DS N° 1

Licence STA - UE Électrostatique-Électrocinétique - S2 groupe PC11
16 mars 2011
Devoir surveillé d’électrostatique 2010-2011 N◦ 1
Durée 2 heures
Tous documents, calculatrices et téléphones portables interdits
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
Les réponses seront systématiquement justifiées.
Valeurs numériques fournies
ε0 = 8, 8.10−12 F/m, K =
1
4πε0
= 9.109 SI, sin( π6 ) = 12 , cos( π6 ) =
√
3
2 ,
sin( π3 ) =
√
3
2 ,
cos( π3 ) = 12 .
Exercice 1 (8 points)
Trois charges ponctuelles sont placées au sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Le centre
de gravité G de ce triangle se trouve à égale distance GA = GB = GC = √a3 des trois sommets.
√
On donne q = 10−12 C et a = 3 3 cm.
a
A
B
G
C
1. On se place tout d’abord dans le cas où qA = qB = q > 0 et qC = −q/2 < 0. Donner
l’expression du potentiel électrostatique VG au point G et calculer sa valeur.
2. Calculer le champ électrostatique ~EG en G, en précisant bien à la fois sa norme et sa
direction.
3. On suppose maintenant que les trois charges sont égales qA = qB = qC = q. Que vaut
le champ électrique en G (calcul direct) ? Le potentiel en G (calcul direct) ? Commenter.
4. On cherche ensuite à calculer le champ électrique en un point M de l’axe Gz perpendiculaire au plan du triangle (et donc de la feuille) et passant par G. On repère la hauteur de
M par rapport au plan du triangle par z (z = 0 dans le plan du triangle). Par des arguments
de symétrie, peut-on déterminer l’orientation du champ électrique ~EM en M ? Donner
l’expression de ce champ ainsi que celle du potentiel VM en M.
5. Comment s’exprime le champ ~E en fonction du potentiel V , de manière générale, et dans
le cas particulier d’un système de coordonnées cartésiennes ? Comment se simplifie cette
expression si l’on tient compte des symétries du problème et de l’orientation du champ ~E
en un point M de l’axe Gz. Vérifier que le champ ~EM obtenu dans la question 4 peut être
ainsi retrouvé à partir du potentiel VM obtenu dans la question 4.
1
Exercice 2 (6 points)
On considère une boule sphérique de centre O et de rayon R, constituée de métal conducteur, à
l’équilibre électrostatique (toutes les charges libres de se déplacer sont immobiles). Elle porte
une charge totale Q > 0.
R
r
O
M
1. On s’intéresse d’abord à la répartition des charges électriques dans la boule. Montrer
que s’il existait des charges libres à l’intérieur de la boule, le champ électrique y serait
nécessairement non nul (appliquer le théorème de Gauss à un petit volume intérieur). Ces
charges libres pourraient-elles alors rester immobiles ? A l’équilibre, que peut-on en déduire sur leur localisation ? En déduire l’expression de la densité surfacique de charge
σ.
2. A quelles symétries obéit le problème ? Que peut-on dire de l’orientation du champ électrique et de sa dépendance par rapport aux coordonnées r, θ , ϕ en coordonnées sphériques ?
Par application du thèorème de Gauss, calculer le champ à l’intérieur de la boule. Que
peut-on en déduire pour le potentiel à l’intérieur de la boule ?
3. Par application du thèorème de Gauss, donner l’expression du champ électrique ~EM en un
point M situé à une distance r du centre O, à l’extérieur de la boule (r > R). Montrer que ce
champ est équivalent à celui d’une charge Q qui serait concentrée au point O. En utilisant
l’expression du potentiel d’une charge ponctuelle, en déduire le potentiel VM au point M.
4. En utilisant les résultats du 3, indiquer l’orientation du champ électrique à la surface de la
boule, et exprimer son intensité Es ? En utilisant la relation entre Q et la densité surfacique
σ , exprimer Es en fonction de σ . Retrouver ce résultat par application du théorème de
Gauss à un petit cylindre traversant la surface de la boule et dont les parois latérales sont
perpendiculaires à cette surface.
5. En utilisant les résultats du 3, quel est le potentiel Vs à la surface de la sphère ? En déduire
le potentiel à l’intérieur de la sphère. Représenter graphiquement l’évolution du potentiel
V (r) pour r allant de 0 à l’infini.
6. En déduire que quelle que soit la charge Q portée par la boule, on a toujours Q = CVs , où
C est une constante dont on donnera l’expression.
Rappel : définition des coordonnées sphériques
2
Exercice 3 (6 points)
On considère deux armatures métalliques planes et parallèles, de même surface S, situées en
z = −d/2 et z = d/2. On suppose que la charge totale est nulle, et on appelle Q la charge portée
par l’armature supérieure, qu’on suppose positive et répartie uniformément.
z
1
+Q
2
z=d/2
z=−d/2
1. Quelle sont les densités surfaciques de charge sur les deux armatures ?
2. On veut calculer l’expression du champ électrique entre les deux armatures. Pour cela
on supposera que les deux armatures sont suffisamment rapprochées par rapport à leurs
dimensions transverses pour qu’on puisse les considérer comme équivalents à des plans
infinis.
(a) Par des arguments de symétrie, montrer que le champ doit être perpendiculaire aux
armatures. Justifier le fait qu’il soit nul à l’extérieur des armatures.
(b) Par application du thèorème de Gauss, donner l’expression du champ électrique entre
les armatures. Quelle est son orientation ? Faire le parallèle avec un résultat similaire
obtenu à l’exercice 2 et commenter.
3. En déduire la différence de potentiel V = V1 −V2 entre les deux armatures.
4. Montrer que Q = CV avec C une constante appelée la capacité, dont on donnera l’expression.
5. Les armatures étant isolées électriquement, on les écarte en les amenant à une distance
d ′ . Donner les expressions de la charge Q′ de l’armature supérieure et de la différence de
potentiel V ′ entre les deux armatures dans cette nouvelle configuration.
3