1) Racines carrées d`un nombre positif

Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3éme
Classe :
Chapitre : N4
Titre : RACINES CARREES.
1) Racines carrées d’un nombre positif
1.1) Utilisation de la calculatrice
Pour calculer correctement une racine carrée avec une calculatrice, il est impératif de placer correctement les parenthèses.
 Exemple :
9+16 = 5
on tape
( 9 + 16 )
10+5 = 2,23 on tape
10-5
( ( 10 + 5 )  ( 10 – 5 ) )
1.2) Définition d’une racine carrée
 Définition : Soit A un nombre positif. On appelle « racine carrée de A »,
 Exemple :
4 est la « racine carrée de 16 » car : 4² = 16
9 est la « racine carrée de 81 » car : 9² = 81
 Autres cas : 0 = 0 car 0² = 0
1 = 1 car 1² = 1
le nombre positif A tel que : ( A)² = A
-5 n’existe pas : aucun nombre négatif n’admet une racine.
12² = 144 = 12 : tout nombre au carré est sa propre racine
 Formules :
Pour tout nombre positif A,
( A)² = A et
A² = A
 Vocabulaire : le symbole .... s’appelle « radical » ou « racine »
2) Formules de calcul des racines carrées d’un nombre positif
 Addition
: Il n’existe aucune formule d’addition de 2 racines
 Soustraction
: Il n’existe aucune formule de soustraction de 2 racines
 Exemple :
25 + 49 = 74 = 8,60 (juste)
ALORS QUE
25 + 49  25+ 49
49 – 25 = 24 = 4,89 (juste)
ALORS QUE
49 – 25  49 - 25
 Multiplication :
 Division
(faux)
Il existe 2 formules pour la multiplication des racines
Pour tout nombre positif A, B
 Exemple :
(faux)
40 =
AB= A B
et
AB² = B A
410 = 2²10 = 2² 10 = 2 10 = 6,32
: Il existe 2 formules pour la division des racines
Pour tout nombre positif A, B (B non nul)
 Exemple :
80 =
5
80 =
5
165 =
5
A
=
B
16 5 = 16 = 5
5
A
B
et
1
1
=
A
A
Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Simplification des calculs de racines
3.1) Simplifier un radical
 Pour simplifier un radical au maximum, on utilise la formule
de nombres au carrés sous le radical.
 Exemple : 75 =
AB² = B A en formant le plus possible
325 = 35² = 5 3
3.2) Simplifier une somme de racines
 Pour simplifier une somme au maximum, on utilise la formule AB² = B A en formant le plus possible
de nombres au carrés sous le radical et en les regroupant entre eux.
 Exemple : 75+ 42- 12 = 325+ 316- 43 =
35²+ 34²- 32²
= 5 3 + 4 3 - 2 3 = (5+4-2) 3 = 7 3
3.3) Simplifier une fraction comportant des racines
 Simplifier une fraction comportant des racines, signifie « supprimer » les radicaux du dénominateur de
manière à ce que celui ci devienne entier.
 On utilise la technique de la « quantité conjuguée »
 1er cas : si on a une forme A ¨on multiplie par B
B
B
 Exemple :
6 = 6 
3
3
 2ème cas : si on a une forme
 Exemple :
A ¨on multiplie par B- C
B+ C
B- C
2 = 2  1- 3 =
2(1- 3)
= 2-2 3 = 2-2 3 = -1+ 3
–2
1+ 3
1+ 3 1- 3
(1+ 3)(1- 3)
1²-( 3)²
 3ème cas : si on a une forme
 Exemple :
3 = 6 3 = 6 3 =2 3
3
3
( 3)²
A ¨on multiplie par B+ C
B- C
B+ C
2 = 2  1+ 3 =
2(1+ 3)
= 2+2 3 = 2+2 3 = -1- 3
-2
1- 3
1- 3 1+ 3
(1- 3)(1+ 3)
1²-( 3)²
4) Développer et réduire une expression avec des racines carrées
 Principe général :
 Rappel formules :
on utilise les mêmes formules que pour le développement du calcul littéral
(distributivité, identités remarquables, etc .......)
(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD
(A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + 2AB + B²
(A - B)² = (A - B)(A - B) = A² - 2AB + B²
(A + B)  (A - B)
= A² - B²
 Exemple 1 : (2+ 3)² = 2² + 22 3 + ( 3)² = 4 + 4 3 + 3 = 7 + 4 3
 Exemple 2 : (2- 3)² = 2² - 22 3 + ( 3)² = 4 - 4 3 + 3 = 7 - 4 3
 Exemple 3 : (2- 3)(2+ 3) = 2² - ( 3)² = 4 - 3 = 1