Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse

Chapitre 3
Les polynômes
Dans tout ce chapitre K désigne les corps1 Q, R ou C.
3.1
Définition
Je soupçonne que tout lecteur de ce cours a déjà une idée de ce qu’est un polynôme. Il
a notamment fréquenté l’((indéterminée)) X sans que cela ne lui pose de problème. Mais s’est-il
demandé si on lui a un jour défini proprement cette indéterminée ? Je vais m’attacher ici à fournir
une définition ((propre)) de l’indéterminée X. Cela va me conduire à tomber dans un des travers
du matheux de base : je vais être, dans un premier temps, un peu formel. I am so sorry !
3.1.1
Définition de l’anneau des polynômes
Définition 3.1 Un polynôme à coefficients dans K est une suite d’éléments de K nulles à partir
d’un certain rang.
On munit maintenant l’ensemble des polynômes de trois lois :
ˆLa somme :
déf.
(a0 , a1 , a2 , . . .) + (b0 , b1 , b2 , . . .) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , . . .).
ˆLe produit :
déf.
(a0 , a1 , a2 , . . .) × (b0 , b1 , b2 , . . .) = (c0 , c1 , c2 , . . .),
avec :
∀n > 0,
déf.
cn =
n
X
ak bn−k .
k=0
ˆLe produit par un scalaire : pour tout λ ∈ K :
déf.
λ × (a0 , a1 , a2 , . . .) = (λa0 , λa1 , λa2 , . . .).
1
Je n’ai pas défini ce qu’est un corps et je ne le ferai pas. Vous pouvez cependant retenir que c’est un ensemble
dans lequel on sait ajouter, multiplier et tel que tout élément non nul est inversible.
41
42
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
Il est facile de vérifier que le résultat de toutes ces opérations sont bien des polynômes (i.e.
des suites qui stationnent en zéro à partir d’un certain rang) ainsi que les formules :
P + (0, 0, 0, . . .) = P, P + Q = Q + P, P + (Q + R) = (P + Q) + R,
(c0 , c1 , c2 , . . .) + (−c0 , −c1 , −c2 , . . .) = (0, 0, 0, . . .),
P × (1, 0, 0, 0, . . .) = P, P × Q = Q × P, (P × Q) × R = P × (Q × R),
P × (Q + R) = P × Q + P × R.
ceci quels que soient les polynômes P, Q, R.
Remarque – Ces propriétés font de l’ensemble des polynômes muni des deux premières lois un
anneau commutatif unitaire.
3.1.2
Vite, vite, la représentation usuelle des polynômes
On a coutume — et bien raison — d’identifier le polynôme (c0 , 0, 0, 0, . . .) (c0 ∈ K) à
l’élément c0 de K ; on le note donc simplement c0 . Par exemple le polynôme (1, 0, 0, . . .) est identifié à 1. Quant au polynôme (0, 1, 0, 0, . . .), on le note souvent X et on l’appelle l’indéterminée X.
Cette indéterminée joue un rôle très important. Les formules de multiplication appliquées aux
puissances de cette indéterminée permettent de montrer que :
(0, 0, 1, 0, 0, . . .) = (0, 1, 0, 0, . . .)2 ,
(0, 0, 0, 1, 0, 0, . . .) = (0, 1, 0, 0, . . .)3 , . . .
si bien que :
– le polynôme (0, 0, 1, 0, 0, . . .) se note X 2 ,
– le polynôme (0, 0, 0, 1, 0, 0, . . .) se note X 3 ,
– etc...
Pour finir, on remarque encore que tout polynôme s’écrit :
(c0 , c1 , c2 , . . . , cd , 0, 0, . . .) = c0 × (1, 0, 0, 0, . . .) + c1 × (0, 1, 0, 0, 0, . . .)+
c2 × (0, 0, 1, 0, 0, 0, . . .) + · · · + cd × (0, . . . , 0, 1, 0, 0, 0, . . .)
le 1 à la (d + 1)-ème place
si bien que :
– le polynôme (c0 , c1 , c2 , . . . , cd , 0, 0, . . .) se note c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + cd X d .
Nous revoilà en terrain connu, n’est-ce pas ? Histoire d’encore plus revenir aux traditions, on
notera, à partir de maintenant, l’ensemble des polynômes par K[X].
3.1.3
Terminologie et premières propriétés
Le fait qu’un polynôme soit une suite d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang permet
de définir :
Définition 3.2 Soit P = c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + cd−1 X d−1 + cd X d ) un polynôme non nul où cd
est le dernier terme non nul de la suite. L’entier d ∈ N s’appelle le degré de P et se note deg(P ).
Quant au polynôme nul (i.e. la suite nulle (0, 0, 0, . . .)), on lui affecte le degré −∞ avec les
conventions −∞ + d = −∞ et −∞ < d quel que soit d ∈ N.
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3.1. DÉFINITION
Les polynômes de degré zéro sont dits constants, ceux de la forme cd X d (avec cd ∈ K)
s’appellent des monômes. On identifie les polynômes constants aux éléments de K eux mêmes.
Enfin, encore un petit peu de vocabulaire :
Définition 3.3 Soit P = c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + cd X d un polynôme de degré d.
– Les éléments ci ∈ K s’appellent les coefficients du polynôme P .
– Le coefficient c0 (respectivement cd ) s’appelle le coefficient constant (respectivement dominant) de P .
– Si le coefficient dominant vaut 1 (i.e. si cd = 1) le polynôme P est dit unitaire.
Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s’expriment en fonction des degrés
des polynômes de départ.
Propriété 3.4 Soit P, Q ∈ K[X] deux polynômes. On a :
deg(P + Q) 6 max{deg(P ), deg(Q)},
et
deg(P × Q) = deg(P ) + deg(Q),
avec égalité dans la première inégalité si deg(P ) 6= deg(Q).
Preuve — Introduisons les coefficients de P et Q :
P = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + am X m ,
Q = b0 + b1 X + b2 X 2 + · · · + bn X n ,
et supposons par exemple m 6 n.
Alors la somme s’écrit :
P + Q = [(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (am + bm )X m ] + bm+1 X m+1 + · · · + bn X n .
Le deuxième terme de cette somme est nul (ne contient aucun élément) si m = n. En tout
état de cause, on voit bien que deg(P + Q) 6 n = max{deg(P ), deg(Q)}. Notons que le degré
peut être strictement inférieur à ce maximum dans le cas où m = n et où am = −bm (par
exemple P = X 2 + X + 1 et Q = −X 2 + X + 2).
Quant au produit, il vérifie :
P × Q = am bn X m+n + [des termes de degré < m + n],
si bien que son degré est bien m + n.
Un polynôme P ∈ K[X] est dit inversible s’il existe Q ∈ K[X] tel que P Q = 1 (dans Z
seuls ±1 sont inversibles).
Corollaire 3.5 Les polynômes inversibles sont les polynômes constants non nuls (i.e. de degré
zéro) que l’on a identifiés aux éléments non nuls de K eux-mêmes.
Preuve — Soit P ∈ K[X] inversible, alors il existe Q ∈ K[X] tel que P Q = 1. Remarquons que
ni P ni Q ne peuvent être nuls. En prenant les degrés, on obtient deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q) =
deg(1) = 0. Comme deg(P ) et deg(Q) sont des entiers naturels et que leur somme vaut zéro,
nécessairement deg(P ) = deg(Q) = 0.
44
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
3.2
Arithmétique des polynômes
Dans cette section, on va voir que tous les résultats vus au chapitre 2 sur l’arithmétique des
entiers peuvent s’adapter au cadre des polynômes. Nous ne donnerons pas les preuves de tous les
résultats énoncés étant donné qu’il suffit d’adapter celles vues dans le cadre des entiers. Cependant
un excellent exercice consiste à reprendre seul ces preuves dans le cadre des polynômes.
3.2.1
Division et division euclidienne
Définition 3.6 Soit A et B deux polynômes de K[X]. On dit que A divise B, ou que A est un
diviseur de B, ou que B est un multiple de A, s’il existe Q ∈ K[X] tel que B = A × Q.
Remarque – Quand on parle de divisibilité, il convient de préciser le contexte. Par exemple,
l’entier 2 ne divise pas l’entier 3 dans Z. En revanche, le polynôme constant 2 divise bel et bien le
polynôme constant 3 dans R[X] car 3 = 2 × 23 et on a bien 32 ∈ R[X].
L’analogue de la propriété 2.2 reste valide ; son énoncé et sa preuve sont laissés au lecteur.
Quant à la proposition 2.3, elle s’énonce ainsi dans le cadre des polynômes :
Proposition 3.7 (i) Les diviseurs d’un polynôme B non nul sont tous de degré plus petit
que celui de B ; autrement dit :
∀A, B ∈ K[X]∗ ,
A|B
=⇒
deg(A) 6 deg(B).
(ii) Zéro est le seul polynôme divisible par des polynômes de degré plus grand que le sien, c’està-dire :
∀A, B ∈ K[X],
[A | B
et
deg(A) > deg(B)]
=⇒
B = 0.
Enfin, et c’est la ressemblance la plus importante entre entiers et polynômes, on dispose d’une
division euclidienne entre polynômes :
Théorème 3.8 (Division euclidienne polynomiale) Soit A et B deux polynômes de K[X],
le polynôme A étant supposé non nul. Il existe (Q, R) unique tel que :
B = AQ + R
et
deg(R) < deg(A).
Preuve — On commence par noter :
A = a0 + a1 X + · · · + am X m
et
B = b0 + b1 X + · · · + bn X n
avec m = deg(A) et n = deg(B).
On se débarrasse du cas B = 0 en remarquant que B = 0×A+0 avec −∞ = deg(0) < deg(A)
car A étant non nul, on deg(A) ∈ N. Du coup R = Q = 0 conviennent.
Cela étant, on fait une récurrence sur deg(B).
45
3.2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES
Cas initial. Si deg(B) = 0 c’est-à-dire B = b0 alors on distingue deux cas. Ou bien deg(A) > 1
auquel cas l’écriture B = A × 0 + b0 permet de conclure. Ou bien on a aussi deg(A) = 0, c’est-àdire A = a0 nécessairement non nul, A l’étant. Alors l’écriture B = b0 = A × ab00 + 0 permet de
conclure (rappel deg(0) = −∞ < 0 = deg(A)).
Hypothèse de récurrence. On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n
(n ∈ N∗ fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ∈ K[X] tels que B = AQ + R
avec deg(R) < deg(A).
Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l’écriture B = A × 0 + B
permet de conclure. Sinon (i.e. n > m) on est en mesure de définir un polynôme C via :
C =B−
bn n−m
X
A.
am
Par construction il satisfait deg(C) < deg(B). On peut donc lui appliquer l’hypothèse de récurrence. Il existe donc Q et R tels que C = AQ+R avec deg(R) < deg(A). Revenant au polynôme B,
cela donne :
bn n−m
B=A
X
+ Q + R,
am
ce qui permet de conclure.
Voici un petit exemple de division euclidienne où l’on divise le polynôme X 4 + 2X 2 + X − 1
par le polynôme X 2 − 3X + 1 :
X4
+2X 2 +X
−1
4
3
2
X −3X
+X
3
3X
+X 2
+X
−1
3X 3 −9X 2 +3X
10X 2 −2X −1
10X 2 −30X +10
28X −11
X 2 −3X +1
X 2 +3X +10
On trouve donc pour quotient X 2 + 3X + 10 et pour reste 28X − 11.
On relie encore la division euclidienne à la divisibilité via :
Propriété 3.9 Pour qu’un polynôme A ∈ K[X] non nul divise un autre polynôme B ∈ K[X], il
faut et il suffit que le reste de la division euclidienne de B par A soit nul.
Preuve — Effectuons la division euclidienne de B par A en écrivant B = AQ+ R avec deg(R) <
deg(A).
Si R = 0, on a B = AQ, c’est-à-dire A | B.
Réciproquement, si A | B alors il existe P ∈ K[X] tel que B = AP . En ré-injectant dans
l’égalité de départ, on obtient AP = AQ + R ou encore A(P − Q) = R ou encore A | R.
Comme deg(R) < deg(A), cette relation de divisibilité entraı̂ne R = 0.
46
3.2.2
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
pgcd et ppcm de polynômes
Si on regarde bien le chapitre 2 dans le blanc des yeux, on s’aperçoit que le théorème qui sert
de pierre d’achoppement à tout l’édifice est le théorème 2.6. Voici la version polynomiale de ce
résultat.
Théorème 3.10 Soit A et B deux polynômes de K[X]. Il existe un diviseur commun D à A
et B de la forme :
D = AU + BV,
avec U, V ∈ K[X].
Preuve — On se débarrasse tout d’abord des cas A = 0 ou B = 0 en remarquant que, dans ces
cas, la combinaison A × 1 + B × 1 satisfait ce que l’on veut.
À partir de maintenant, on suppose A 6= 0 et B 6= 0. Comme pour la preuve du théorème 2.6,
on raisonne par récurrence sur l’entier N = deg(A) + deg(B) cette fois. On note :
A = a0 + a1 X + · · · + am X m
et
B = b0 + b1 X + · · · + bn X n
avec m = deg(A) et n = deg(B).
Si deg(A) + deg(B) = 0, cela veut dire que les deux polynômes A et B sont de degré nul donc
constants (non nuls) égaux respectivement à a0 et b0 . Bien sûr 1 les divise tous les deux et on a
par exemple 1 = a0 × a10 + b0 × 0.
Supposons le théorème vrai pour tous les couples de polynômes (A, B) tels que deg(A) +
deg(B) 6 N. Considérons A, B ∈ K[X] tel que deg(A) + deg(B) = N + 1.
Quitte à échanger les rôles entre A et B, on peut supposer que deg(B) > deg(A). Le
polynôme C défini par :
bn deg(B)−deg(A)
C=B−
X
A
(3.1)
am
vérifie deg(C) < deg(B). On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence aux polynômes C
et A (car deg(A) + deg(C) < deg(A) + deg(B) = N + 1). Ils admettent un diviseur commun D de
la forme D = AU +CV avec U, V ∈ K[X]. Ce diviseur D, compte tenu de 3.1, divise forcément B.
De plus on a :
bn deg(B)−deg(A)
bn deg(B)−deg(A)
D = AU + B −
X
A V =A U−
X
V + BV,
am
am
ce que l’on voulait.
Comme dans le cadre des entiers, ce résultat permet de mettre un coup de projecteur sur un
certain diviseur commun à deux polynômes :
Corollaire 3.11 Étant donnés deux polynômes A et B ∈ K[X] il existe un unique polynôme D
vérifiant les trois propriétés :
(i) le polynôme D est unitaire ;
(ii) le polynôme D est un diviseur commun à A et B (D | A et D | B) ;
3.2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES
47
(iii) tout diviseur commun à A et B divise D (D ′ | A et D ′ | B implique D ′ | D).
Comme dans le cadre des entiers, ce diviseur commun s’appelle le pgcd .
Définition 3.12 Étant donnés deux polynômes A et B ∈ K[X], l’unique polynôme du corollaire
précédent s’appelle le plus grand commun diviseur (en abrégé pgcd ) de A et B ; on le
note pgcd(A, B).
Les formules contenues dans la propriété 2.10 restent d’actualité. De même, l’algorithme
d’Euclide reprend du service pour calculer le pgcd de deux polynômes. En effet, partant de deux
polynômes A et B ∈ K[X], on peut calculer la suite des restes obtenus par divisions euclidiennes
successives :
R0 → R1 → R2 → · · · → Rn → · · ·
où on a posé R0 = A, R1 = B et défini Ri+1 comme le reste par la division euclidienne de Ri−1
par Ri pour i > 1. Alors on a :
deg(R1 ) > deg(R2 ) > · · · > deg(Rn ) > · · ·
mais les degrés étant des entiers ou −∞, cette suite de degrés finit forcément par atteindre la
valeur −∞. Autrement dit les restes finissent par être nuls. Comme pour les entiers, on montre que
le dernier reste non nul est forcément le pgcd de A et B (ici à une constante multiplicative λ ∈ K
près).
3.2.3
Polynômes premiers entre eux
Les polynômes constant (non nuls) divisent tous les polynômes. Deux polynômes A et B qui
n’ont que les polynômes constants (non nuls) comme diviseurs communs vérifient pgcd(A, B) = 1.
Comme dans les entiers, on définit :
Définition 3.13 Deux polynômes A et B sont dits premiers entre eux (ou étrangers) si leur
pgcd est égal à 1.
Comme pour les entiers, les polynômes premiers entre eux sont caractérisés par la propriété
suivante :
Théorème 3.14 (de Bezout pour les polynômes) Deux polynômes A et B ∈ K[X] sont
premiers entre eux si et seulement s’il existe U, V ∈ K[X] tels que :
1 = AU + BV.
De ce théorème découlent les versions polynomiales des corollaires du théorème de Bezout
pour les entiers. Je ne donne que les énoncés, laissant au lecteur le soin de retranscrire les
démonstrations dans le cadre polynomial.
48
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
Lemme 3.15 (de Gauss polynomial) Soient A, B, C ∈ K[X] trois polynômes. Si A est premier avec B et s’il divise BC alors il divise C.
Corollaire 3.16 Soient A1 , A2 , B ∈ K[X] trois polynômes tels que A1 et A2 sont premiers entre
eux. Si A1 et A2 divisent B alors B est divisible par le produit A1 A2 .
Corollaire 3.17 Soient A1 , . . . , Ar , B ∈ K[X] des polynômes (r > 1) tels que A1 , . . . , Ar sont
premiers entre eux deux-à-deux. Si tous les polynômes Ai (1 6 i 6 r) divisent B alors B est
divisible par le produit A1 × · · · × Ar .
Corollaire 3.18 Soient A, B1 , B2 ∈ K[X] des polynômes. Si A est premier avec B1 et B2 alors
il est premier avec le produit B1 B2 .
Corollaire 3.19 Soient A, B1 , . . . , Br ∈ K[X] des polynômes. Si A est premier avec chacun
des Bi (1 6 i 6 r) alors il est premier avec le produit B1 × · · · × Br .
3.3
Racines de polynômes
La véritable spécificité des polynômes par rapport aux entiers est la notion de racines sur
laquelle nous nous attardons dans cette section.
3.3.1
Fonction polynomiale
A tout polynôme P (X) = c0 + c1 X + · · · + cd X d ∈ K[X] on peut associer une fonction,
notée Pe, et définie par :
Pe : K −→ K
x 7−→ c0 + c1 x + · · · + cd xd .
On dit que Pe est la fonction polynomiale associée au polynôme P . Cette distinction peut
paraı̂tre inutile et un peu obscure. Pourtant elle ne l’est point : il faut bien comprendre qu’un
polynôme n’est pas une fonction et qu’une fonction n’est pas un polynôme. Néanmoins je dois bien
reconnaı̂tre que cette distinction prend tout son sens sur des corps des scalaires autres que Q, R
ou C. Sachez simplement que sur certains corps, deux polynômes distincts peuvent avoir la même
fonction polynomiale ; par exemple un polynôme non nul peut avoir une fonction polynomiale
identiquement nulle. Rassurez vous, ce genre de mésaventure ne vous arrivera pas cette année.
Cela étant, pour x0 ∈ K, l’image de x0 par la fonction Pe, i.e. Pe(x0 ), s’appelle la valeur du
polynôme P en x0 . On dit que P s’annule en x0 si Pe(x0 ) = 0.
En toute rigueur, il faudrait que je distingue le polynôme de sa fonction polynomiale. Je ne le
ferai pas pour éviter les lourdeurs. Aussi noterai-je P (x0 ) la valeur de P en x0 et non plus Pe(x0 ).
3.3. RACINES DE POLYNÔMES
3.3.2
49
Racine ((simple))
Définition 3.20 Un scalaire r ∈ K est dit racine ou zéro d’un polynôme P ∈ K[X] si et
seulement si P s’annule en r, i.e. P (r) = 0.
Proposition 3.21 Soit P ∈ K[X] et r ∈ K. Le reste de la division euclidienne de P par X − r
n’est rien d’autre que P (r) la valeur de P en r.
Preuve — D’après le théorème 3.8, il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 tel que P (X) =
(X − r)Q(X) + R(X) avec deg(R) < deg(X − r). Comme le dernier degré vaut 1, cela veut dire
que deg(R) = 0 ou −∞. Autrement dit, R est un polynôme constant éventuellement nul. Cette
constante se calcule en évaluant la dernière égalité en r :
P (r) = (r − r)Q(r) + R(r) = R(r) = R.
On vient bien de montrer que le reste est le polynôme constant égal à P (r).
Corollaire 3.22 Soit P ∈ K[X]. Un élément r ∈ K est racine de P si et seulement si X − r
divise P .
Preuve — Compte tenu de la proposition précédente, P (r) est le reste par la division euclidienne
de P par X −r. D’autre part, grâce à la propriété 3.9, on sait que (X −r) divise P si et seulement
si le reste de la division euclidienne de P par (X − r) est nul. Ici c’est donc équivalent au fait
que P (r) = 0.
Ce corollaire admet une généralisation souvent utile ; la voici.
Proposition 3.23 Soit r1 , . . . , rn ∈ K des scalaires deux-à-deux distincts et soit P ∈ K[X] un
polynôme. Si r1 , . . . , rn sont des racines de P alors le produit (X − r1 ) × · · · × (X − rn ) divise P .
Preuve — D’après le corollaire précédent, puisque r1 , . . . , rn sont des racines de P , tous les
polynômes X − ri (1 6 i 6 n) divisent P . Comme de plus les polynômes X − ri sont premiers
entre eux deux-à-deux (cf. exercice 20), grâce à la version polynomiale du corollaire 2.30, on en
déduit que le produit (X − r1 ) × · · · × (X − rn ) divise P .
Ces considérations permettent de reconnaı̂tre le polynôme nul car c’est le seul vérifiant la
proposition suivante.
Proposition 3.24 Un polynôme qui admet strictement plus de racines que son degré est nécessairement
nul.
Preuve — Notons P le polynôme en question, d son degré et r1 , . . . , rn des racines deux-à-deux
distinctes avec n ∈ N∗ . On suppose donc que n > d. Compte tenu de la proposition 3.23, on sait
que le produit (X − r1 ) · · · (X − rn ) de degré n, divise P de degré d. Comme n > d, il s’ensuit
que P est nul comme nous l’apprend la proposition 3.7.
Dans le même genre d’idées, le polynôme nul se distingue des autres car :
Corollaire 3.25 Le polynôme nul est le seul polynôme qui admette une infinité de racines.
50
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
3.3.3
Polynôme dérivé, Taylor et Multiplicité
Soit P (X) = c0 + c1 X + · · · + cd X d un polynôme de degré d. On définit le polynôme dérivé,
noté P ′ ou P (1) , par :
P ′ (X) = c1 + 2c2 X + · · · + (d − 1)cd−1 X d−2 + dcd X d−1 .
On propage cette définition en posant P (i) (X) = (P (i−1) (X))′ pour i > 1, si bien que P (2) = (P ′ )′
etc...
Bien entendu, la fonction polynomiale associée au polynôme dérivé P ′ n’est rien d’autre que
la dérivée de la fonction polynomiale associée à P , d’où la terminologie. Enfin on retrouve toutes
les formules bien connues de dérivation :
(P + Q)′ = P ′ + Q′ ,
(λP )′ = λP ′ ,
(P Q)′ = P Q′ + P ′ Q,
pour tous P, Q ∈ K[X] et tout λ ∈ K.
Nous pouvons maintenant donner la formule de Taylor2 . La version donnée ici est la restriction aux polynômes d’un des théorèmes d’analyse les plus importants. Vous reverrez, dans l’UE
((Analyse S2)), ce théorème dans toute sa généralité.
Théorème 3.26 (Formule de Taylor) Soit P ∈ K[X] un polynôme de degré d et x0 ∈ K un
scalaire. On a l’égalité polynomiale :
P (2) (x0 )
P (3) (x0 )
P (d) (x0 )
(X −x0 )2 +
(X −x0 )3 +· · ·+
(X −x0 )d .
2!
3!
d!
Une autre façon d’énoncer ce théorème est de dire qu’un polynôme de degré d est entièrement
déterminé par l’évaluation en x0 de ses (d + 1) premières dérivées (par convention la zéro-ème
dérivée est égale au polynôme lui même).
P (X) = P (x0 )+P ′(x0 )(X −x0 )+
Preuve — On note P (X) = c0 + c1 X + · · · + cd X d (cd 6= 0 donc d = deg(P )) et on fait une
récurrence sur le degré d.
Pour d = 0, c’est-à-dire P (X) = c0 constant, il s’agit de montrer que c0 = P (X) = P (x0 ).
C’est évident.
Supposons le théorème vrai pour tous les polynômes de degré < d et montrons le pour ceux
de degré d. On applique l’hypothèse de récurrence au polynôme dérivé P ′(X). On a :
(P ′)(d−1) (x0 )
(X − x0 )d−1
(d − 1)!
P (d) (x0 )
= P ′(x0 ) + P (2) (x0 )(X − x0 ) + · · · +
(X − x0 )d−1
(d − 1)!
c1 + 2c2 X + · · · dcd X d−1 = P ′(x0 ) + (P ′ )′ (x0 )(X − x0 ) + · · · +
car (P ′ )(i) = P (i+1) pour tout i > 0. En intégrant, on aboutit à :
P (X) = cste + P ′ (x0 )(X − x0 ) +
P (2) (x0 )
P (d) (x0 )
(X − x0 )2 + · · · +
(X − x0 )d
2
d × (d − 1)!
où la constante reste à déterminer (rappel : deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une
constante). En évaluant en x0 , on montre que cste = P (x0 ), ce qui complète la preuve.
2
Brook Taylor est né le 18 août 1685 à Edmonton, Angleterre et mort le 27 décembre 1731 à Londre, Angleterre.
3.4. DÉCOMPOSITION EN IRRÉDUCTIBLES DANS C[X] PUIS R[X]
51
Définition 3.27 Un scalaire r ∈ K est dit racine ou zéro de multiplicité e d’un polynôme P ∈
K[X] si et seulement si (X − r)e divise P et (X − r)e+1 ne divise pas P .
Les racines de multiplicité > 2 sont dites multiples. Les racines de multiplicité 1, 2 et 3 sont
respectivement qualifiées de racine simple, double et triple.
Proposition 3.28 Soit P ∈ K[X] un polynôme. Un scalaire r ∈ K est une racine de multiplicité e > 1 de P si et seulement si r est racine de P, P ′, . . . , P (e−1) et r n’annule pas P (e) (X),
i.e. :
P (r) = P ′ (r) = P (2) (r) = · · · = P (e−1) (r) = 0
et
P (e) (r) 6= 0.
Preuve — C’est une conséquence directe de la formule de Taylor.
3.4
Décomposition en irréductibles dans C[X] puis R[X]
3.4.1
Polynômes irréductibles
Dans la section 3.2, nous avons laissé de côté le pendant polynomial de la notion d’entier
premier. Pourtant cette notion a bien un équivalent dans le cadre des polynômes ; néanmoins la
terminologie est différente. La voici.
Définition 3.29 Un polynôme P ∈ K[X] est dit irréductible si et seulement s’il est non
constant et si les seuls polynômes qui le divisent sont les polynômes constants et ceux de la
forme λP avec λ ∈ K.
Remarques
1. Donner la caractérisation d’un polynôme non irréductible.
2. La notion d’irréductibilité dépend fortement du corps de base K.
Les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles (cf. exercice 22). Un problème important est de savoir s’il y en a d’autres et si oui de les identifier. Par exemple dans R[X], les
polynômes aX 2 + bX + c avec b2 − 4ac < 0 sont irreductibles comme nous le verrons plus loin.
3.4.2
Décomposition en irréductibles dans C[X]
La preuve du théorème de d’Alembert3 qui suit dépasse le cadre de ce cours. Malgré tout,
c’est un des résultats les plus important concernant les polynômes. Nous avons donc choisi de
l’admettre.
Théorème 3.30 (de d’Alembert) Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une
racine dans C.
Toute la fin de cette section est consacrée à divers corollaires de cet important théorème.
3
Jean Le Rond d’Alembert est né le 17 novembre 1717 à Paris et décédé le 29 octobre 1783 toujours à Paris.
52
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
Corollaire 3.31 Les irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1, i.e. de la forme aX +b
avec (a, b) ∈ C∗ × C.
Preuve — Soit P ∈ C[X] un polynôme de degré d > 2. D’après le thèorème de d’Alembert, il
admet au moins un racine r ∈ C. En terme de divisibilité, cela veut dire que X − r divise P .
Comme deg(X − r) = 1 < d = deg(P ), on en déduit que P admet des diviseurs non constants
qui ne lui sont pas proportionnels. Il n’est pas irréductible.
Théorème 3.32 Tout polynôme P de C[X] se décompose en produit d’irréductibles de la forme :
P (X) = c(X − r1 )e1 · · · (X − rn )en
où c ∈ C est le coefficient dominant de P et où les ri ∈ C (1 6 i 6 n) sont les racines de P
chacune d’entre elles étant de multiplicité ei . De plus cette décomposition est unique à l’ordre
près.
Preuve — On fait une récurrence sur deg(P ).
Si deg(P ) = 0, cela veut dire que P est constant ou encore P = c avec c ∈ C.
Supposons que tous les polynômes de degré < d (avec d > 1 fixé) admettent une décomposition
en irréductibles.
Considérons P de degré d. D’après d’Alembert, il admet une racine r ∈ C. Du coup, P
s’écrit P = (X − r)Q avec deg(Q) = d − 1 < d. On applique l’hypothèse de récurrence à Q pour
conclure.
3.4.3
Décomposition en irréductibles dans R[X]
Comme nous l’avons déjà fait remarquer, le caractère irréductible dépend fortement du corps
de base. Voici une illustration de ce propos : dans R[X], il y a plus d’irréductibles que dans C[X] :
Proposition 3.33 Les irréductibles de R[X] sont :
– les polynômes de degré 1, i.e. de la forme aX + b avec (a, b) ∈ R∗ × R,
– et les polynômes de degré 2 sans racine réelle, i.e. de la forme aX 2 + bX + c avec (a, b, c) ∈
R∗ × R2 tels que b2 − 4ac < 0.
Preuve — On sait déjà qu’un polynôme de degré 1 est irréductible. Montrons qu’il en est de
même d’un polynôme P (X) = aX 2 + bX + c tel que b2 − 4ac < 0. Si cela n’était pas le cas alors
ce polynôme admettrait un diviseur D non constant qui ne lui est pas proportionnel. Dès lors, on
a nécessairement 0 < deg(D) < 2 ou encore deg(D) = 1. Ecrivons D(X) = αX + β avec α 6= 0
alors il existe Q ∈ R[X] tel que :
P (X) = (αX + β) × Q(X).
Il apparaı̂t alors que − αβ est racine de P . Cela contredit le fait que son discriminant est strictement
négatif. En conclusion, P est bien irréductible.
3.4. DÉCOMPOSITION EN IRRÉDUCTIBLES DANS C[X] PUIS R[X]
53
Il reste à montrer qu’il n’y a pas d’autres irréductibles. Dit autrement, il faut vérifier que
les polynômes qui ne sont ni de degré 1 ni de degré 2 sans racine réelle sont forcément non
irréductibles (on dit aussi réductible).
Pour cela, on remarque que les polynômes de degré > 2 admettant au moins une racine
réelle r ∈ R sont réductibles car divisible par X − r.
Par ailleurs, un polynôme P ∈ R[X] de degré > 2 sans racine réelle admet au moins une
racine complexe z ∈ C. En fait, il en admet au moins deux car le conjugué z de z est aussi racine
de P . Cela provient du fait que P est à coefficients réels si bien que l’on a :
0 = P (z) = P (z).
Du coup X − z et X − z divisent P dans C[X] ; étant de surcroı̂t premiers entre eux (car z 6= z),
on en déduit que le produit (X − z)(X − z) divise P a priori dans C[X]. Mais cette relation de
divisibilité est encore vraie dans R[X] car le polynôme :
(X − z)(X − z) = X 2 − 2ℜ(z)X + |z|2 ∈ R[X],
est en fait à coefficients réels. On vient donc de trouver un diviseur de P de degré 2 dans R[X].
Les deux dernières remarques permettent de montrer qu’un polynôme de degré > 3 est
réductible tout comme un polynôme de degré 2 admettant une racine réelle.
Les polynômes à coefficients réels admettent aussi un décomposition en irréductibles dont
voici la forme.
Théorème 3.34 Tout polynômes P de R[X] se décompose en produit d’irréductibles de la forme :
P (X) = c × (X − r1 )e1 · · · (X − rn )en × (X 2 + an+1 X + bn+1 )en+1 · · · (X 2 + an+m X + bn+m )en+m
où :
– le scalaire c ∈ R est le coefficient dominant de P ,
– les ri ∈ R (1 6 i 6 n) sont les racines réelles de P chacune d’entre elles étant de multiplicité ei > 0.
– les polynômes X 2 +an+j X +bn+j (1 6 j 6 m) sont sans racines réelles, i.e. satisfont a2n+j −
4bn+j < 0.
De plus cette décomposition est unique à l’ordre près.
3.4.4
Calculs de décompositions en irréductibles
En toute généralité, factoriser un polynôme en irréductibles est assez difficile. Il faut néanmoins
savoir factoriser dans les cas simples. Voici quelques techniques usuelles pour factoriser un
polynôme P .
• Recherche de racines ((évidentes)) — La coutume veut que certains réels ou complexes
soient décrétés ((racines évidentes)) : cela veut dire que tout étudiant à qui on soumet un polynôme
à factoriser est sensé vérifier si un de ces réels ou complexes n’est pas, par chance, racine du
polynôme en question. Dans le cadre de ce cours, sont décrétés racines évidentes les réels 0, ±1
et ±2 ainsi que les complexes ±i, ±j et ±j 2 .
54
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
• Calcul de multiplicité — Dès que l’on tient une racine d’un polynôme, il est bon de
calculer sa multiplicité. Si r est racine de P avec la multiplicité e, on sait que (X − r)e divise P ,
ce qui donne une partie de la décomposition de P en irréductibles.
• Polynôme réel, racine complexe — Si un polynôme à coefficients réels admet une racine
complexe non réelle alors son conjugué est aussi racine (cf. exercice 24). Cela fait donc deux
racines pour le prix d’une et donc deux facteurs conjugués dans C[X] et un facteur irréductible
de degré 2 dans R[X]. Par exemple, si i est racine de P ∈ R[X], alors i = −i l’est aussi. Il en
résulte que (X −i) et (X + i) divisent P dans C[X] alors que X 2 + 1 divise ce même P dans R[X].
• Pair ou symétrique — Si un polynôme est pair ou symétrique alors la connaissance d’une
racine permet d’en déterminer de nouvelles (cf. exercice 24).
3.5
Fonctions symétriques élémentaires et racines
Le saviez-vous ? Connaissant la somme s et le produit p de deux réels (ou complexes) on peut
en déduire ces deux réels. En effet, ce sont les racines du polynôme X 2 − sX + p. Pourquoi ?
Notons r1 et r2 ces deux racines alors (X − r1 )(X − r2 ) divise X 2 − sX + p. Ces deux polynômes
étant de même degré et unitaires, ils sont forcément égaux (cf. exercice 19) :
X 2 − sX + p = (X − r1 )(X − r2 ) = X 2 − (r1 + r2 )X + r1 r2 .
En identifiant les coefficients on tombe bien sur :
r1 + r2 = s
et
r1 r2 = p,
ce que l’on voulait.
Que venons nous de faire : on a exprimé les coefficients du polynôme X 2 − sX + p en fonction
de ses racines. Ceci est le reflet d’un phénomène plus général.
Étant donnés r1 , . . . , rd une famille d’éléments de K, on définit les d fonctions symétriques
élémentaires associées à cette famille par :
σ1 (r1 , . . . , rd ) =
X
ri = r1 + · · · + r d
16i6d
σ2 (r1 , . . . , rd ) =
X
ri rj
16i<j6d
..
.
σk (r1 , . . . , rd ) =
X
ri1 · · · rik
16i1 <···<ik 6d
..
.
σd (r1 , . . . , rd ) =
Y
16i6d
ri = r1 · · · rd
3.5. FONCTIONS SYMÉTRIQUES ÉLÉMENTAIRES ET RACINES
55
Pour d = 2, on retrouve les deux expressions σ(r1 , r2 ) = r1 + r2 la somme et σ2 (r1 , r2 ) = r1 r2 le
produit. Pour d = 3, on a :
σ1 (r1 , r2 , r3 ) = r1 + r2 + r3 ,
σ2 (r1 , r2 , r3 ) = r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 ,
σ3 (r1 , r2 , r3 ) = r1 r2 r3 .
Remarque – Dans ces expressions on peut changer l’ordre des ri sans les altérer, d’où le qualitatif
((symétrique)).
On est maintenant en mesure de généraliser le phénomène illustré au début de cette section :
Théorème 3.35 Soient r1 , . . . , rd des éléments de K. Les coefficients du polynôme :
(X − r1 ) · · · (X − rd ) = X d + cd−1 X d−1 + · · · + c0
s’expriment à l’aide des fonctions symétriques élémentaires des racines ; on a :
∀1 6 k 6 d,
cd−k = (−1)k σk (r1 , . . . , rd ).
Comme pour d = 2, retrouver une famille d’éléments connaissant ses fonctions symétriques
élémentaires revient donc à chercher les racines d’un polynôme.
56
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
3.6
Exercices
Exercice 18 : Gymnastique euclidienne (2-ème)
Calculer le pgcd des polynômes P et Q suivants en complétant au moins un des calculs par
la détermination des coefficients de Bezout.
1. P = X 4 + 6X 3 + 8X 2 − 6X − 9, Q = X 4 + X 3 − X − 1 ;
2. P = X 5 + X 4 + X 3 − X 2 − X − 1, Q = X 5 − 3X 4 + 5X 3 − 5X 2 + 3X − 1 ;
3. P = X 5 + X + 1, Q = X 4 + X + 1.
Exercice 19 : Je ne trouve pas de titre débile
On se place dans R[X] l’anneau des polynômes à coefficients réels.
1. Existe-t-il des polynômes qui divisent tous les polynômes ? Si oui en dresser la liste.
2. Existe-t-il des polynômes divisible par tous les polynômes ? Si oui en dresser la liste.
3. Qu’est-ce qu’un inversible de R[X]. Qui sont-ils ?
4. a. Montrer que si P | Q et deg(P ) = deg(Q) alors il existe λ ∈ R tel que P = λQ.
b. En déduire que si P et Q sont de plus unitaires alors la conclusion est P = Q.
c. Que peut-on dire de P et Q ∈ R[X] s’ils satisfont P | Q et Q | P ?
Exercice 20 : Divisibilité et racines
1. Soit a, b ∈ R (ou C) distincts. Montrer que les polynômes X − a et X − b sont premiers
entre eux.
2. Montrer que deux polynômes de C[X] sont premiers entre eux si et seulement si ils n’ont
aucune racine en commun.
3. Soit P, Q ∈ C[X]. Montrer que P divise Q si et seulement toute racine de P est racine
de Q et si pour chaque racine de P , la multiplicité dans P est inférieure à celle dans Q.
4. Soient P et Q deux polynômes, et r une racine commune de multiplicité m dans P , et n
dans Q.
a. On suppose m 6= n. Quelle est la multiplicité de r comme racine de P + Q ? de P 2 Q ?
b. Et si m = n que peut-on dire de la multiplicité de r comme racine de P + Q ?
Exercice 21 : Square free
Soit r1 , r2 , r3 ∈ C trois réels deux-à-deux distincts. Considérons le polynôme :
P = (X − r1 )(X − r2 )2 (X − r3 )3 ∈ R[X].
c. Quelle est la décomposition en irréductibles de D = pgcd(P, P ′) ?
d. En déduire que le produit (X − r1 )(X − r2 )(X − r3 ) s’obtient grâce à une division
euclidienne ne faisant intervenir que P et D.
e. Retrouver les facteurs (X − ri ) (1 6 i 6 3) en enchaı̂nant uniquement des divisions,
des dérivations et des pgcd .
57
3.6. EXERCICES
Exercice 22 : Incorruptible ? Indestructible ? Mais non irréductible !
Dans cet exercice le corps de base K sera alternativement Q, R ou C.
1. Rappeler la définition d’un polynôme irréductible de K[X]. Donner la version ((écriture
mathématique)) de cette définition.
2. Caractériser le fait qu’un polynôme de K[X] n’est pas irréductible.
3. a. Montrer qu’un polynôme de degré 1 est toujours irréductible.
b. Montrer qu’un polynôme de degré 2 est irréductible sur K si et seulement s’il n’a pas
de racine dans K.
c. Et pour un polynôme de 3, puis 4 ?
4. Donner un exemple de polynôme de R[X] qui est irréductible sur R mais qui ne l’est plus
sur C.
5. Donner un exemple de polynôme de Q[X] de degré 3 et irréductible sur Q. Le reste-t-il
sur R ?
Exercice 23 : J’crois bien qu’j’ai fait un impair
Montrer qu’un polynôme de R[X] de degré impair admet toujours une racine réelle.
Exercice 24 : Quand une racine en donne une autre
1. Soit P un polynôme à coefficients réels admettant une racine z ∈ C \ R, i.e. complexe non
réelle.
a. Vérifier que z est aussi racine de P .
b. Montrer que si z est d’ordre e alors il en est de même de z.
c. En déduire que (X 2 − 2ℜ(z)X + |z|2 )e ∈ R[X] divise P dans R[X].
2. Soit P un polynôme pair, i.e. sans monôme de degré impair, ou encore de la forme c2n X 2n +
c2(n−1) X 2(n−1) + · · · + c2 X 2 + c0 . Montrer que si r est racine de P alors il en est de même de −r.
3. Soit P (X) = cd X d +cd−1 X d−1 · · · c1 X+c0 un polynôme de degré d. Le polynôme réciproque
de P est le polynôme Q(X) = c0 X d + c1 X d−1 + · · · + cd−1 X + cd . Un polynôme P est dit
symétrique s’il est égal à son polynôme réciproque. Par exemple 2X 4 + 3X 3 − X 2 + 3X + 2
et 5X 3 − 2X 2 − 2X + 5 sont symétriques.
a. Montrer que si r 6= 0 est racine de P alors 1/r est racine de Q son polynôme réciproque.
b. Montrer que les racines d’un polynôme symétrique P sont non nulles, puis que si r est
racine de P alors 1/r est aussi racine de P .
Exercice 25 : Racines du bien
1. Déterminer toutes les racines réelles des polynômes :
(a) X 3 − 3X 2 + 4,
(b) X 3 + 2X 2 − 25X − 50,
(d) X 5 − 6X 4 + 10X 3 + 4X 2 − 24X + 16,
(c) X 4 + X 2 + 1,
(e) X 5 − 4X 4 + X 3 + 14X 2 − 20X + 8.
58
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
2. Déterminer toutes les racines réelles du polynôme 8X 4 − 44X 3 + 54X 2 − 25X + 4 sachant
qu’il admet une racine triple.
3. Déterminer toutes les racines dans C du polynôme :
P (X) = X 4 − (6 + i)X 3 + 6(i + 2)X 2 − 4(2 + 3i)X + 8i
sachant qu’il admet une racine réelle triple.
Exercice 26 : Décomposition avancée
1. Décomposer en irréductibles de R[X] et C[X] les polynômes :
(a) X 3 + 2X 2 + 2X + 1, (b) X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, (c) 2X 4 − 3X 3 − X 2 − 3X + 2,
(d) X 3 − 3,
(e) X 4 + 1,
(f) X 6 + 1,
2. Décomposer en irréductibles de R[X] le polynôme X 6 − 3X 5 + 6X 4 − 7X 3 + 6X 2 − 3X + 1
sachant qu’il compte −j parmi ses racines.
3. Décomposer en irréductibles de R[X] le polynôme X 6 + 2X 5 + 3X 4 + 4X 3 + 3X 2 + 2X + 1
sachant que c’est un carré.
4. Décomposer P (X) = 8X 3 + 4X 2 − 2X − 1 en irréductibles de R[X] sachant qu’il admet
une racine double.
5. Décomposer en irréductibles de R[X] le polynôme X 5 − 4X 4 − 18X 3 + 72X 2 + 81X − 324
sachant qu’il admet deux racines doubles.
2iπ
6. a. Montrer que j = e 3 est racine du polynôme P (X) = X 8 + 2X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1 puis
calculer sa multiplicité.
b. En utilisant la parité de P , trouver toutes les racines de P .
c. En déduire les décompositions de P en irréductibles de C[X] et R[X].
7. Soit P (X) = X 4 + X 3 − X 2 + 6. Calculer P (1 + i) puis en déduire la décomposition en
irréductibes de P dans R[X] et C[X].
8. Posons P = X 4 − 4X 3 + 8X 2 − 8X + 4 ∈ R[X].
a. Calculer pgcd(P, P ′).
b. En déduire que P n’a que des racines doubles puis les calculer.
c. Décomposer P en irréductibles de C[X] puis R[X].
Exercice 27 : D’autres décompositions avancées
1. Décomposer en irréductibles de R[X] et C[X] les polynômes :
(a) X 4 − 3X 2 − 4,
(b) X 4 + 2X 2 + 1,
(c) X 8 + 2X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1,
(d) X 9 + X 6 + X 3 + 1.
2. Décomposer X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18 en irréductibles de R[X] sachant que deux de
ses racines ont un produit égal à six.
3. Décomposer en irréductibles de C[X] le polynôme 6X 4 +X 3 +(6i+10)X 2 +(2+i)X −(4+2i)
sachant qu’il admet des racines réelles.
3.6. EXERCICES
59
Exercice 28 : Décomposition très avancée
Soit n ∈ N∗ .
1. Factoriser dans C[X] puis dans R[X] le polynôme X n − 1.
2. a. Trouver tous les complexes z ∈ C vérifiant (z + 1)n = (z − 1n ).
b. Factoriser dans R[X] le polynôme (X + 1)n − (X − 1)n .
Exercice 29 : True or False ?
Etudier la validité des affirmations suivantes.
1. Si P (r) = P ′(r) = 0 alors r est un racine double de P .
2. Si r est racine de P ′ alors r est racine double de P .
3. Un polynôme de R[X] de degré 2 est irréductible.
4. Soit P ∈ C[X]. Si P ′ | P alors P n’a que des racines doubles.
Exercice 30 : Invasions de paramètres
1. Trouver les réels t pour lesquels le polynôme X 4 − X + t est divisible par X 2 − tX + 1.
2. Soit t ∈ R un paramètre et P (X) = X 3 − 3X + t un polynôme.
a. Pour quelles valeurs de t ∈ R le polynôme P admet-t-il une racine au moins double ?
b. Pour chacune des valeurs de t précédentes, décomposer P en irréductibles de R[X].
c. En dehors des valeurs de t précédentes, que vaut pgcd(P, P ′) ?
Exercice 31 : Agent double, mais non racine double
Soit p, q deux réels avec pour simplifier p 6= 0. On cherche une condition nécessaire et suffisante
sur p et q pour que le polynôme P (X) = X 3 + pX + q ait une racine double.
1. Calculer la suite des restes fournie par l’algorithme d’Euclide avec comme polynômes de
départ X 3 + pX + q et 3X 2 + p.
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que P admette une racine double.
Exercice 32 : Il faut ((positiver))
Dans cet exercice, il s’agit de montrer que tout polynôme à coefficients réels ne prenant que
des valeurs positives sur R est forcément la somme de deux carrés :
∀P ∈ R[X], [∀x ∈ R, P (x) > 0] =⇒
∃A, B ∈ R[X], P = A2 + B 2 .
On ne s’interdira aucune escapade dans C (chouette !) ; en particulier l’application N : C[X] →
R[X] définie par P 7→ P P pourra s’avérer utile.
1. Montrer que tout produit (A21 + B12 ) × · · · × (A2r + Br2 ) avec Ai , Bi ∈ R[X] (r > 1) se met
sous la forme A2 + B 2 avec A, B ∈ R[X].
2. Soit P ∈ R[X] un polynôme tel que P (x) > 0 pour tout x ∈ R.
a. Commencer par vérifier que si deg(P ) = 2 alors il existe A, B ∈ R[X] tels que P =
A2 + B 2 .
b. Montrer que l’hypothèse sur le degré est en fait inutile.
3. Soit P ∈ R[X] un polynôme tel que P (x) > 0 pour tout x ∈ R. Montrer qu’il est aussi
somme de deux carrés.
4. En déduire que pour tout polynôme P à coefficients dans R+ , il existe A, B, C, D ∈ R[X]
tels que P = A2 + B 2 + X(C 2 + D 2 ).
60
CHAPITRE 3. LES POLYNÔMES
Exercice 33 : Étrange équation
Trouver tous les polynômes P ∈ C[X] tels que P (X 2) = P (X)P (X + 1).
Exercice 34 : Élémentaire ! mes chères fonctions symétriques
1. Résoudre dans C, les systèmes d’équations :
(
(
x+y =2
x + y = 11
xy = 30
xy = 2
2. Résoudre dans C, les systèmes


x + y + z = 4
xy + xz + yz = −20


xyz = −48
(
x+y =2
xy = −1
d’équations :


x + y + z = 2
xy + xz + yz = 1


xyz = 2


x + y + z = −5
xy + xz + yz = 3


xyz = 9
3. Soit x, y, z ∈ C. On note σ1 , σ2 , σ3 les fonctions symétriques élémentaires en x, y, z, c’està-dire :
σ1 = x + y + z,
σ2 = xy + xz + yz,
σ3 = xyz.
a. Exprimer les quantités :
x2 + y 2 + z 2
et
1 1 1
+ +
x y z
en fonction de σ1 , σ2 , σ3 .
b. En déduire les solutions dans C, des systèmes d’équations :




x
+
y
+
z
=
2
x + y + z = 0

2
2
2
x2 + y 2 + z 2 = 1
x +y +z =6


1 1 1
1 1 1
+ y + z = 12
+ y + z = −1
x
x
Exercice 35 : Quand les coproduits des racines sont racines
Soit P (X) = X 3 + aX 2 + bX + c un polynôme de C[X] dont on note r1 , r2 , r3 les trois
racines complexes. Déterminer en fonction de a, b et c un polynôme Q ayant pour racines les
produits r1 r2 , r1 r3 et r2 r3 .