Rapide rappel de mathématiques

Rapide rappel de mathématiques
BA1 en chimie, mathématiques et physique.
Quelques mots. . .
Les étudiants qui rentrent à l’université proviennent d’horizons parfois fort différents, c’est
évident. Cela semble particulièrement bien vérifié en ce qui concerne le cours de mathématiques ;
c’est la raison d’être du présent document et des “séances de rappels” organisées en début d’année.
Nous avons rassemblé dans ce document divers rappels théoriques ainsi que quelques exercices
concernant une partie des mathématiques vues (ou censées l’être) durant les études secondaire.
Pour l’étudiant, l’intérêt majeur est de se mettre à niveau, ou au contraire de se rassurer sur
l’état de ses connaissances, bref d’éviter les surprises.
Pour le professeur, c’est d’avoir une base mathématique sur laquelle il peut se baser et une
référence à laquelle il peut se référer, bref d’éviter les surprises.
Historique Année 2009-2010 Première version.
Année 2010-2011 Deuxième version.
Table des matières
Quelques mots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
1 Fonctions
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Injectivité et surjectivité . . . . . . . . . .
1.4 Les fonctions exponentielles et logarithmes
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
3
3
5
5
2 Dérivées
2.1 Approche intuitive . . . . . .
2.2 Sens physique de la dérivée .
2.3 Dérivée partielle . . . . . . .
2.4 Règles simples de dérivation .
2.5 Règle de dérivation en chaîne
2.6 Exercices . . . . . . . . . . .
3 Trigonométrie
3.1 Systèmes de coordonnées du
3.2 Le radian . . . . . . . . . .
3.3 Cercle trigonométrique . . .
3.4 Symétries . . . . . . . . . .
3.5 Triangles . . . . . . . . . .
3.6 Exercices . . . . . . . . . .
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9
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12
13
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plan
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21
22
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4 Les nombres complexes
27
i
ii
TABLE DES MATIÈRES
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Définitions . . . . . . . . . . . . .
Plan de Gauss . . . . . . . . . . .
Forme polaire ou trigonométrique
Racine ne d’un complexe . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . .
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5 Analyse vectorielle
5.1 Introduction : scalaires et vecteurs . . . . . .
5.2 Addition de vecteurs . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Composantes d’un vecteur et vecteurs de base
5.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Intégration
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Rappels et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
41
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Richard.
Chapitre 1
Fonctions
1.1
Généralités
Une fonction f est la donnée d’un ensemble de départ A, d’un ensemble d’arrivée B, et d’une
règle qui à chaque élément de A associe un unique élément de B. En écrivant le symbole « f »
on suppose avoir ces trois données, que l’on résumera sous la forme
f : A → B : x 7→ f (x)
où f (x) est l’élément de B qu’on associe à l’élément x de A (il faut évidemment donner f (x)
pour n’importe quel x de A).
Exemple.
f : R → R : x 7→ x2
est une fonction qui à chaque réel associe son carré. Une autre fonction serait
g : R → R+ : x 7→ x2
qui à chaque réel associe son carré. La subtile différence est que l’ensemble d’arrivée
n’est pas le même : ici c’est l’ensemble des réels positifs (zéro inclus). La différence
est subtile car en pratique elle n’a pas toujours un intérêt flagrant. Il faut cependant
la voir, car quand son intérêt apparaitra, il faudra pouvoir y faire attention. Quant à
la fonction
h : R+ → R+ : x 7→ x2
qui à chaque réel positif associe son carré, elle est clairement différente des deux
précédentes car son domaine n’est pas le même.
Par abus de langage, on parlera parfois de « la fonction f (x) » (qui n’est en réalité qu’un
élément de B, pas une fonction) ou de « la fonction y = f (x) » (qui n’est qu’une égalité, pas une
fonction).
Formons maintenant quelques définitions, pour une fonction f : A → B.
Image d’une fonction L’image, plus précisément « l’ensemble image », de la fonction f est
la collection des f (x) pour x parcourant A, qu’on pourrait écrire f (A). C’est un sous-ensemble
de B, il est noté Im f .
Exemple. L’image de la fonction f : [0, 2] → R : x 7→ x2 est [0, 4] ; c’est bien un
sous-ensemble de la droite réelle. Cet ensemble est représenté en trait gras sur la
Fig. 1.1.
1
2
CHAPITRE 1. FONCTIONS
y
6.0 6
5.0
4.0
y = x2
3.0
2.0
1.0
1.0
2.0
x
Figure 1.1: Le graphe de [0, 2] → R : x 7→ x2 .
ln(x−1)
x
6
1.0
2.0
3.0
x
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Figure 1.2: Le graphe de (1, +∞) ⊂ R → R : x 7→
ln(x − 1)
.
x
Domaine de définition Le domaine de définition de f est l’ensemble A, on le note aussi
dom f . Il est parfois utile de préciser l’expression algébrique d’une fonction (c’est-à-dire donner
la formule) sans préciser le domaine, qu’il faut rechercher ensuite.
Exemple.
Le domaine de définition A de la fonction
f : A ⊂ R → R : x 7→
ln(x − 1)
x
est (1, ∞). Sur le graphe de la fonction, le domaine de définition s’obtient en projetant
le graphe sur l’axe des abscisses (en gras sur la Fig. 1.2), et l’image s’obtient en
projetant le graphe sur l’axe des ordonnées. On remarquera (ce n’est pas évident)
qu’ici, l’ensemble image est de la forme (−∞, a] pour un certain réel positif a nonexprimable à partir des fonctions “usuelles”.
Antécédent Si x, élément de A, vérifie f (x) = y, on dit que x est un antécédent de y (pour la
fonction f ). Un élément y de B peut très bien avoir plusieurs antécédents ou n’en avoir aucun.
1.2. COMPOSITION
3
E1
E2
g
E3
f
R
R
f ◦g
Figure 1.3: Composition de fonctions
Exemple. Les antécédents de 4 par la fonction f : R → R : x 7→ x2 sont −2 et
2. L’unique antécédent de 0 est 0. Par contre −4 n’a aucun antécédent pour cette
fonction.
Parité Une fonction f : A → B, avec A ⊂ R et B ⊂ R est :
∗ paire si et seulement si pour tout x de A, on a −x ∈ A et f (x) = f (−x).
∗ impaire si et seulement si pour tout x de A, on a −x ∈ A et f (−x) = −f (x).
Exemple. La fonction cos(x) est une fonction paire et la fonction sin(x) est une
fonction impaire, mais ln(x − 1)/x n’est ni l’un ni l’autre.
1.2
Composition
Que se passe-t-il si l’on applique successivement une fonction g puis une fonction f ? On passe
de l’ensemble de départ de g à l’ensemble d’arrivée de f . Ceci nous définit une nouvelle fonction
entre ces deux ensembles. Cette fonction s’appelle la composée de g et f .
Définition. La composée de deux fonctions f : A2 → A3 et g : A1 → A2 se note f ◦ g et est
définie comme suit :
f ◦ g : A1 → A3 : x →
7 f (g(x))
On résumera la situation en écrivant que f ◦ g est la composée des flèches
g
f
E1 −→ E2 −→ E3
ce qui est également illustré sur la figure Fig. 1.3
1.3
Injectivité et surjectivité
Soit encore une fonction f : A → B. Nous définissons et illustrons (voir Fig. 1.4) les notions
d’injectivité, de surjectivité, de bijectivité et d’inversibilité.
4
CHAPITRE 1. FONCTIONS
Surjection
Injection
Bijection
(pas injectif)
(pas surjectif)
(injectif et surjectif)
Figure 1.4: Injectivité, surjectivité.
Injection La fonction f dite injective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée de f a au
plus (c’est-à-dire au maximum) un antécédent par f . Une telle fonction est appelée une injection.
C’est équivalent à dire que si f (x) = f (y) pour un x et un y de A, alors forcément x = y.
Surjection La fonction f est dite surjective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée est
image par f d’au moins un élément de l’ensemble de départ. En d’autres termes, f est surjective
si et seulement si son image est l’ensemble d’arrivée tout entier. Une telle fonction est appelée
une surjection.
C’est équivalent à dire que pour a ∈ B, l’équation f (x) = a possède toujours une solution x.
Bijection La fonction f est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et
surjective.
Ceci veut dire que les éléments du domaine et les éléments de l’ensemble d’arrivées se correspondent parfaitement par f .
Fonction réciproque La fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → A
telle que
g(f (x)) = x ∀x ∈ A
et
f (g(y)) = y ∀y ∈ B.
La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et se note f −1 .
def
Exemple.
Attention à ne pas confondre f −1 (x) avec f (x)−1 = 1/f (x) ! Par
exemple, les fonctions
f : R0 → R0 : x 7→ x et g : R0 → R0 : x 7→
1
x
vérifient f (x)−1 = g(x) pour tout x ∈ R0 , par contre f −1 = f et g −1 = g (exercice
facile).
Propriété.
1. Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.
2. Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres termes,
f −1
−1
= f.
1.4. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES
Exemple.
5
La fonction
f : [0, ∞) → [0, ∞) : x 7→ x2
est bijective et admet la fonction réciproque
f −1 : [0, ∞) → [0, ∞) : x 7→
√
x
mais par contre la fonction
f : R → [0, ∞) : x 7→ x2
n’est pas injective (donc n’admet pas de réciproque).
1.4
Les fonctions exponentielles et logarithmes
Les fonction exponentielles sont les fonctions du type f (x) = ax pour un certain réel positif
a, appelé la base de l’exponentielle. Lorsqu’on parle de la fonction exponentielle, c’est la fonction
def
exponentielle dont la base est a = e( = 2.718281 . . .).
Le domaine de la fonction exponentielle est R, son image est l’ensemble R+
0 = ]0, ∞]. Elle a
pour propriété remarquable d’être sa propre dérivée (voir section 2.1) :
d x
e = ex .
dx
Cette propriété en fait une fonction omniprésente dans la description de nombreux phénomènes naturels, à chaque fois qu’une quantité varie proportionellement à sa valeur instantannée.
C’est est une raison pour laquelle on parle de la fonction exponentielle.
Logarithmes et logarithme naturel Les fonctions logarithmes sont les fonctions réciproques
des fonctions exponentielles. La fonction réciproque de l’exponentielle en base a est la fonction
logarithme en base a, elle se note loga .
Il y a deux fonctions logarithmes fort utilisées : le logarithme décimal, en base 10, souvent
noté simplement log, et le logarithme en base e, souvent noté ln. C’est ce dernier qui est le
plus souvent utilisé en mathématiques, il est appelé logarithme naturel, ou logarithme népérien
(hommage à l’écossais John Napier).
Les fonctions logarithmes sont définies sur le domaine R+
0 et ont pour ensemble image R.
Identités importantes Les identités suivantes sont essentielles. Ici, a, b > 0 et x, y ∈ R.
i. eln a = a et ln(ex ) = x,
ii. e0 = 1 et ln 1 = 0,
iii. ex+y = ex ey et ln(ab) = ln(a) + ln(b),
iv. ln(ax ) = x ln a
1.5
Exercices
1. Décrire le domaine dom f et l’ensemble image Im f pour les fonctions suivantes :
f : [0, 2[ → R : x 7→ x2
f : ]0, 2[ → R : x 7→ x2
f : ]−2, 2[ → R : x 7→ x2
f : ]−1, 1[ → R : x 7→ x3
6
CHAPITRE 1. FONCTIONS
Figure 1.5: Graphe de ex et de ln x. Ces deux graphes sont symétrique par rapport à la droite
d’équation y = x.
2. On donne les fonctions f et g définies sur R par f (x) = 2x et g(x) = sin(x).
a) Calculer f (π/2), g(π/2), (g ◦ f )(π/2) et (f ◦ g)(π/2)
b) Quelles sont les expressions algébriques de f ◦ g et g ◦ f ?
3. Si f (x) = 1/(1 − x), donner les domaines et expressions algébriques de f , f ◦ f et f ◦ f ◦ f .
4. Soit f la fonction définie par

1

si x < 0,
x
f (x) = x2
si 0 ≤ x ≤ 2,


x + 2 si 2 < x.
a) Calculer f (−2), f (0), f (3/2), f (2) et f (3).
b) Esquisser le graphe de f .
c) Déterminer le domaine de définition et l’image de f .
d) Déterminer la fonction réciproque de f si elle existe ; si elle n’existe pas, expliquer
pourquoi.
5. Vrai ou faux ? La fonction f : R → R : x 7→ x2 + 3x + 2 est
a) injective
b) bijective
c) inversible
d) surjective
6. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition et la fonction
réciproque si elle existe. Représenter la fonction et sa fonction réciproque sur le même
graphique.
√
a) y = x
q
2x+1
b) y = 3(x−1)
c) R− → R+ : x 7→ x2
1.5. EXERCICES
7
7. Sans calculette, simplifiez :
2
a) ln e 3
b) e1+ln 6
4
c) ln e 32
e5
8. Résoudre, dans R, les équations :
a) ln(x2 ) = ln(12 − x)
b) ln x + ln(x + 6) =
1
2
ln 9
9. Les séismes sont des phénomènes qui vont d’un léger mouvement des couches profondes de
l’écorce terrestre, à peine perceptible en surface, à une catastrophe gigantesque qui peut
alors changer complètement la topographie d’une région. Autrement dit, entre ces deux
extrêmes, la différence est considérable. C’est pour cela que l’échelle de mesure de l’intensité
des tremblements de Terre, développée en 1935 par le sismologue américain Charles-Francis
Richter, est basée sur le logarithme décimal. Il s’agit, à partir d’une mesure de l’amplitude
A donnée par un sismographe, de la comparer à une amplitude A0 de référence. On obtient
alors la magnitude M du séisme 1 ,
A
M = log
A0
Ainsi, une différence de un degré sur cette échelle correspond à un rapport des amplitudes
de 10. On entend parfois que l’échelle de Richter comprend 9 degrés, c’est à la fois vrai et
faux. En fait elle n’a aucune limite, c’est simplement qu’un tremblement de Terre dont la
magnitude soit supérieure à 9 ne se produit que tous les deux siècles environ.
Application numérique L’énergie E libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude
par
log E = a + bM
où a et b sont des constantes.
a) Placer sur l’échelle de Richter les séismes :
– San Francisco, en 1906 : I = 1, 78 · 108 I0
– Los Angeles, en 1971 : I = 5, 01 · 106 I0
b) Déterminer les valeurs de a et de b, sachant qu’un séisme de magnitude 8 met en jeu
environ 30000 fois plus d’énergie qu’un séisme de magnitude 5, lui-même libérant une
énergie de 0, 2 · 1020 J.
1. La fonction notée log est le logarithme en base 10, c’est-à-dire la fonction réciproque de f (x) = 10x .
Néanmoins, les propriétés vues pour le logarithme naturel restent valables pour le logarithme en base 10.
Chapitre 2
Dérivées
2.1
Approche intuitive
Prenons une fonction quelconque f , et deux points P1 = (x1 , y1 ) et P2 = (x2 , y2 ) sur la courbe
d’équation y = f (x) (c’est-à-dire y1 = f (x1 ) et y2 = f (x2 )). La variation de la fonction entre ces
deux points est donnée par ∆y = y2 − y1 . On peut rapporter (diviser) cette variation ∆y à la
variation ∆x = x2 − x1 de la coordonnée x entre ces deux points, nous obtenons le quotient
a=
∆y
∆x
qui indique dans quelle proportion varie la fonction f entre les deux points : c’est la pente de la
droite reliant P1 à P2 (voir Fig. 2.1).
Tout en restant sur cette courbe, supposons maintenant que l’on approche le point P1 du
point P2 . Qu’advient-il alors de la droite reliant ces deux points ? Pour P1 suffisamment proche
de P2 , on ne distingue plus la différence entre la courbe et la droite entre ces deux points. La
droite en question se confond avec la notion intuitive de tangente à la courbe au point P2 . La
dérivée f 0 au point x2 est alors le quotient a lorsque P1 tend vers P2 , autrement dit, c’est la
limite 1 :
f (x2 ) − f (x1 )
f 0 (x2 ) = lim a = lim
x
→x
P1 →P2
x2 − x1
1
2
6
y
6
y
P2
∆y
P1
y = f (x)
P
P1 2
y = f (x)
∆x
-
-
x
x
Figure 2.1: La droite entre deux points d’un graphe.
1. Une approche rigoureuse, normalement déjà introduite dans le secondaire, sera vue plus tard et on réintroduira à cette occasion la notion précise de limite, qui traduit l’intuition qu’on a d’un déplacement infinitésimal.
9
10
CHAPITRE 2. DÉRIVÉES
6
α 6
1
h
2
1
3
3
y
2
4
5
4
5
y
Figure 2.2: Représentation de la dérivée (à droite) d’une fonction simpliste (à gauche)
ce qui s’utilise en pratique sous la forme
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
.
h
Le nombre dérivé f 0 (x) d’une fonction f en un point x correspond à la pente de la tangente à la
courbe au point (x, f (x)). La dérivée est la fonction qui à x associe f 0 (x). On parlera parfois de
déplacement infinitésimal. La dérivée se note aussi parfois
df
dx
où l’on indique clairement la variable par rapport à laquelle on dérive. Ceci peut être utile si la
fonction f contient des constantes et qu’il faut évidemment ne pas dériver par rapport à celles-ci !
De plus, cette notation rappelle que la dérivée est la limite d’un quotient, ou encore le quotient
de deux infinitésimaux 2 .
2.2
Sens physique de la dérivée
Pour prendre un premier exemple, considérons le graphe de l’altitude h d’un avion au cours
d’un vol, par rapport au déplacement au sol y. On suppose dans un premier temps qu’il se
déplace en ligne droite (voir Fig. 2.2). La pente α de chacun de ces segments de droite peut alors
être reproduite sur un autre graphique. Cette pente est donnée par le rapport de la variation de
l’altitude ∆h entre deux points du même segment sur la variation ∆y du déplacement au sol.
Comme on le voit sur la figure 2.2, la pente, qui donne le rapport de proportionnalité entre h
et y, évolue par sauts, qui correspondent aux brusques changement de direction de l’avion. Dans
la première région l’avion monte, la pente α est donc positive. Ensuite l’avion se stabilise à une
certaine altitude, en conséquence la pente est nulle dans la région 2. Dans la région 3, l’avion
monte quelque peu mais avec une pente moins importante que dans la région 3. Enfin dans la
région 4 et 5, l’avion entame sa descente ; les pentes dans ces régions sont donc négative. Le
deuxième graphe représente la dérivée du profil d’altitude de l’avion, présenté dans le premier
graphe.
On peut aussi considérer un profil similaire de vol courbe, plus proche de la réalité. Ce profil
peut être vu comme le graphe de la fonction qui donne pour chaque valeur y du déplacement
au sol l’altitude h(y) de l’avion. La dérivée h0 (y) représente alors la pente de l’ascension (ou de
la descente) de l’avion près de y. On peut remarquer la similitude entre le graphe de la dérivée
2. Le choix de l’utilisation d’une notation ou de l’autre dépend généralement du contexte. La notation f 0 est
indiquée si l’on considère l’objet qu’est la fonction dérivée. La notation df
est indiquée lorsque la dérivation par
dx
rapport à plus d’une variable est possible. Néanmoins les deux notations sont courantes et acceptées.
2.3. DÉRIVÉE PARTIELLE
11
6
6
h0 (y)
h(y)
y
y
Figure 2.3: Représentation de la dérivée (à droite) d’une fonction plus réaliste (à gauche)
ci-dessus et le graphe de la pente dans le premier exemple. La dérivée h0 donne en effet la pente
de la courbe d’équation z = h(y) pour un déplacement ∆y infinitésimal. Noter aussi que les
maxima et minima de la fonction h correspondent aux positions où la dérivée h0 s’annule. De
même, les points d’inflexions de h correspondent aux maxima et minima de h0 .
Autre exemple : la vitesse moyenne d’un objet est définie comme étant le quotient de la
distance ∆x parcourue par cet objet sur l’intervalle de temps ∆t mis par cet objet pour parcourir
cette distance. Si l’on considère cette vitesse moyenne sur un intervalle de temps infinitésimal,
on obtient la vitesse instantanée de l’objet
v = lim
∆t→0
∆x
.
∆t
La position d’un objet pouvant être comprise comme une fonction du temps, la vitesse instantanée, qui est la dérivée de cette fonction est elle-même une fonction du temps et on écrit
dx(t)
dt
c’est-à-dire que la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.
v(t) =
2.3
Dérivée partielle
Considérons la fonction S de deux variables qui associe à la longueur l et à la largeur L d’un
rectangle l’aire de celui-ci :
S(L, l) = L l
Supposons maintenant que nous faisons varier uniquement la longueur l de notre rectangle en
gardant sa largeur L fixée à une certaine valeur b. Dans ce cas nous pouvons définir une nouvelle
fonction donnant la surface du rectangle, mais qui ne dépend plus que d’une seule variable (la
longueur l). Appelons cette fonction S ∗ :
S ∗ (l) = b l
Le graphe de cette fonction est une droite de pente b, elle passe par l’origine car S ∗ (0) = 0. Si
l’on dérive la fonction S ∗ par rapport à l, on obtient donc :
dS ∗ (l)
=b
dl
Ce qui nous indique dans quelle proportion varie l’aire du rectangle lorsque l’on augmente (ou
diminue) la longueur l, alors que la largeur L est fixée.
12
CHAPITRE 2. DÉRIVÉES
Ce type de calcul peut être réalisé pour des fonctions de plusieurs (et pas uniquement deux)
variables plus compliquées pour déduire comment varient ces fonctions lorsque toutes les variables
sont fixées, sauf une que l’on fait varier. On appelle ce genre de dérivée une dérivée partielle et on
la note comme suit : pour une fonction f de plusieurs variables x1 , x2 , . . . , xn , la dérivée partielle
par rapport à la j e variable s’écrit
∂f (x1 , x2 , . . . , xn )
∂xj
Dans la pratique, on ne dérive donc la fonction f que par rapport à la variable xj en considérant
les autres comme des constantes. Par exemple, la dérivée partielle de la fonction S ci-dessus par
rapport à l donne
∂S(L, l)
=L
∂l
et l’on peut faire le lien avec l’exemple ci-dessus :
dS ∗ (l)
∂S(L, l) =b
=
dl
∂l L=b
où la barre verticale avec l’égalité L = b signifie que l’on évalue la dérivée partielle en donnant à
la variables L la valeur b.
2.4
Règles simples de dérivation
Voici quelques règles pratiques qui peuvent grandement faciliter le calcul d’une dérivée :
Propriété.
1. Si a est une constante et f une fonction, on a
(af )0 = af 0
2. La dérivée d’une somme : si f et g sont deux fonctions, alors
(f + g)0 = f 0 + g 0
3. La dérivée d’un produit : si f et g sont deux fonctions, alors
(f g)0 = f 0 g + f g 0
4. La dérivée d’une puissance : si f est une fonction et α une constante, on a
d(f α )
= α f α−1 f 0
dx
Application directe : La dérivée d’un monôme,
d(xk )
= k xk−1
dx
5. La dérivée d’un quotient : Si f et g sont deux fonctions, alors
0
f
f 0 g − f g0
=
g
g2
A condition que la fonction g ne s’annule pas au point où la dérivée est considérée ! ! !
2.5. RÈGLE DE DÉRIVATION EN CHAÎNE
2.5
13
Règle de dérivation en chaîne
Soit deux fonctions f : E2 → E3 et g : E1 → E2 et considérons la composée f ◦ g : E1 → E3
de g et f . On peut exprimer la dérivée de cette composée en terme de la dérivée de f et de g par
la règle de la dérivation en chaîne :
(f ◦ g)0 (x) = [(f 0 ◦ g)(x)] g 0 (x)
ou encore
dg(x)
df (u) df (g(x))
=
dx
du u=g(x) dx
ce qui peut se lire la dérivée d’une fonction composée est égale à la dérivée de la fonction externe
évaluée en la valeur de la fonction interne fois la dérivée de la fonction interne évaluée en l’argument de la fonction composée.
Exemple. La dérivée de la fonction h : x 7→ (x − x2 )2 peut se calculer comme suit :
on peut écrire h(x) comme la composée de la fonction f : x 7→ x2 et g : x 7→ x − x2 .
La dérivée de h est donc :
h0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x) = f 0 (x − x2 ) (1 − 2x) = 2(x − x2 ) (1 − 2x)
En développant le carré dans h(x) et en dérivant, on peut vérifier qu’on retrouve bien
le même résultat.
2.6
Exercices
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
a) y = x6 − 3x4 + 19x3 − 8x + 4
b) y = (2 − x)(1 − 5x)
√
c) y = (2x + 1)(3x + 2) 3 3x + 2
d) y =
x8
8(1−x2 )4
2. Calculer, si elles existent, les valeurs des dérivées première, deuxième et troisième des
fonctions suivantes au point indiqué.
a) y = x3/2 en x = 0
b) y = x + 1/x en x = 1/2
3. Calculer la dérivée première par rapport à x de
√
a) y = t2 − 4t si t = 2x2 + 1
√
b) y = t − 3t2 si t = x2 − 6x + 3
√
c) y = 3t2 − 5t + 4 si t = x2
4. Former les équations des tangentes à la courbe d’équation
y = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
aux points d’intersection avec l’axe des abscisses. Tracer la courbe et la tangente.
Rappel L’équation de la droite tangente à une courbe y = f (x) en un point (a, f (a)) de
la courbe, est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
14
CHAPITRE 2. DÉRIVÉES
5. La figure ci-dessous donne la variation de la vitesse d’un mobile en mouvement rectiligne
en fonction du temps.
v(t) (m/s)
1
0.5
t(s)
-1
0
1
2
3
4
5
-1
a) Que valent les vitesses minimales et maximales atteintes par le mobiles ?
b) Combien de temps s’écoule-t-il entre ces deux valeurs extrêmes ?
c) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile accélère-t-il (accélération positive) ?
d) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile décélère-t-il (accélération negative) ?
e) A quel(s) instant(s) l’accélération est-elle nulle ?
f) A quel instant le mobile est-il le plus loin de son point de départ ?
g) Quelle est la distance parcourue par le mobile pendant les 4 secondes du mouvement ?
6. La figure ci-dessous représente le graphe d’une fonction. Dessiner le graphe de sa dérivée.
6
1
1
−1
2
3
-
−1
7. On considère un disque dont le rayon varie avec le temps. Sachant que le rayon augmente
à la vitesse constante de 0.1cm/sec, quelle est la vitesse à laquelle augmente l’aire de la
surface considérée, lorsque
a) le rayon a 10 cm
b) le rayon a 20 cm
8. Calculer la dérivée première des fonctions suivantes :
a) y = sin(x2 + 1)
2.6. EXERCICES
15
b) y = cot(x)/ sin(x)
c) y = (sin(x) + cos(x))/(sin(x) − cos(x))
d) y = arcsin(5x)
9. On donne le graphe de la fonction dérivée f 0 d’une fonction f . Que peut-on dire de f (x)
(maxima, minima, points d’inflexion, croissance, décroissance, etc ...) ? Dessiner grossièrement f (x) si on suppose f (0) = 0.
y
6
1
a)
−1
c)
x
1
−2
−1
1
2
−1
−1
6
1
b)
−3 −2 −1
1
2
3
-
−1
10. Le rayon d’une sphère augmente de 0.25 m/sec. Lorsque le rayon vaut 3 m, quelle est la
vitesse de variation
a) de la surface de la sphère ?
b) du volume de la boule ?
11. Le volume d’un cône est donnée par la formule :
V (r, h) =
πr2 h
3
où r est le rayon du disque formant la base du cône, et h est la hauteur du cône.
Calculer la dérivée partielle de cette fonction par rapport à r. Interpréter le résultat : que
décrit cette dérivée partielle ?
12. Soit f une fonction dérivable.
a) Si f est paire, montrer que sa dérivée f 0 est impaire. La réciproque est-elle vraie ?
b) Si f est impaire, montrer que sa dérivée f 0 est paire. La réciproque est-elle vraie ?
-
Chapitre 3
Trigonométrie
3.1
Systèmes de coordonnées du plan
Le premier système de coordonnées qui vient à l’esprit est sans doute le système des coordonnées cartésiennes, où un point est représenté par deux nombres réels : l’abscisse et l’ordonnée ;
ils correspondent à la distance du point par rapport à deux axes orthogonaux de référence.
Dans beaucoup de problèmes physiques, il n’est cependant pas particulièrement pratique
d’utiliser les coordonnées cartésiennes. En effet, dans une multitude de cas, le système étudié
présente certaines symétries que l’on peut utiliser afin de simplifier la description mathématique
des phénomènes qui s’y produisent. Si l’on veut par exemple étudier un problème à deux corps
(par exemple, le mouvement d’une planète autour d’une étoile, ou celui d’un électron autour
d’un noyau atomique) isotrope (aucune direction privilégiée), il est clair que le seul paramètre
géométrique important est la distance entre les deux objets. Dans ces cas, on utilisera systématiquement les coordonnées polaires (ou leur généralisation tridimensionnelle : les coordonnées
sphériques).
Il s’agit alors de fixer un point O -l’origine- ainsi qu’une demi droite issue de ce point et
de les utiliser comme système de référence. Les coordonnées polaires d’un point P sont données
par le couple (r, θ) où r est la distance à l’origine et θ est l’angle polaire orienté (dans le sens
anti horlogique, aussi dit sens trigonométrique) entre la demi droite de référence et le segment
joignant le point P à l’origine (cf. Fig. 3.1). Cet angle sera toujours, sauf mention explicite du
contraire, exprimé en radians.
abscisse
P
P
r
ordonnée
θ
O
Figure 3.1: Coordonnées cartésiennes (à gauche) et polaires (à droite) du point P . Les lignes
fines sont celles sur lesquelles une des deux coordonnées est constante.
17
18
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
B
r
r
1 rad
O
r
A
Figure 3.2: Angle d’un radian. Les segments OA et OB sont de longueurs égales entre elles et
égales à la longueur de l’arc de cercle AB.
3.2
Le radian
L’utilisation du radian dans la vie courante est loin d’être fréquente. Cependant, son emploi
simplifie les calculs, tout en évitant des erreurs d’arrondi. Le radian (rad) correspond à l’angle au
centre d’un cercle qui intercepte sur la circonférence, un arc dont la longueur est égale à celle du
rayon (voir Fig. 3.2). De par sa définition, l’angle en radian est adapté à la mesure des longueurs
d’arc : l’angle vaut la longueur de l’arc divisée par le rayon du cercle. En particulier, à 360◦
correspondent 2π rad, et
1 rad =
3.3
180◦
π
1◦ =
π
rad.
180
Cercle trigonométrique
Munissons un plan d’un système de coordonnées cartésiennes (deux axes orthogonaux et une
origine) ainsi que d’un système de coordonnées polaires de même origine et dont la demi-droite
de référence se confond avec la partie d’abscisse positive de l’axe horizontal des coordonnées
cartésiennes. Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré en l’origine des coordonnées ;
on y définit les fonctions trigonométriques de manière géométrique (voir Fig. 3.3).
Plus précisément, les fonctions sinus et cosinus peuvent être définies comme les fonctions envoyant un nombre réel θ sur, respectivement, l’ordonnée et l’abscisse du point P de coordonnées
polaires (1, θ). La tangente d’un angle θ est le quotient de son sinus et de son cosinus ; géométriquement c’est l’ordonnée de l’intersection entre la droite OP et la droite verticale d’abscisse 1.
La cotangente d’un angle θ est l’inverse de la tangente ; c’est aussi l’abscisse de l’intersection de
la droite OP et de la droite horizontale d’ordonnée 1.
Ainsi un point de coordonnées polaires (r, θ) a pour coordonnées cartésiennes (r cos θ, r sin θ).
Avec ces définitions, les fonctions sin, cos, tan et cot des fonctions définies sur un sous-ensemble de
R, et ayant la propriété d’être périodiques : du fait que 2π représente un tour complet du cercle,
si x est dans le domaine d’une des fonctions trigonométriques, les points de la forme x + 2kπ
(avec k entier relatif) sont également dans le domaine, de plus f (x) = f (x + 2kπ) où f est une
des fonctions trigonométriques : sin, cos, tan ou cot. Récapitulons les domaines et ensembles
3.4. SYMÉTRIES
19
cot θ =
1
cos θ
sin θ
C
B
P (1, θ)
tan θ =
sin θ
sin θ
cos θ
θ
O
−1
cos θ
A
1
Figure 3.3: Définitions des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sur le cercle trigonométrique (illustrées ici pour l’angle θ = 2π/9 soit 40◦ ).
−1
images (= ensemble d’arrivée tel que la fonction est surjective) des fonctions trigonométriques :
tan : R \ { π2 + kπ t.q. k ∈ Z} → R
cot : R \ {kπ t.q. k ∈ Z} → R.
sin : R → [−1, 1]
cos : R → [−1, 1]
et voici quelques valeurs importantes des fonctions trigonométriques ; il faut connaître ces valeurs
et pouvoir reconstruire ce tableau
angle
0
π/6
π/4
π/3
π/2
√ sin
√0/2
√1/2
√2/2
√3/2
4/2
=0
= 1/2
=1
cos
√1
√3/2
2/2
1/2
0
tan
√0
3/3
√1
3
@
cot
√@
3
1
√
3/3
0
et bien entendu, le théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique implique
l’importante relation (cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1, ce qu’on écrira plus souvent sous la forme
cos2 θ + sin2 θ = 1.
3.4
Symétries
Les fonctions trigonométriques satisfont à des relations algébriques qu’il est utile de connaître.
Elles découlent facilement de symétries géométriques.
20
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
x
tan x
sin x
sin (−x) = − sin (x)
cos (−x) = cos (x)
cos x
tan (−x) = − tan (x)
−x
Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
π−x
x
sin x
tan x
sin (π − x) = sin (x)
cos (π − x) = − cos (x)
cos x
tan (π − x) = − tan (x)
Symétrie par rapport à l’origine
x
tan x
sin x
cos x
sin (π + x) = − sin (x)
cos (π + x) = − cos (x)
tan (π + x) = tan (x)
π+x
3.5. TRIANGLES
21
Symétrie par rapport à la première bissectrice
π
2
−x
cot x
sin
x
cos
sin x
tan
cos x
π
2
π
2
π
2
− x = cos (x)
− x = sin (x)
− x = cot (x)
f (x) = x
Angles décalés de 90˚
π
2
+x
cot x
x
sin
sin x
cos
cos x
tan
3.5
π
2
π
2
π
2
+ x = cos (x)
+ x = − sin (x)
+ x = − cot (x)
Triangles
Triangles rectangles
Les définitions du sinus, cosinus, tangente et cotangentes peuvent être matérialisées dans
n’importe quel triangle rectangle. Pour le voir, il suffit de dessiner un cercle autour d’un sommet
de sorte que l’hypothénuse en soit le rayon. Plus explicitement, rappelons les relations bien
connues
cos θ =
côté adjacent
hypothénuse
sin θ =
côté opposé
hypothénuse
tan θ =
côté opposé
côté adjacent
22
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
Triangles quelconques
Souvent en parlant d’un triangle ABC, on notera Â, B̂ et Ĉ les angles en chacun des sommets,
et a, b et c les mesures des longueurs des segments BC, CA et AB respectivement.
Loi des sinus
Elle s’écrit :
sin B̂
sin Ĉ
sin Â
=
=
a
b
c
Loi des cosinus, ou théorème d’Al-Kashi C’est une généralisation du théorème de Pythagore, qui s’écrit :
c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ
3.6
Exercices
1. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm, et B̂ =
situation, et déterminer les longueurs AC et BC.
π
6 rad.
Représenter la
2. Si ABC est rectangle en A, que AB vaut 5 unités, BC vaut 6 unités, quelle est la mesure
de l’angle Ĉ ?
3. On donne un trapèze ABCD, où AB est de longueur 3, AD est de longueur 5 et CD de
longueur 6. Notons O l’intersection entre les diagonales BD et AC. Sachant que les côtés
AB et AD d’une part, et AD et DC d’autres part sont perpendiculaires, quelle est la
\?
mesure de l’angle BOA
4. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72◦ . Déterminer le troisième
côté et les deux autres angles.
\ = 42◦ , Â = 105◦ , B̂ = 36◦ et AB = 300 m. On
5. Sur la figure, on donne les angles HAC
demande de déterminer la longueur CH.
3.6. EXERCICES
23
6. Des naufragés abordent les côtes balayées par le vent d’une île de l’Atlantique Sud. La plage
est bien dégagée et recouverte de galets, mais une falaise barre le chemin vers l’intérieur
de l’île où ils espèrent trouver du secours. Avant de se préparer pour l’escalade de cette
falaise, un membre de l’équipage se propose d’en mesurer la hauteur. Pour cela, il plante
une perche bien droite de 3 m de longueur, à une distance de 150mde l’aplomb de la falaise.
Ainsi fait, après avoir vérifié que la perche est bien perpendiculaire au plan de l’horizon, il
recule de 5m, distance juste nécessaire pour que, couché sur le sol, le rayon visuel parti de
son oeil effleure à la fois l’extrémité de la perche et le sommet de la falaise. Dessiner une
figure, puis calculer la valeur trouvée pour la hauteur de la falaise.
7. Deux édifices à toit plat sont distants de 60 m. Du toit du plus petit édifice, qui a 40 m de
hauteur, l’angle d’élévation de l’arête du toît du plus grand édifice est de 40◦ . Calculer la
hauteur du plus grand édifice.
111111111111
000000
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
x
000000
111111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
000000
111111
40 ˚
0000
1111
h
000000
111111
0000
1111
000000
111111
0000
1111
40 m
000000
1111111111111111111
0000000000000000000
000000000
1111
11111 111111
000000
111111
60 m
8. Deux villes sont vues depuis le centre de la Terre sous un angle de un degré
a) Quelle est la distance qui sépare ces deux villes ?
b) Quelle serait cette distance si l’angle était de un radian ?
Le rayon terrestre vaut environ 6370 km.
9. À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer les nombres suivants (valeur exacte) en
utilisant les symétries adéquates.
24
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
a) cos( 5π
6 )
d) sin( −π
2 )
g) cos( 5π
4 )
b) sin( −π
4 )
e) cos( 7π
3 )
h) cos( −7π
6 )
c) cos( 3π
4 )
f) sin( −4π
3 )
i) sin( 8π
3 )
10. Trouver les valeurs exactes possibles de cos θ et tan θ sachant que sin θ =
les arcs correspondants sur un cercle.
7
16 ,
puis reporter
11. Calculer la hauteur d’un phare pour que sa portée soit de 15 km.
12. Pour calculer la distance OA entre deux points situés sur les rives opposées d’un fleuve,
on définit le long d’une des rives un segment BC de 300 m, passant par O avec OA perpendiculaire à BC. En mesurant les angles B̂ et Ĉ, on trouve respectivement 67◦ 200 et
53◦ 400 :
A
67◦ 200
B
53◦ 400
O
C
Calculer la valeur des distances AB et AC. En déduire ensuite celle de la distance OA.
13. Démontrer les relations suivantes :
sin4 (a) − cos4 (a) = sin2 (a) − cos2 (a) = 2 sin2 (a) − 1
1
1
tan2 (a) − tan2 (b) =
−
2
cos (a) cos2 (b)
sin2 (θ) − cos2 (φ)
= 1 − cot2 (θ) cot2 (φ)
sin2 (θ) sin2 (φ)
14. Soit x ∈ − π2 , π2 .
a) Si sin x = − 15 , que vaut la tangente de x ?
b) Si cos x = 13 , quelles sont les valeurs possibles de la tangente de x ?
15. Représenter les graphes des fonctions l et f définies par l(t) = sin(2t + π) et f (t) =
sin(2t) + π.
16. La construction de la tour de Pise a commencé en 1173 et fut achevée en 1350, avec
l’installation de ses sept cloches. C’est une tour creuse, d’un diamètre intérieur de 7.5 m
et d’une hauteur h de 54.5 m. Dès la construction du troisième étage en 1274, l’édifice
commence à pencher, à tel point qu’elle est fermée au public en 1990.
3.6. EXERCICES
25
d
54, 5 m
θ
53◦
46 m
Des travaux très importants sont alors réalisés, qui ont permis de rapprocher le sommet
de la verticale de 43 cm. Ainsi, la tour de Pise a retrouvé l’inclinaison qu’elle avait il y
a deux siècles et peut réouvrir ses portes au public en 2001. Les scientifiques estiment
avoir prolongé la survie du monument d’une centaine d’années. Il s’agit de déterminer
l’inclination qu’avait la tour en 1990. Pour ce faire, elle est observée à partir d’un point
distant de 46 m du centre de sa base, et la mesure de l’angle d’élévation est de 53◦ .
Calculer :
– La valeur de l’angle d’inclinaison, par rapport à la verticale θ ;
– La distance d, qui exprime de combien de mètres, le centre du sommet de la tour
s’était écarté de la verticale.
Chapitre 4
Les nombres complexes
4.1
Définitions
Un nombre complexe s’écrit sous la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels
appelés (et notés) respectivement partie réelle (a = Re(z)) et partie imaginaire (b = Im(z))
de z. L’ensemble des nombres de cette forme s’appelle l’ensemble des nombres complexes ; cet
ensemble porte une structure de corps et est noté C. Le nombre complexe i = 0 + 1i est un
nombre imaginaire qui a la particularité que i2 = −1.
Quand un complexe est noté a + bi (avec a et b réels) on dit qu’il est sous forme cartésienne,
par opposition à la forme polaire que nous verrons plus tard. Deux nombres complexes a + bi
et c + di sous forme cartésienne sont égaux si et seulement si a = c et b = d, c’est-à-dire leurs
parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
4.2
Plan de Gauss
Un nombre complexe étant représenté par deux nombres réels, on peut le représenter dans
un plan appelé « plan de Gauss ». La plupart des opérations sur les nombres complexes ont leur
interprétation géométrique dans ce plan.
Im
z = a + bi
b
|z|
arg z
0
a
Re
Figure 4.1: Illustration de nombres complexes dans le plan de Gauss
27
28
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
Pour z = a + bi un nombre complexe, on note z̄ = a − bi le complexe conjugué de z. Dans le
plan de Gauss, il s’agit du symétrique de z par rapport à la droite réelle (généralement dessinée
horizontalement, voir Fig. 4.1).
√
√
On définit le module du complexe z par |z| = z z̄ = a2 + b2 . Dans le plan de Gauss, il
s’agit de la distance entre 0 et z. En particulier, si z est réel (c-à-d. sa partie imaginaire est
nulle), ce module est simplement la valeur absolue. Ceci explique pourquoi la notation |·| est la
même pour la valeur absolue et le module.
Propriété. Pour tout z = a + bi et z 0 = a0 + b0 i nombres complexes, on a
1. z z̄ = a2 + b2 ;
2. z̄¯ = z ;
3. |z| = |z̄| ;
4. zz 0 = z̄ z¯0 et |zz 0 | = |z| |z 0 | ;
5. |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |.
4.3
Forme polaire ou trigonométrique
Dans le plan de Gauss, le module d’un complexe z représente la distance entre 0 et z. On
appelle argument de z (noté arg z) l’angle (déterminé à 2π près) entre le demi-axe des réels positifs
et la demi-droite qui part de 0 et passe par z. Le module, généralement noté ρ, et l’argument,
souvent noté θ, d’un complexe permettent de déterminer univoquement ce complexe puisqu’on
a la formule
z = a + bi = ρ (cos(θ) + i sin(θ))
où ρ = |z| et θ = arg z. Une notation courante et très commode est d’écrire z sous la forme d’une
exponentielle complexe, z = ρeiθ , où par définition
eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
Remarque. Avec cette définition, la notation z = ρeiθ garde un sens si ρ est négatif, mais alors
|z| = |ρ| (lire : « le module de z est la valeur absolue de ρ »).
L’argument de z se détermine via les formules
a
= cos(arg(z))
|z|
b
= sin(arg(z))
|z|
ou encore par la formule
b
= tan(arg(z)) en vérifiant le quadrant.
a
La vérification du quadrant vient de ce que la tangente ne détermine l’angle qu’à π près, mais
que le signe de a et b permettent de lever cette indétermination.
La forme polaire d’un complexe est pratique pour calculer des produits et des puissances de
nombres complexes :
0
Propriété. Si z = ρeiθ et z 0 = ρ0 eiθ sont deux nombres complexes, et n un entier, on a :
1. z̄ = ρe−iθ ;
2.
1
ρeiθ
= ρ1 e−iθ ;
4.4. RACINE N e D’UN COMPLEXE
0
29
0
3. (ρeiθ )(ρ0 eiθ ) = ρρ0 ei(θ+θ ) ;
n
4. ρeiθ = ρn einθ .
(Cette dernière formule prend parfois le nom de « De Moivre ».) On comprend l’intérêt de
la notation exponentielle, puisque les opérations décrites deviennent de simples applications des
règles sur les exposants. Il sera vu au cours que, mieux qu’une simple notation, l’exponentielle
complexe est une généralisation de l’exponentielle « usuelle » en base e = 2, 718 . . ..
Racine ne d’un complexe
4.4
√
Rappelons que lorsque
√ r est un nombre réel, on note r l’unique nombre positif dont le carré
vaut r. Évidemment, − r est également un nombre dont le carré est r, mais la définition du
√
symbole est sans ambigüité.
Dans le cadre des nombres complexes, par contre, il n’existe pas de notion « agréable » de
positivité. Dès lors, on ne parlera jamais de la racine d’un nombre complexe, mais des racines.
Soit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z tout nombre complexe w
tel que wn = z. Pour les déterminer, nous avons la propriété suivante :
Propriété. Si z est donné sous forme polaire ρeiθ (ρ ≥ 0), alors les racines ne de z sont les
nombres w0 , . . . , wn−1 définis par
wk =
4.5
√
n
ρ ei
θ+2kπ
n
où k = 0, . . . , n − 1
Exercices
Ex. 1. Donner une interprétation géométrique, dans le plan de Gauss,
1. de l’addition d’un complexe avec le complexe a + bi [utiliser la forme cartésienne],
2. de la multiplication d’un complexe par le complexe eiθ [utiliser la forme polaire]
Ex. 2. Mettre sous la forme cartésienne les nombres suivants
1. 1 + i + 3 + 4i
7.
2. 3 + 7i + (−3 + 4i)
3.
4
3
+
2i
5
− − 17 +
3i
4
8.
9.
4. (1 + i)(3 + 4i)
5. (3 + 7i)(3 − 7i)
6. 16 + 3i 35 − 2i
10.
11.
3−2i
2−3i
1
5+7i
√ 1
( 7−i)2
√
√
√3+i + √3−i
3−i
3+i
(2+i)(5−2i)
i
Ex. 3. Effectuer les opérations suivantes après avoir mis tous les facteurs sous forme polaire
√ √
1. (−1 + i 3)( 3 + i)
√
2. ( 23 + 12 i) 12 i
−2
3. −√
3+i
4.
5.
6i
−3−3i
√
4+4
√ 3i
3+i
8
6. (1 + i)
7. (1 − i)6
√ 20
8. 12 − i 23
9.
10.
√
(1−i 3)3
(−2+2i)4
√
(1+i)( 3+i)3
√
(1−i 3)3
30
CHAPITRE 4. LES NOMBRES COMPLEXES
Ex. 4. Calculer
1. les racines carrées de i,
2. les racines cubiques de 27i,
3. les racines sixièmes de −1,
√
4. les racines 4e de −8 − 8i 3,
5. les racines cubiques de 1.
Représenter les racines cubiques de 1 dans le plan de Gauss.
Ex. 5.
1. Montrer que si (x + iy) est une racine carrée de (a + ib) où x, y, a, b sont des réels,
alors x et y sont solutions du système

2
2

x − y = a,
2xy = b,
√

 2
x + y 2 = a 2 + b2
2. S’inspirer du point précédent pour déterminer les racines carrées de 4 + 3i.
Ex. 6. Dans C, résoudre les équations suivantes :
1. 2x2 − 2x + 1 = 0
5. z 4 − 2iz 2 + 1 = 0
2. 2x2 − 3ix − 4 = 0
6. ix2 − (2i + 2)x + 6 − 3i = 0
3. (1 − i)x2 + 2x + 4 = 0
7. x4 + x2 (1 − 2i) − 2i = 0
√
P4
8. x5 + 32 + k=1 k5 xk 25−k = 1 + 3i
4. x2 − (3 + 2i)x + 5 + i = 0
où la notation
miaux).
a
b
est le nombre de façon de choisir b éléments parmis a (coefficients bino-
Ex. 7. Par application de la formule de De Moivre, exprimer cos(2x) et cos(3x) en fonction des
puissances de cos(x) et sin(x).
Ex. 8. Déterminer les réels a et b pour que (i − 1) soit solution de l’équation
1
z 5 − az̄ 3 + b |z| = Re
z
Ex. 9. Déterminer l’équation du cercle de centre c et de rayon r > 0 dans le plan de Gauss [utiliser
les interprétations du module comme une distance et de la somme comme d’une translation]
Ex. 10. Représenter, dans le plan de Gauss, les ensembles suivants
1. U = {z ∈ C t.q. Re(z) ≤ Im(z)}
2. A = {z ∈ C t.q. |2 + 3i − z| < 2}
3. B = z ∈ C t.q. 1 ≤ |z| ≤ 4 et π2 ≤ arg z ≤ π
4. C = z ∈ C t.q. z 2 ∈ B
5. D = z ∈ C t.q. z1 ∈ B
Chapitre 5
Analyse vectorielle
5.1
Introduction : scalaires et vecteurs
Beaucoup de quantités peuvent être univoquement déterminées par leur grandeur. Ces quantités sont appelées scalaires et sont représentées par un seul nombre réel. Il s’agit par exemple
des longueurs, des températures, des masses,. . .
Par contre, lorsque l’on souhaite définir, par exemple, un déplacement, nous avons besoin de préciser la distance parcourue
lors de ce déplacement mais aussi la direction suivant laquelle il
s’opère. On dit qu’un déplacement est une grandeur vectorielle.
Les vitesses et les forces sont d’autres exemples de grandeurs vectorielles. Un vecteur est donc déterminé à l’aide de sa longueur
(ou norme ou encore module), et de l’angle qu’il forme avec l’horizontale : sa direction.
Pour différencier les quantités vectorielles des autres dans le
présent document, le symbole les représentant sera écrit en gras :
on pourrait par exemple désigner par v un vecteur vitesse. Pour
désigner le module d’un vecteur donné, on l’écrira entre barres verticales : |v| est le module du
vecteur v.
Remarque. En écrivant à la main, on différencie parfois les vecteurs des scalaires en surmontant
−
le symbole représentant le vecteur d’une flèche : →
x.
5.2
Addition de vecteurs
Afin d’illustrer l’addition de vecteurs, considérons deux déplacements a et b, les règles du
triangle (à gauche) et du parallélogramme (à droite) nous permettent de trouver le déplacement
résultant a + b.
31
32
CHAPITRE 5. ANALYSE VECTORIELLE
5.3
Composantes d’un vecteur et vecteurs de base
Soit un vecteur a dans le plan de coordonnées xy. La projection orthogonale de ce vecteur
sur l’axe des x (axe des abcisses) donne la composante ax du vecteur a. De même, la composante
ay est obtenue en projetant le vecteur a sur l’axe des y (axe des ordonnées). Au lieu de définir
un vecteur a par son module |a| et sa direction θ, on peut donc le définir par ses composantes
cartésiennes (ax , ay ).
Le lien entre les composantes cartésiennes d’un vecteur, son module et sa direction est donné
par
(
En particulier, on trouve |a| =
q
ax = |a| cos θ
ay = |a| sin θ
a2x + a2y (c’est une illustration du théorème de Pythagore).
y
vy
j
v
6
3
6
i
vx
x
Figure 5.1: Composantes d’un vecteur dans le plan
On peut également exprimer un vecteur en terme des vecteurs de base i, horizontal, et j,
vertical, tous deux de longueur 1. Ils ont donc pour composantes cartésiennes i = (1, 0) et
j = (0, 1). Avec ces vecteurs de base, on peut alors écrire
a = ax i + ay j
où ax et ay sont les composantes cartésiennes du vecteur a.
Pour un vecteur a dans l’espace de dimension 3, on peut l’écrire
a = ax i + ay j + az k
où ax , ay , az sont les composantes (cartésiennes) et i, j, k sont les vecteurs de base.
5.4. PRODUIT SCALAIRE
5.4
33
Produit scalaire
Le produit scalaire est une opération qui, avec deux vecteurs a et b, fabrique un scalaire
donné par :
a · b = |a| |b| cos(ϕ)
où ϕ est l’angle formé entre les vecteurs a et b. En particulier, le produit scalaire de deux vecteurs
perpendiculaires est nul car cos(90◦ ) = 0.
Propriété. Le produit scalaire se distribue sur l’addition et est commutatif, c’est-à-dire que pour
tous vecteurs a, b, c nous avons
(a + b) · c = a · c + b · c
et
a·b=b·a
Il est donc utile de connaître le produit scalaire des éléments de base entre eux :
·
i
j
k
i
1
0
0
j
0
1
0
k
0
0
1
On en déduit (le faire !) que le produit scalaire peut également s’exprimer en terme des
composantes des vecteurs :
a · b = ax bx + ay by + az bz
34
CHAPITRE 5. ANALYSE VECTORIELLE
5.5
Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération qui, avec deux vecteurs (dans l’espace, c-à-d. de dimension 3) donnés, fabrique un troisième vecteur. Par définition, le produit vectoriel de deux
vecteurs a et b est
a ∧ b = |a| |b| sin(ϕ)1n
où 1n est un vecteur unitaire (c-à-d. de module 1), perpendiculaire à a et b, et déterminé par la
règle de la main droite. Ici, ϕ représente l’angle de a à b, compté positivement !
La règle de la main droite permet de déterminer le sens du vecteur unitaire comme illustré
ci-dessous. Attention, l’illustration suppose que l’angle choisi de a à b est entre 0◦ et 180◦ (ce
qui, en pratique, est le meilleur choix pour éviter de se tromper : choisir l’angle plus grand que
180◦ revient à renverser le vecteur 1n et à changer le signe du sinus, ce qui ne modifie donc pas
le produit vectoriel).
Remarquons que la norme du produit vectoriel entre deux vecteurs est égale à l’aire du
parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.
Comme pour le produit scalaire, le produit vectoriel se distribue sur l’addition, mais par
contre il n’est pas commutatif : il est anti-commutatif. C’est-à-dire que pour tous vecteurs a, b, c
nous avons
(a + b) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c
et
a ∧ b = −b ∧ a
Écrivons la table de multiplication du produit vectoriel sur les vecteurs de base :
∧
i
j
k
i
0
−k
j
j
k
0
−i
k
−j
i
0
Remarque. Cette table suppose que les coordonnées x, y, z de l’espace sont orientées en suivant la
même règle de la main droite. Il faut donc veiller à orienter ses axes de coordonnées correctement
(c-à-d. de sorte que i ∧ j = k).
5.6. EXERCICES
35
Il est donc possible de calculer tout produit vectoriel de vecteurs donnés en composantes. À
titre mnémotechnique, la formule résultant de ce calcul peut s’exprimer en terme d’un déterminant, comme suit :
i
j
k (ax i + ay j + az k) ∧ (bx i + by j + bz k) = ax ay az bx by bz = (ay bz − az by )i − (ax bz − bx az )j + (ax by − bx ay )k
5.6
Exercices
Somme et différence de vecteurs
Ex. 11. Soient deux vecteurs : a a six unités de long et fait un angle de +36◦ avec l’axe abcisses
positifs ; b a 7 unités de long et est dans la direction de l’axe des x négatifs. Trouver :
1. la somme de ces deux vecteurs (solution graphique et en composantes)
2. la différence entre ces deux vecteurs (solution graphique et en composantes)
Ex. 12. On considère les forces et les objets suivants :
1. Dessiner la résultante des forces qui s’applique sur chacun des objets,
2. Que vaut l’intensité et la direction de la force résultante dans chacun des cas ?
Ex. 13. Quelle relation doit-il exister entre a et b pour que le module de leur somme, soit égal
à
1. |a| + |b| ;
2. |a| − |b| ;
3. |b| − |a| ;
q
2
2
|a| + |b| ?
4.
Ex. 14. Un homme parcourt à pied 10m à 37◦ vers le Nord par rapport à l’Est, puis 20m à 60◦
vers l’Ouest par rapport au Nord. Quel est son déplacement résultant ?
Ex. 15. Un canot automobile fait route plein Nord à 20km/h dans une région où il existe un
courant de 5km/h dans la direction 70◦ Sud par rapport à l’Est. Trouver la vitesse résultante
(grandeur et direction) du bateau.
Ex. 16. Étant donné les vecteurs déplacements a = (2i − 3j + 6k)m et b = (3i + 2j − 3k)m,
déterminer :
1. la longueur de la somme de ces deux déplacements ;
36
CHAPITRE 5. ANALYSE VECTORIELLE
2. la longueur de la différence de ces deux déplacements ;
3. le vecteur déplacement 2a − 3b
Ex. 17. On tire sur un objet avec deux forces F1 = (3i − 5j)N et F2 = (2i − 3j)N . Que vaut la
résultante des forces (intensité et direction) ?
Composantes
Ex. 18. Trouver les composantes d’un vecteur qui a r unités de long, fait un angle θ avec l’axe
des z (axe des cotes), et dont la projection sur le plan oxy fait un angle ϕ (angle orienté !) avec
l’axe des x positifs.
Ex. 19. Trouver la distance entre les points (6, 8, 10) et (−4, 4, 10)
Produit scalaire
Ex. 20. Calculer le produit scalaire de 8i + 2j − 3k avec 3i − 6j + 4k. Que pouvez-vous en déduire
concernant l’angle entre ces deux vecteurs ?
Ex. 21. Trouver l’angle entre les vecteurs (2, 1, 2) et (4, 0, −3).
Ex. 22. Démontrer à l’aide du produit scalaire que pour tout triangle de sommets A, B et C,
−→2 −−→2
−−→2 −→2 −−→2
AB = AC + BC − 2 AC BC cos θ
\
où θ est l’angle BCA.
Ex. 23. On considère trois points P = (−1, 3, −5), Q = (2, k, −1) et R = (m, 0, −8). Déterminez
les valeurs des paramètres réels k et m telles que le triangle de sommets P , Q et R soit rectangle
en P , et les côtés P Q et P R soient de même longueur.
Produit vectoriel
Ex. 24. Déterminer le produit vectoriel de 6i − 4j + 2k et i + 4j − 2k
Ex. 25. Déterminer le produit vectoriel de (2, 1, 2) et (4, 0, −3).
Ex. 26. Soit a et b deux vecteurs.
1. Montrer que a · (a ∧ b) = 0
2. Comment arriver à ce résultat sans faire de calculs ?
Ex. 27. Trouver un vecteur de module 5 qui soit perpendiculaire à la fois aux vecteurs (6, −2, 4)
et (4, −3, −1).
Ex. 28. Trouver l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs 2i + 3j − k et −i + j + 2k.
Ex. 29. Un parallélépipède a comme arêtes concourantes les vecteurs a = (1, 3, 1), b = (2, 0, −1)
et c = (−2, 2, −1). Déterminez son volume, l’aire de la base déterminée par b et c, ainsi que sa
hauteur par rapport à cette base.
Ex. 30. Déterminez α, β et γ pour que les vecteurs a = (1, 2, 3) et b = (α, β, γ) vérifient
les relations a ∧ b = (1, 1, −1) et a · b = 9. Le problème est-il possible si on impose plutôt
a ∧ b = (1, 2, −2) par exemple ?
5.6. EXERCICES
37
Géométrie
Ex. 31. Déterminer l’équation de la droite du plan passant par les points A = (1, 3) et B =
(5, −2)
Ex. 32. Déterminer l’équation de la droite du plan passant par les points A = (1, 3) et parallèle
à la droite d’équation y = 2x + 1.
Ex. 33. Trouver :
1. l’équation d’une droite qui passe par (7, 2).
2. l’équation d’une droite perpendiculaire à la droite d’équation y + 2x = 3.
3. l’équation de la droite passant par (2, 3) et parallèle à la droite passant par les points (7, 9)
et (3, −2). Déterminez-en la pente ainsi que les intersections avec les axes.
Ex. 34. Trouvez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite y = 3x−1 au point d’abscisse
5.
Ex. 35. Déterminer l’intersection des droites d ≡ y = 2x + 3 et d0 ≡ y = −3x + 3.
Ex. 36. Déterminer l’intersection des d’équation y = 2x + 3 et y = 2x + 8
Ex. 37. Déterminer m en sachant que le point P = (2, 1, 5) est à une distance 7 du milieu du
segment joignant A = (1, 2, 3) à B = (−1, 6, m).
Ex. 38. Déterminer la distance entre les points A = (3, −1, 5) et B = (−1, 0, 6), ainsi que les
coordonnées du milieu du segment les joignant.
Exercice récapitulatif
Ex. 39. Soit P1 = (−1, 2, 3) et P2 = (2, −2, 8).
−−−→
1. Donnez les composantes du vecteur P1 P2 , et sa longueur.
2. Donnez les coordonnées du point M , milieu du segment P1 P2 .
−−−→ −−−−→
3. Donnez les coordonnées du point P3 défini par P1 P3 = 3P1 P2
Chapitre 6
Intégrales, aire sous la courbe et primitives
6.1
Introduction
Étant donnée une fonction f : [a, b] → R, définie sur un intervalle [a, b] et à valeurs dans R,
on peut se demander comment calculer (et donc en particulier définir avec rigueur) l’aire qui se
trouve entre le graphe de cette courbe et l’axe des abcisses.
Une approche, qui sera détaillée et rendue rigoureuse au cours théorique le moment venu, est
de subdiviser l’intervalle [a, b] en de petites zones qu’on imagine infiniment petites. Sur chacune
de ces zones, on construit alors un rectangle (dont l’aire est facile à calculer) et on fait la somme
des aires de ces rectangles pour obtenir une approximation de l’aire recherchée. L’aire sous la
courbe s’obtient alors comme un processus limite, où l’épaisseur des zones est de plus en plus
petite. Cette méthode s’appelle la méthode des sommes de Darboux ou des sommes de Riemann,
et conduit à définir ce qui s’appelle l’intégrale de Riemann.
39
40
CHAPITRE 6. INTÉGRATION
Étant donné qu’on s’intéresse à des rectangles de plus en plus fins, on peut interpréter l’intégrale comme une somme infinie : en chaque point x de [a, b], on place un rectangle de largeur
dx (qu’on imagine infiniment petit) et de hauteur f (x). L’aire du rectangle vaut alors f (x) dx,
et il ne reste qu’à faire la somme sur tous les x de l’intervalle [a, b]. Cette façon d’imaginer les
choses a l’avantage de donner une interprétation intuitive à la notion d’intégrale, mais comme
toute interprétation il faut la manier avec prudence.
Définissons donc l’intégrale de la fonction f entre a et b comme « l’aire algébrique » comprise
entre l’axe des abcisses et le graphe de f , entre x = a et x = b. Le mot « algébrique » veut dire
que si la courbe est dessus de l’axe, l’aire se rajoute à l’intégrale, mais que si la courbe est en
dessous de l’axe, l’aire se soustrait à l’intégrale. L’aire possède donc un signe (positif ou négatif),
ce qui est naturel si on considère que f (x) dx
L’intégrale ainsi « définie » (l’absence totale de rigueur n’aura pas échappée au lecteur) se
Rb
R
Rb
note [a,b] f ou encore a f et même très souvent a f (x) dx. À toute fin pratique, le « Théorème
fondamental du calcul différentiel et intégral » permet de calculer effectivement cette intégrale
dans de nombreux cas.
Théorème 1 (Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral). Soit f une fonction
dont on recherche l’intégrale sur un intervalle [a, b]. Si F est une fonction définie et dérivable
sur [a, b] telle que F 0 = f , alors
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
6.2. RAPPELS ET EXERCICES
41
Ce théorème, fondamental comme son nom l’indique, lie donc la notion « d’aire sous la
courbe » avec la notion de dérivée.
Au vu de ce théorème, il est naturel de donner un nom auxR fonctions F dont la dérivée
est
R
une fonction f fixée : F est une primitive de f et on note F = f ou encore F (x) = f (x) dx.
Dans les pages à venir sont développées des méthodes pour déterminer les primitives d’une
fonction donnée.
6.2
Rappels et exercices
Les trois premiers exercices sont des exercices d’application de la formule fondamentale à la
physique. La suite des exercices, sur un fichier à part, est une liste de primitives à chercher, avec
à chaque fois une méthode pour y arriver.
1. La position d’un mobile s’exprime en fonction du temps par
x(t) =
sin(πt)
t
lorsque le temps est en secondes, et la position est exprimée en mètres ; l’argument du sinus
étant exprimé en radians. Que vaut la vitesse à l’instant t = 0.5 s ?
2. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) = −3e−3t , où
v est exprimée en mètres par seconde, et t en secondes.
Sachant que le mobile se trouve à la position x = 3 m à l’instant t = 0 s, établissez l’équation
horaire du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant t = 1 s ?
2
. Sachant
3. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) = t+1
que le mobile se trouve à la position x = 3 à l’instant t = 0, établissez l’équation horaire
du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant t = 2 ?