Dénombrement, probabilités Gilbert Primet Lycée Kerichen 7 septembre 2014 Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 3 Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 3 Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n 4 Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec égalité ssi A = E Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 3 Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n 4 5 Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec égalité ssi A = E Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b. Card([|a, b|] = b − a + 1 . Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 3 Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n 4 5 Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec égalité ssi A = E Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b. Card([|a, b|] = b − a + 1 . 6 Si A est un ensemble fini, et si f est une bijection de A dans B, alors B est finie et card(A) = card(B) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Ensembles finis 1 Cardinal d’un ensemble fini : |A|, #A, Card(A) 2 card(∅) = 0 3 Si n ∈ N∗ , alors card([|1, n|] = n 4 5 Si A ⊂ E , où E est fini, alors A est fini, et #A 6 #E , avec égalité ssi A = E Soit (a, b) ∈ Z2 , a 6 b. Card([|a, b|] = b − a + 1 . 6 Si A est un ensemble fini, et si f est une bijection de A dans B, alors B est finie et card(A) = card(B) 7 Soient A et B deux ensembles finis de même cardinal et f : A → B. Alors : f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) 2 Cas général : Si A et B sont des ensembles finis : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) 2 Cas général : Si A et B sont des ensembles finis : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) 3 Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors : n X card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) = card(Ai ) i=1 Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) 2 Cas général : Si A et B sont des ensembles finis : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) 3 Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors : n X card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) = card(Ai ) i=1 4 Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors : Card({E A) = Card(E ) − Card(A) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) 2 Cas général : Si A et B sont des ensembles finis : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) 3 Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors : n X card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) = card(Ai ) i=1 4 Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors : Card({E A) = Card(E ) − Card(A) 5 Produit cartésien. Si A et B sont des ensembles finis, alors A × B est fini et Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Opérations sur les cardinaux 1 Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est finie et : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) 2 Cas général : Si A et B sont des ensembles finis : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) 3 Si A1 , · · · , An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors : n X card(A1 ∪ A1 · · · ∪ An ) = card(Ai ) i=1 4 Complémentaire. Si A ⊂ E (E fini), alors : Card({E A) = Card(E ) − Card(A) 5 Produit cartésien. Si A et B sont des ensembles finis, alors A × B est fini et Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties 1 Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est fini et Card(B A ) = Card(B)Card(A) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties 1 2 Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est fini et Card(B A ) = Card(B)Card(A) Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, avec p = card(A) 6 n = card(B), l’ensemble des injections de A dans B est fini et son cardinal vaut : n(n − 1) · · · (n − p + 1) = Gilbert Primet n! (n − p)! Dénombrement, probabilités Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini, cardinal de l’ensemble des parties 1 2 Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, alors B A est fini et Card(B A ) = Card(B)Card(A) Théorème : Si A et B sont des ensembles finis, avec p = card(A) 6 n = card(B), l’ensemble des injections de A dans B est fini et son cardinal vaut : n(n − 1) · · · (n − p + 1) = 3 n! (n − p)! Théorème Si A est fini, alors ℘(A) est fini et Card(℘(A)) = 2Card(A) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Listes et combinaisons 1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal n Théorème : ce nombre est n(n − 1) · · · n − p + 1 = Gilbert Primet n! (n − p)! Dénombrement, probabilités Listes et combinaisons 1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal n Théorème : ce nombre est n(n − 1) · · · n − p + 1 = 2 n! (n − p)! Permutations d’un ensemble de cardinal n : il y a n! permutations. Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Listes et combinaisons 1 Nombre de p-listes d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal n Théorème : ce nombre est n(n − 1) · · · n − p + 1 = n! (n − p)! 2 Permutations d’un ensemble de cardinal n : il y a n! permutations. 3 Parties à p éléments d’un ensemble de cardinal n :Il y en a n n! = p!(n − p)! p Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Propriétés de coefficients combinatoires n n 1 0 = n =1 Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Propriétés de coefficients combinatoires n n 1 0 = n =1 2 Si 1 6 p < n : n n n−1 = + p p−1 p−1 Application : triangle de Pascal. Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Propriétés de coefficients combinatoires n n 1 0 = n =1 2 Si 1 6 p < n : n n n−1 = + p p−1 p−1 Application : triangle de Pascal. 3 Si 0 6 p 6 n : n n = p n−p Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Propriétés de coefficients combinatoires n n 1 0 = n =1 2 Si 1 6 p < n : n n n−1 = + p p−1 p−1 Application : triangle de Pascal. 3 4 Si 0 6 p 6 n : n n = p n−p Si 0 < p < n : n n n−1 = p p−1 p . (Très utile pour le calcul de sommes) Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Démonstration. Ces formules peuvent se montrer par calcul direct ou par dénombrement. Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Formule du binôme : Si (a, b) ∈ C2 et n ∈ N : n X n k n−k (a + b) = a b k n k=0 . Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Démonstration. 1 Démonstration par récurrence en utilisant la formule de Pascal. Gilbert Primet Dénombrement, probabilités Démonstration. 1 Démonstration par récurrence en utilisant la formule de Pascal. 2 Démonstration par dénombrement Lorsque l’on développe (a + b)n , on obtient une somme de termes de la forme ak b n−k . Le nombre de fois qu’apparaı̂t un tel terme est le nombre de façons de choisir k parenthèses parmi n, d’où le résultat. Gilbert Primet Dénombrement, probabilités