons F =
= , avec C ∧ D = 1.
B
D
Alors il existe Q dans IK[X] tel que A = QC et B = QD.
Si on supppose aussi A ∧ B = 1, alors il existe λ dans IK∗ tel que A = λC et B = λD.
On en déduit que la forme irréductible d’une fraction rationnelle non nulle est unique si on
impose au dénominateur d’être un polynôme unitaire.
– Soient F =
– Il serait facile de vérifier que toutes les définitions et propriétés à venir et portant sur une
fraction rationnelle R ne dépendent pas, sauf hypothèse particulière, du couple de polynômes
A, B choisis pour représenter R.
A C
AD + BC
A C
AC
– Il en est ainsi de la définition des lois sur IK(X) :
+
=
et
=
.
B D
BD
B D
BD
A
−A
Le neutre pour + est F = 0. L’opposé de F =
est −F =
.
B
B
A
1
B
Le neutre pour × est F = 1. Si A 6= 0, l’inverse de F =
est
= .
B
F
A
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
V.2
Opérations diverses sur fractions rationnelles
Produit par un scalaire
A
λA
On définit le produit d’une fraction rationnelle par un élément de IK : λ =
.
B
B
n
n
P
P Ak
λk
On dit alors que F =
λk Fk =
est une combinaison linéaire de F1 , . . . , Fn .
Bk
k=1
k=1
Définition (fonctions rationnelles)
A
Soit F =
une fraction rationnelle irréductible.
B
eB
e les fonctions polynomiales associées à A et B.
Soient A,
e
A(x)
On appelle fonction rationnelle Fe associée à F l’application x 7→ Fe(x) =
.
e
B(x)
Le domaine de définition de Fe est IK privé de l’ensemble des racines de B.
Remarques
– Par hypothèse, le corps IK est infini (en général IK = IR ou IK = C).
l
L’application qui a une fraction rationnelle F associe sa fonction rationnelle associée Fe est
e alors F = G. On peut donc sans grand danger identifier
injective. Autrement dit si Fe = G
une fraction rationnelle à sa fonction rationnelle associée.
– Soit F dans IR[X], et α dans C.
l Alors Fe(α) = Fe(α).
Définition (fraction rationnelle dérivée)
A0 B − AB 0
A
est la fraction rationnelle dérivée de F = .
On dit que F 0 =
2
B
B
Remarques
– Cette définition ne dépend pas du couple (A, B) utilisé pour représenter F .
– On vérifie les propriétés (λF + µG)0 = λF 0 + µG0 , et (F G)0 = F 0 G + F G0 .
– On a également une formule de Leibniz.
– On a F 0 = 0 si et seulement si F est un polynôme constant.
– Si F est une fraction rationnelle à coefficients réels, la fonction rationnelle associée à F 0 est
la dérivée (au sens habituel donné à ce terme) de la fonction rationnelle associée à F .
Définition
Pour tout polynôme A =
+∞
P
k=0
ak Xk ∈ C[X],
l
on note A =
+∞
P
a k Xk .
k=0
A
A
Soit F =
dans C(X).
l
On appelle conjuguée de F la fraction rationnelle F = .
B
B
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
Remarques
– Soient F, G dans C(X)
l
et λ, µ dans C.
l Alors λF + µG = λ F + µ G.
– Soit F un élément de C(X).
l
Alors F = F ⇔ F est un élément de IR(X).
Composition de deux fractions rationnelles
n
P
– Soit A =
ak Xk un polynôme, et soit F une fraction rationnelle.
k=0
On pose A(F ) =
n
P
ak F k . C’est un élément de IK(X).
k=0
– Soient F et G deux fractions rationnelles, F n’étant pas constante.
A
A(F )
Si G = , on pose G(F ) =
. C’est un élément de IK(X) (on a B(F ) 6= 0).
B
B(F )
On dit que G(F ) est la composée de la fraction rationnelle F par la fraction rationnelle G.
X2 + 1
X2 + 1
.
Alors
G(−X)
=
.
X3 + X − 1
X3 − X − 1
1
1
+1
4
X
+
1
X3 + X
X2
De même, G(X2 ) = 6
et
G
=
=
1
1
X + X2 − 1
X
−X3 + X2 + 1
+
−
1
X3 X
– On a bien sûr G(X) = G. C’est pourquoi on peut noter G(X) une fraction rationnelle.
paire si G(−X) = G(X)
– On dit qu’une fraction rationnelle G est
impaire si G(−X) = −G(X)
2
A(X )
XA(X2 )
G est paire⇔ G(X) =
;
G
est
impaire⇔
G(X)
=
(A, B ∈ IK[X])
B(X2 )
B(X2 )
A(X2 )
X4 − 1
Par exemple G = 6
est
paire
:
G
=
avec A = X2 − 1 et B = X3 + 3X + 1.
X + 3X2 + 1
B(X2 )
X4 + 1
XA(X2 )
De même, G =
est
impaire
:
G
=
avec A = X2 + 1 et B = X(X + 1).
X(X2 + 1)
B(X2 )
– Posons par exemple G =
V.3
Degré, partie entière
Définition (Degré d’une fraction rationnelle)
A
Soit F =
une fraction rationnelle non nulle.
B
L’entier relatif deg(F ) = deg(A) − deg(B) est appelé degré de F .
Remarques
A
C
– Si F =
=
(donc AD = BC), on a bien sûr deg(A) − deg(B) = deg(C) − deg(D).
B
D
– Si F est en fait un polynôme, son degré (en tant qu’élément de IK(X)) coı̈ncide avec son
degré (en tant qu’élément de IK[X]).
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
– On étend la définition en posant que le degré de F = 0 est −∞.
– On vérifie : deg(F + G) ≤ max(deg(F ), deg(G)) et deg(F G) = deg(F ) + deg(G).
– Si F n’est pas constante, et si n ∈ ZZ est son degré, celui de F 0 est n − 1.
Proposition (Partie entière)
Tout élément F de IK(X) s’écrit de manière unique F = P + G, où P est un polynôme, et
où G est une fraction rationnelle de degré strictement négatif.
On dit que le polynôme P est la partie entière de la fraction rationnelle F .
Remarques et propriétés
A
– Posons F = , et soit A = BQ + C la division euclidienne de A par B.
B
C
On a l’égalité F = Q +
avec deg(C) < deg(B).
B
La partie entière de F est donc le quotient dans la division de A par B.
En particulier, si deg(A) = deg(B), la partie entière de F est la constante obtenue par
quotient des coefficients dominants des polynômes A et B.
– Notons E(F ) la partie entière de toute fraction rationnelle F .
Pour tout polynôme P , on a E(P ) = P .
Soit F dans IK(X). On a E(F ) = 0 ⇔ le degré de F est strictement négatif.
A
Soit F = , avec deg(A) ≥ deg(B). Alors deg E(F ) = deg(A) − deg(B).
B
Soient F, G dans IK(X) et λ, µ dans IK. Alors E(λF + µG) = λE(F ) + µE(G).
Si F est paire (resp. impaire), alors E(F ) est un polynôme pair (resp. impair).
V.4
Pôles et partie polaires
Définition (pôles d’une fraction rationnelle)
A
Soit F =
une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible.
B
Soit α un élément de IK, et m dans IN∗ . On dit que α est un pôle de F , avec la multiplicité
m, si α est une racine du polynôme B avec la multiplicité m.
Remarques
– Avec ces notations, α n’est pas racine de A car A ∧ B = 1.
A(α) 6= 0
A
– α est un pôle de F avec la multiplicité m ⇔ F =
, avec
m
(X − α) Q
Q(α) =
6 0
– On parle de pôle simple si m = 1, et de pôle multiple si m > 1.
On parle de pôle double si m = 2, triple si m = 3, etc.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
A
avec A(α) 6= 0, B(α) = 0, B 0 (α) 6= 0.
B
A(α) 6= 0
A
De même α est un pôle double de F ⇔ F =
avec
B
B(α) = B 0 (α) = 0, B 00 (α) 6= 0
– Soit F une fraction rationnelle à coefficients réels.
Soit α un pôle complexe non réel de F , avec la multiplicité m.
Alors α est un pôle de F , avec la multiplicité m.
– α est pôle simple de F ⇔ F =
Proposition (Partie polaire)
Soit F une fraction rationnelle de IK(X), admettant α comme pôle de multiplicité m ≥ 1.
m
P
λk
Alors F s’écrit de manière unique F =
+ G, où (λ1 , . . . , λm ) ∈ IKm et où G
k
k=1 (X − α)
est une fraction rationnelle n’admettant pas α pour pôle.
m
P
λk
On dit alors que
est la partie polaire de F relativement au pôle α.
k
k=1 (X − α)
Remarque
Les pôles de G sont ceux de F (sauf α), avec les mêmes multiplicités respectives.
Cas d’un pôle simple
Soit F un élément de IK(X) admettant α comme pôle simple.
λ
+ G, où α n’est pas un pôle de G.
Il existe donc λ dans IK tel que F =
X−α
Voici trois méthodes permettant de calculer le coefficient λ.
A
A(α)
Posons F =
, avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0. Alors λ =
.
(X − α)Q
Q(α)
Dans la pratique, on multiplie F par (X − α), et après simplification on substitue α à X.
Cette méthode est très adaptée au cas courant où B est factorisé.
Avec la fonction rationnelle associée à F , on écrit : λ = lim (x − α)Fe(x).
x→α
Ce passage à la limite est plutôt à réserver quand IK = IR.
A
A(α)
, avec A(α) 6= 0. Alors λ = 0
.
B
B (α)
Cette méthode est très adaptée au cas où B n’est pas factorisé.
Posons F =
Un cas classique est B = Xn − 1 : les pôles sont les racines n-ièmes de l’unité.
Cas d’un pôle double
Soit F un élément de IK(X) admettant α comme pôle double.
λ
µ
Il existe donc λ, µ dans IK tels que F =
+
+ G, où α n’est pas un pôle de G.
2
(X − α)
X−α
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
Posons F =
A
A(α)
, avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0. Alors λ =
.
2
(X − α) Q
Q(α)
Avec la fonction rationnelle associée à F , on a : λ = lim (x − α)2 Fe(x).
x→α
Posons F =
A
2A(α)
, avec A(α) 6= 0. Alors λ = 00
.
B
B (α)
Une fois calculé le coefficient λ, on peut écrire : H = F −
µ
λ
=
+ G.
2
(X − α)
X−α
Ou bien α n’est pas un pôle de H (donc µ = 0 et c’est fini), ou bien α est un pôle simple
de H et on est ramené à des méthodes connues.
Cas d’un pôle multiple
Soit F un élément de IK(X) admettant α comme pôle avec la multiplicité m ≥ 2.
m
P
λk
Il existe λ1 , . . . , λm dans IK tels que F =
+ G, où α n’est pas un pôle de G.
k
k=1 (X − α)
1
On peut assez facilement calculer le coefficient λm de
:
(X − α)m
A
A(α)
Posons F =
, avec A(α) 6= 0 et Q(α) 6= 0. Alors λm =
.
m
(X − α) Q
Q(α)
On peut aussi écrire λm = lim (x − α)m Fe(x).
x→α
A
m!A(α)
, avec A(α) 6= 0. Alors λm = (m)
(méthode peu utilisée).
B
B (α)
m−1
P
λ
λk
Une fois calculé λm , on peut écrire : H = F −
=
+ G.
m
k
(X − α)
k=1 (X − α)
On est alors en mesure de calculer λm−1 , etc.
Cette méthode est cependant très lourde si m est “grand” (ce qui heureusement est rare).
A(α) 6= 0
A
Pour de “grandes” valeurs de m, on revient à F =
,
avec
(X − α)m Q
Q(α) 6= 0
m
m
P
P
λk
A
L’égalité F =
+ G devient :
=
λk (X − α)m−k + (X − α)m G.
k
(X
−
α)
Q
k=1
k=1
La substitution qui consiste à remplacer X par X + α donne alors :
Posons F =
A(α + X) = (λm + λm−1 X + · · · + λ1 Xm−1 )Q(α + X) + Xm G(X + α)
On peut alors calculer successivement λm , . . . , λ2 , λ1 par une méthode de division suivant les
puissances croissantes du polynôme A(α + X) par le polynôme Q(α + X), mais cette méthode
n’est plus au programme des classes préparatoires.
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
V.5
Décomposition en éléments simples
Proposition (décomposition dans C(X))
l
A
Soit F =
une fraction rationnelle à coefficients complexes.
B
Soient α1 , . . . , αp les pôles distincts de F , avec les multiplicités r1 , . . . , rp .
!
p
rk
X
X
λk,j
Alors F s’écrit de manière unique F = E +
(X − αk )j
j=1
k=1
où E est la partie entière de F et où les λk,j sont des éléments de C.
l
Cette écriture est appelée décomposition en éléments simples de F dans C(X).
l
Remarque
rk
X
Dans cette écriture, chaque somme
j=1
λk,j
est la partie polaire de F pour αk .
(X − αk )j
Proposition (décomposition dans IR(X))
A
une fraction rationnelle à coefficients réels, sous forme irréductible.
Soit F =
B
p
q
Q
Q
Soit B = λ (X − αk )rk
(X2 + bk X + ck )sk la factorisation de B dans IR[X].
k=1
k=1
Alors la fraction rationnelle F s’écrit de manière unique :
!
!
p
q
rk
sk
X
X
X
X
ck,j + dk,j
λk,j
+
F =E+
(X − αk )j
(X2 + bk X + ck )j
j=1
j=1
k=1
k=1
où E est la partie entière de F et où les λk,j , ck,j , dk,j sont des éléments de IR.
Cette écriture est appelée décomposition en éléments simples de F dans IR(X).
Remarques
– Dans la décomposition de la fraction rationnelle F dans IR(X) :
λk,j
Les fractions
sont appelées éléments simples de première espèce.
(X − αk )j
Les fractions
(X2
ck,j + dk,j
sont appelées éléments simples de seconde espèce.
+ bk X + ck )j
– Seule l’étude de la décomposition dans C(X)
l
est réellement au programme des classes préparatoires, et qui plus est dans le cas de pôles de multiplicité 1 ou 2.
Dans les autres cas, une indication doit en principe être fournie avec l’énoncé.
– Ce qui a été dit pour les parties polaires permet :
D’effectuer complètement une décomposition dans C(X).
l
De calculer les éléments simples de première espèce dans IR(X).
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
A
∈ IR(X), avec b2 − 4c < 0, (A, Q non divisibles par X2 + bX + c)
(X2 + bX + c)m Q
m
X
cj X + dj
Alors F = G +
, en groupant dans G ce qui ne relève pas de (X2 + bX + c).
2
j
(X
+
bX
+
c)
j=1
– Soit F =
Les coefficients les plus facilement “accessibles” sont cm , dm .
On peut en effet écrire A = (cm X + dm )Q + (X2 + bX + c)(· · ·)
Soit ω une des deux racines complexes non réelles de X2 + bX + c.
Si on susbstitue ω à X, on trouve : A(ω) = (cm ω + dm )Q(ω).
On peut alors trouver cm et dm par identification :
En utilisant la valeur de ω si elle est simple, notamment si ω = i ou ω = j.
Par abaissements successifs du degré en utilisant ω 2 = −bω − c.
Une fois connus cm et dm , on considère F −
V.6
cm X + dm
et on cherche cm−1 , dm−1 , etc.
+ bX + c)m
(X2
Pratique de la décomposition en éléments simples
Les méthodes vues précédemment permettent en principe de former les décompositions en
éléments simples dans IR(X) ou dans C(X).
l
Néanmoins, un certain nombre de techniques facilitent le travail :
En diminuant globalement le nombre de coefficients à calculer.
En permettant de calculer des coefficients peu facilement “accessibles”, à condition cependant
qu’il ne reste à ce stade que peu d’inconnues.
Décomposition dans C(X)
l
d’une fraction à coefficients réels
A
Soit F =
un élément de IR(X).
B
On peut considérer F comme un élément de C(X)
l
et la décomposer en tant que telle.
Tout comme F , cette décomposition doit être invariante par conjugaison.
Il en résulte par exemple que la partie entière de F est un polynôme réel.
Il en résulte également que les parties polaires sont conjuguées deux à deux. Plus précisément,
si α et α sont deux pôles conjugués non réels de F , de multiplicité m, les parties polaires
m
m
X
X
λk
λk
s’écrivent respectivement :
et
.
k
k
(X
−
α)
(X
−
α)
k=1
k=1
Cette idée permet donc de diminuer de moitié environ le nombre d’inconnues.
Il est également possible d’utiliser la décomposition dans C(X)
l
d’une fraction rationnelle
réelle F pour obtenir sa décomposition dans IR après regroupement des termes conjugués.
Cette méthode n’est envisageable que si les pôles non réels sont de multiplicité 1.
Utilisation de la parité ou de l’imparité
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
Si une fraction rationnelle est paire ou impaire, la forme générale de sa décomposition doit
refléter cette propriété. On exprime donc l’invariance de cette décomposition par les transformations X 7→ F (−X) ou X 7→ −F (−X), et on en déduit des relations sur les coefficients
à calculer (le nombre d’inconnues diminue environ de moitié).
Utilisation d’une transformation laissant la fraction invariante
Il est possible (même si c’est plus rare qu’avec la parité ou l’imparité) que la fraction rationnelle F soit invariante (ou très simplement modifiée, par exemple changée en son opposée)
par une transformation “simple”, comme :
1
1
X 7→ λ − X, ou X 7→ λX, X 7→ , X 7→ X + .
X
X
La décomposition de F doit refléter la même invariance. Exprimer cette invariance donne là
encore des relations sur les coefficients inconnus.
Injection de valeurs particulières
Quand il reste peu de coefficients à calculer, il peut être intéressant d’injecter, dans l’égalité
entre F et sa décomposition, une ou plusieurs valeurs qui ne soient pas des pôles de F .
Si F est dans IR(X), on peut injecter une valeur complexe comme i (ou j), l’identification
donnant alors deux relations entre les coefficients réels inconnus.
Utilisation de la méthode lim xF (x)
x→∞
On suppose ici que le degré de F est strictement négatif (la partie entière est donc nulle).
λk
ak X + b k
La décomposition de F fait apparaı̂tre des termes du type
ou 2
.
X − αk
X + βk X + γk
Le calcul de lim xFe(x) donne alors une relation liant les coefficients λk et ak .
x→∞
Cette méthode est intéressante quand il ne reste plus que un ou deux coefficients à calculer.
V.7
Exemples de référence
Voici quelques exemples classiques ou représentatifs de décompositions en éléments simples.
P0
, où P est un polynôme scindé
P
P0
Soit P un polynôme scindé dans IK[X]. On va décomposer F =
dans IK(X).
P
Si P = (X − α)m Q, avec Q(α) 6= 0, alors P 0 = (X − α)m−1 (mQ + (X − α)Q0 ).
P0
m
Q0
m
On en déduit
=
+ . Ainsi
est la partie polaire de F pour le pôle α.
P
X−α
Q
X−α
Conclusion : Soient α1 , . . . , αr les racines distinctes de P , de multiplicités m1 , . . . , mr .
r
P 0 X mk
Alors on a la décomposition
=
.
P
X − αk
k=1
a) Décomposer F =
b) Décomposer F =
Xn
1
dans C(X).
l
−1
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Partie V : Fractions rationnelles
n
A
A=1
, avec
. Les pôles (simples) sont les racines n-ièmes ωk de 1.
B = Xn − 1
B
A(ωk )
1
ωk
Pour tout k de {0, . . . , n − 1}, on a 0
=
.
n−1 =
B (ωk )
n
nωk
n−1
1
1 X ωk
La décomposition en éléments simples de F s’écrit donc n
=
.
X −1
n k=0 X − ωk
Ici F =
1
dans IR(X).
X2n − 1
On utilise la décomposition dans C(X)
l
et on regroupe deux à deux les termes conjugués.
c) Décomposer F =
Les racines 2n-ièmes de l’unité sont les ωk = exp ikπ
n , avec 0 ≤ k ≤ 2n − 1.
Pour tout k de {1, . . . , n − 1}, on a ω2n−k = ωk .
Ainsi, en utilisant ce qui précède :
n−1
1
1
1
1 X ωk
ωk =
−
+
+
X2n − 1
2n(X − 1) 2n(X + 1) 2n k=1 X − ωk X − ωk
=
n−1
X cos kπ
1
1
1 X
n −1
−
+
2n(X − 1) 2n(X + 1) n k=1 X2 − 2X cos kπ + 1
n
1
dans C(X).
l
− 1)2
Les pôles, tous doubles, sont les racines n-ièmes de l’unité.
d) Décomposer F =
(Xn
1
Le mieux est de procéder par dérivation de la décomposition de G = n
.
X −1
n−1
n−1
1
1 X ωk
nXn−1
1 X
ωk
=
⇒
=
n
n
2
X −1
n k=0 X − ωk
(X − 1)
n k=0 (X − ωk )2
n−1
n−1
nXn
1 X ωk X
n(Xn − 1 + 1)
1 X ωk (X − ωk + ωk )
⇒ n
=
⇒
=
(X − 1)2
n k=0 (X − ωk )2
(Xn − 1)2
n k=0
(X − ωk )2
n−1
n−1
1
1
1 X ωk
1 X
ωk2
⇒ n
+ n
=
+
X − 1 (X − 1)2
n2 k=0 X − ωk n2 k=0 (X − ωk )2
n−1
n−1
1
1 − n X ωk
1 X
ωk2
⇒ n
=
+
(X − 1)2
n2 k=0 X − ωk n2 k=0 (X − ωk )2
1
dans IR(X).
X(X + 1)(X + 2) · · · (X + n)
Les pôles sont 0, −1, −2, . . . , −n. Ce sont des pôles simples.
n
X
λk
La forme de la décomposition est : F =
.
X+k
k=0
e) Décomposer F =
λk s’obtient en multipliant F par X + k et en substituant −k à X. On trouve :
k−1
n
k
n−k
Q 1 Q
Q
Q 1
(−1)k
(−1)k k
1
1 Q 1
k
=
=
(−1)
=
=
λk =
−k+j
j−k
j−k
i
i
k!(n−k)!
n! C n
j6=k
j=0
j=k+1
i=1
i=1
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Polynômes et fractions rationnelles
Partie V : Fractions rationnelles
Conclusion : F =
n
1
1 X (−1)k C kn
=
X(X + 1)(X + 2) · · · (X + n)
n! k=0 X + k
f ) Décomposer F =
1
X3 (X2
− 1)
dans IR(X).
Les pôles sont 0 (triple), 1 (simple) et −1 (simple).
Comme dans les exemples précédents, la partie entière est nulle.
a
b
c
d
e
La forme de la décomposition est donc : F = 3 + 2 + +
+
.
X
X
X X−1 X+1
L’imparité de F donne immédiatement b = 0 et e = d.
On trouve a en multipliant par X3 et en substituant 0 à X. Donc a = −1.
On trouve d en multipliant par (X − 1) et en substituant 1 à X. Donc d = 12 .
1
1
c
1
1
A ce stade, on a donc F = 3 2
=− 3 + +
+
.
X (X − 1)
X
X 2(X − 1) 2(X + 1)
Si on utilise la méthode lim xF (x), on trouve 0 = c + 1.
x→∞
1
1
1
1
1
Finalement : F = 3 2
=− 3 − +
+
.
X (X − 1)
X
X 2(X − 1) 2(X + 1)
1
g) Décomposer F =
dans IR(X).
2
2
X(X + 1)(X + X + 1)(X2 − X + 1)
cX + d
a
αX + β
λX + µ
+ 2
+ 2
.
La décomposition est de la forme : F = + 2
X X +1 X +X+1 X −X+1
L’imparité de F donne immédiatement : d = 0, µ = −β et λ = α.
a
cX
αX + β
αX − β
On cherche donc a, c, α, β tels que : F = + 2
+ 2
+ 2
.
X X +1 X +X+1 X −X+1
On trouve a en multipliant par X et en substituant 0 à X. Donc a = 1.
On trouve c en multipliant par X2 + 1 et en substituant i à X. Donc c = −1.
On trouve α, β en multipliant par X2 + X + 1 et en substituant j à X :
1
= αX + β + (X2 + X + 1)(· · ·)
+ 1)(X2 − X + 1)
1
1
1
⇒ αj + β =
= ⇒ α = 0, β =
2
2
j(j + 1)(j − j + 1)
2
2
(X2 + X + 1)F =
Finalement : F =
X(X2
1
X
1
1
− 2
+
−
.
2
2
X X + 1 2(X + X + 1) 2(X − X + 1)
h) Décomposer F =
X5
dans IR(X).
(X − 1)4
On écrit X5 = (X − 1 + 1)5 = (X − 1)5 + 5(X − 1)4 + 10(X − 1)3 + 10(X − 1)2 + 5(X − 1) + 1.
10
10
5
1
On en déduit : F = X + 4 +
+
+
+
2
3
(X − 1) (X − 1)
(X − 1)
(X − 1)4
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Partie V : Fractions rationnelles
i) Décomposer F =
X8
dans IR(X).
(X2 − X + 1)3
On procède à des divisions successives par B = X2 − X + 1.
X8 = Q1 B + R1 , avec Q1 = X6 + X5 − X3 − X2 + 1 et R1 = X − 1.
Q1 = Q2 B + R2 , avec Q2 = X4 + 2X3 + X2 − 2X − 4 et R2 = −2X + 5.
Q2 = Q3 B + R3 , avec Q3 = X2 + 3X + 3 et R3 = −2X − 7.
X8
R3 R2 R1
Ainsi : X8 = R1 + R2 B + R3 B 2 + Q3 B 3 puis F = 3 = Q3 +
+ 2 + 3.
B
B
B
B
Conclusion :
2X + 7
2X − 5
X−1
X8
= X2 + 3X + 3 − 2
− 2
+ 2
F = 2
3
2
(X − X + 1)
X − X + 1 (X − X + 1)
(X − X + 1)3
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