Algèbre 3 – PROPRIETES DES ENTIERS – – DENOMBREMENT –

Algèbre – chap 3 1/5
Algèbre 3
– PROPRIETES DES ENTIERS –
– DENOMBREMENT –
1. ARITHMETIQUE DANS N
1.1 Propriétés fondamentales
Théorème 1 : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Théorème 2 : Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.
Notation : L’ensemble de tous les entiers naturels compris entre les entiers p et q (p ; q )
se note : p; q .
1.2 Divisibilité
a, b et c désignent des entiers relatifs.
Définition 1 : On dit que b divise a ou que a est divisible par b s’il existe un entier k tel que
a = b k. On note b | a. Si b divise a, on dit que b est un diviseur de a, et que a est un multiple
de b.
Propriétés :
•
Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0.
•
Si b | a , alors – b | a.
•
Si b | a et si a ≠ 0, alors | b | ≤ | a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un
entier est fini.
•
Si a | b et b | a , alors | a | = | b |.
•
Si a | b et b | c , alors a | c (la relation de divisibilité est transitive).
•
Si a | b et a | c, alors a | (ub + vc) où u et v désignent des entiers tels que ub+vc ≠ 0
(on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c).
On a en particulier que a | (b + c) et a | (b – c) .
•
Si a | b, alors pour tout entier c, ac | bc.
Notation : Pour tout entier a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs positifs de a.
Définition 2 : On appelle plus grand commun diviseur des entiers a et de b le plus grand
élément de D(a) ∩ D(b). On le note PGCD(a ; b) ou a ∧ b .
Définition 3 : On appelle plus petit multiple commun des entiers a et b le plus petit multiple
strictement positif commun à a et b. On le note PPCM(a ; b) ou a ∨ b
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Algèbre – chap 3 2/5
1.3 Nombres premiers
Définition 4 : On dit qu’un entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers.
Théorème 3 : Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique sous la
forme n = p1α p2 α p3α ...pi α , où p1, p2, p3, …, pi sont des nombres premiers deux à deux
distincts, et α1 , α 2 , α3 ,..., αi des entiers naturels non nuls.
1
2
3
i
Définition 5 : Cette écriture s’appelle décomposition de l’entier n en produit de facteurs
premiers.
1.4 Division euclidienne
Théorème 4 : Pour (a ; b) ∈ ℕ × ℕ* , il existe un unique couple ( q ; r ) ∈ ℕ × ℕ tel que
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
Définition 6 : On dit que l’on effectue la division euclidienne de a par b lorsque l’on
détermine ce couple (q ; r). a s’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient, et r le reste.
Remarque : Dire que b divise a revient à dire que r = 0 dans la division euclidienne de a par b.
Application :
Dans la division euclidienne par 2, les restes possibles sont 0 et 1 (car 0 ≤ r < 2 ). Tout entier
s’écrit donc sous une des formes : 2q (ce sont les entiers pairs), ou 2q + 1 (les entiers
impairs).
De même la division euclidienne par 3 donne que tout entier peut s’écrire sous la forme 3q ou
3q +1 ou 3q + 2.
Proposition 1 : Pour (a ; b) ∈ ℕ 2 tels que 0 < b < a, D(a) ∩ D(b) = D(b) ∩ D(r) où r est le
reste de la division euclidienne de a par b.
1.5 Algorithme d’Euclide
Pour déterminer PCGD(a ; b) (quand b ne divise pas a), on effectue la division euclidienne de
a par b, puis celle de b par le reste r0 de la division précédente, puis celle de r0 par le reste r1
de la dernière division euclidienne effectuée, et ainsi de suite.
On note rn le reste de la (n+1)ème division euclidienne effectuée.
Pour tout n > 0 tel que rn -1 ≠ 0, on a 0 ≤ rn < rn -1. La suite (rn) va donc s’annuler à partir
d’un certain rang n0 + 1.
On a : D(a) ∩ D(b) = D(b) ∩ D(r0 ) = ... = D ( rn ) ∩ D ( rn +1 ) = D ( rn ) ∩ D(0) = D ( rn ) .
0
rn0
0
0
0
étant le plus grand élément de D ( rn ) , PCGD(a ; b) = rn (dernier reste non nul).
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0
0
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Algèbre – chap 3 3/5
Exemple : Recherche de PGCD(4095 ; 440)
4095 = 440 × 9 + 135
440 = 135 × 3 + 35
135 = 35 × 3 + 30
35 = 30 × 1 + 5
PGCD(4095 ; 440) = 5
30 = 5 × 6 + 0
2. DENOMBREMENT
2.1 Ensembles finis
Définition 7 : On dit qu’un ensemble E est fini, de cardinal nSN* s’il est en bijection avec
1; n . On note Card(E) = n.
Par convention, l’ensemble vide est de cardinal 0
Proposition 2 : Si B est une partie d’un ensemble fini A, alors B est un ensemble fini et
Card(B) ≤ Card(A). Il y a égalité si et seulement si A = B.
Proposition 3 : Si ( A i )i∈1;n est une famille d’ensembles finis, alors A = A 1 × A 2 × ... × A n est
un ensemble fini et Card(A) = Card ( A1 ) × Card ( A 2 ) × ... × Card ( A n )
Proposition 4 : Si A et B sont deux ensembles finis, alors AUB est un ensemble fini et
Card ( A ∪ B ) = Card ( A ) + Card ( B ) − Card ( A ∩ B )
Proposition 5 : Pour tout ensemble fini E, l’ensemble des parties de E, P(E), est fini et
card(P(E)) = 2card(E) .
Proposition 6 : Soient A et B deux ensembles finis de cardinaux n et p respectivement.
Le nombre d’applications de A dans B est pn.
Proposition 7 : Soient A et B deux ensembles finis de même cardinal, et f une application
entre A et B. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i)
f est bijective
(ii)
f est injective
(iii) f est surjective
2.2 Permutation
On note Fn = 1; n avec n∈ ℕ *. p désigne un entier naturel inférieur ou égal à n.
Définition 8 : On appelle permutation de Fn toute bijection de Fn dans Fn.
Notation : On note σn l’ensemble des permutations de Fn.
Remarque : card (σn ) = n!
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Algèbre – chap 3 4/5
2.3 Arrangement
Définition 9 : On appelle arrangement de p éléments de Fn (p ≤ n) tout p-uplet (x1, x2, ..., xp)
d’éléments de Fn. Leur nombre est noté A pn .
Remarques :
(i) La donnée d’un arrangement de p éléments de Fn revient à la donnée d’une
application injective de Fp dans Fn. Plus précisément, il y a bijection entre les applications
injectives de Fp dans Fn et l’ensemble des arrangements de p éléments de Fn .
(ii)
A1n = n
et
A nn = n!
Exemple : (2 ; 1 ; 4) et (1 ; 2 ; 4) sont des arrangements de 3 éléments de F4.
Proposition 8 : ∀(n ; p)∈ N*× N ,
p ≤ n A pn =
n!
=
( n − p )!
n
∏ (k)
k = n − p +1
2.4 Combinaison
Définition 10 : On appelle combinaison de p éléments de Fn (p ≤ n) toute partie de p
n
éléments distincts de Fn. Leur nombre est noté   .
p
Proposition 9 : ∀(n ; p)∈ N*× N ,
n
n!
p≤n , =
 p  p !( n − p)!
n n
Remarque :   =   = 1
0 n
Propriétés :
•
n  n 
 =
.
 p n − p
•
 n   n − 1  n − 1 
Formule de Pascal :   = 
+
.
 p   p   p − 1
n
Remarque : La formule de Pascal permet de calculer les nombres   de proche en proche
p
p
n
Ils sont donnés dans le tableau ci-contre,
appelé triangle de Pascal.
0
1
2
3
4
...
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0
1
1
1
1
1
1
2
3
+1
+ 2 +1
+ 3 + 3 +1
4
6
4
4
...
1
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Algèbre – chap 3 5/5
Proposition 10 : Formule du binôme ( de Newton ) .
n
n
K( a; b)∈ ℂ2 , on a : ( a + b )n = ∑   a k b n −k .
k =0  k 
Corollaire :
∀n∈N* ,
n
n
∑
 =2
k =0  k 
n
n
∑ (−1)
et
k
k =0
n
  = 0.
k
2.5 Application en trigonométrie
2.5.1 Développement de cos(nx) et sin(nx)
En appliquant la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton, on obtient :
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x))n =
n
n 
∑ k cos
n −k
(x) i k sin k (x) .
k =0
Par identification des parties réelles et des parties imaginaires on obtient :
cos(nx) =
n
(−1) k   cos n−2k (x) sin 2k (x)

2k 
0≤2k ≤n
sin(nx) =
 n  n−2k−1
 cos
(−1) k 
(x) sin 2k +1 (x)


2k
+
1


0≤2k +1≤n
∑
∑
2.5.2 Linéarisation de cosnx, sinnx et cosnx sinpx
En appliquant la formule d’Euler et la formule du binôme de Newton, on obtient :
n
1

1
cosn x =  (eix + e−ix ) = n
2

n
1

1
sinn x =  (eix − e−ix ) =
n
 2i

(2i)
2
n
n 
∑ k e
( 2k −n )ix
k =0
n
n 
∑ k(−1)
n −k
e (2k −n )ix
k =0
Les termes de chaque somme se regroupent pour donner une somme de cosinus ou de sinus en
utilisant les formules d’Euler.
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