GÉOMÉTRIE PLANE Pour démarrer I Vocabulaire de la géométrie • Droite, demi-droite, segment Droite Figure Demi-droite Bⴙ (d) A A ⴙ (AB) ou (d) Notations Bⴙ Segment B x A [AB) ou [Ax) [AB] • Angle x A O Notations B O y ∧ AOB ∧ xOy ∧ ∧ La mesure de l’angle xAy est : xAy ⫽ 30°. y 90 30 0 180 II x A Calcul numérique • Suite d’opérations Pour calculer 2(5 ⫹ 3) ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺ 10, on effectue dans l’ordre : 햲 les calculs entre parenthèses : 2 ⫻ 8 ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺ 10 햳 les multiplications et les divisions : 16 ⫹ 4 ⫺ 10 햴 les additions et les soustractions : 20 ⫺ 10 ⫽ 10 Remarque : on peut aussi effectuer CALCULATRICE la suite de calculs directement avec 2 ⫻ ( 5 ⫹ 3 ) ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺ 10 EXE ➡ 10 sa calculatrice : • Carré d’un nombre L’aire de la surface carrée ci-contre, en cm2, est le « carré » de 3, noté 3 ⫻ 3 ⫽ 9 ou 32 ⫽ 9. 3 x2 EXE ➡ 9 3 cm • Racine carrée d’un nombre La « racine carrée » de 36, notée 36 , est le nombre 6 car 62 ⫽ 36. CALCULATRICE 3 cm x2 6 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. 36 CALCULATRICE 36 EXE ➡ 6 91 QCM Activité 1 GÉOMÉTRIE PLANE Pour chaque ligne, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). REPONSES 1 Dans la figure suivante, on a … A B C la droite (EG) les points alignés E, F, G le segment [EG] parallèles perpendiculaires sécantes G F E 2 Les droites (d) et (d′) sont … (d) (d') 3 Pour tracer une perpendiculaire à la droite (d), passant par le point A, l’équerre et la règle sont correctement placées sur la figure … Aⴙ Aⴙ Aⴙ (d) (d) (d) ∧ ABC ∧ BCA ∧ ACB 75° 105° 115° 6 (5 ⫹ 5) ⫻ 5 ⫹ 5 est égal à … 7 55 100 7 5 ⫹ 5 ⫻ 5 ⫺ 5 est égal à … 0 25 45 8 5 ⫻ 5 ⫹ 5 ⫼ 5 est égal à … 6 10 26 9 Le carré de 5 est … 25 2⫻5 52 10 Si on tape sur une calculatrice 72 288 12 4 L’angle ci-contre est noté … A C B ∧ 5 La mesure de l’angle xOy est … x 100 90 80 70 110 60 90 100 11 50 0 12 70 80 01 60 30 50 120 40 30 0 14 O 10 0 20 170 180 160 150 180 170 1 60 150 0 10 2 14 0 3 0 0 40 0 13 y 144 EXE le nombre affiché est … 92 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 08 ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE OBJECTIFS • Tracer la parallèle, la perpendiculaire à une droite passant par un point • Construire la médiatrice d’un segment • Déterminer la mesure d’un angle • Construire la bissectrice d’un angle Activité 1 Mesurer la longueur d’un segment Thomas Rue Ge ès èli eM re CIN ÉM A Pa u on ale Ru t.eS rel Place Charles De Gaulle Bernard rot ide e – avec la méthode de Bernard : eA Ma lbe rt ur ice Th ore z ............................................................... ............................................................... ed es Ch ats Ru et Ru mes Ru eG ach 100 m a. Déterminer la longueur de chaque parcours : Ru Ru eD Ru des Da eC ant ag Chemin Église SainteGeneviève le Ru Rue du Rue du Général Leclerc ati ton Ga eB .K ea la l Place des Héros de Ru eN Ru ue eJ en ean Ma cé orges V Ru Av Bernard et Thomas consultent le plan de la ville pour savoir qui habite le plus près du cinéma. Bernard utilise une règle graduée et fait des additions ; Thomas utilise un compas et une demi-droite tracée sur une feuille de papier. Square des Oiseaux ............................................................... – avec la méthode de Thomas : ......................................................................... ......................................................................... b. Qui habite le plus près du cinéma ? 0 A 1 2 ................................ Retenir MESURE DE LA LONGUEUR D’UN SEGMENT La longueur du segment [AB] se note AB. Ici AB ⫽ 3 cm. L’unité légale de longueur est le mètre (symbole : m). Dans la pratique, on utilise d’autres unités de longueur. Dans le tableau de conversion, on écrit un seul chiffre par unité et on complète les colonnes avec des zéros. 3 B kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre dm cm mm 0 5 0 km hm dam m 7 3 5 0 0 centimètre millimètre Exemples : 7,35 km ⫽ 7 350 m ; 50 mm ⫽ 0,05 m. Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. 93 08 ACTIVITÉS ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE Activité 2 Tracer une parallèle et une perpendiculaire Une boule de billard part d’un coin et suit la direction de la flèche. Quand elle touche le bord, elle rebondit et sa nouvelle trajectoire est perpendiculaire à la précédente. La boule rebondit à nouveau sur le bord, sa trajectoire est alors parallèle à la direction de la flèche. a. Tracer la trajectoire de la boule dans les deux dessins ci-dessous : � Avec le quadrillage � Avec la règle et l’équerre Trou Boule Trou b. La boule rebondit comme précédemment ; tracer la trajectoire de la boule jusqu’à ce qu’elle termine sa course dans un trou. Combien de fois la boule a-t-elle rebondi ? ......................................................................... Retenir POSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES I (d) (d′) Les droites (d) et (d′) sont sécantes au point I. 94 (d′) (d) angle droit (d) (d′) Les droites (d et d′) sont parallèles ; on écrit (d) // (d′). Les droites (d) et (d′) sont perpendiculaires ; on écrit (d)⬜(d′). Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. ACTIVITÉS ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE 08 Activité 3 Mesurer des angles avec un rapporteur Dans une course au trésor, un navigateur dispose d’un tableau indiquant les différentes étapes entre des îles. Pour chaque étape, la direction à suivre est indiquée par le cap qui est l’angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport au Nord de la boussole et par la distance à parcourir. a. Dessiner sur la carte le trajet du navigateur en reportant pour chaque étape : – l’angle par rapport au Nord de la boussole ; – la distance représentée par un segment sachant que sur la carte 1 cm représente 10 milles en réalité. NORD Île déserte ⴛ Navigateur ⴛ ⴛ Île fantôme Étape Cap Distance 1 70° 50 milles 2 120° 60 milles 3 250° 60 milles Île sauvage ⴛ b. Compléter la dernière colonne du tableau. Île c. Sur quelle île se trouve le trésor ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Retenir RECONNAÎTRE DES ANGLES 90° 180° Un angle droit Un angle plat Un angle aigu : sa mesure est plus petite que 90° 65° 25° 25° ⫹ 65° ⫽ 90° Les deux angles sont complémentaires Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. 110° 70° Un angle obtus : sa mesure est plus grande que 90° 70° ⫹ 110° ⫽ 180° Les deux angles sont supplémentaires 95 08 ACTIVITÉS ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE Activité 4 Construire un bon cerf-volant Sébastien a fabriqué trois cerfs-volants à l’aide de deux baguettes AB et CD en rotin. 햲 A C M 햳 A B C C 햴 M M A B B D D D a. Lequel de ces cerfs-volants est parfait pour voler ? ......................................................................... b. Dans ce cas : – mesurer AM et MB puis les comparer ; ......................................................................... ......................................................................... – quelle est la position du point M sur le segment [AB] ? ......................................................................... – quelle est la mesure de l’angle formé par les baguettes AB et CD ? ......................................................................... Retenir MÉDIATRICE - BISSECTRICE Le milieu d’un segment [AB] est le point du segment situé à égale distance de ses extrémités A et B. La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu du segment et perpendiculaire au segment. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. 96 M A B On a MA ⫽ MB médiatrice A M B M : milieu du segment [AB] bissectrice Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. Méthode 08 ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE Construction à la règle et au compas 1 Pour tracer la médiatrice (d) d’un segment [AB] MISE EN DESSIN même ouverture de compas A A (d) B B médiatrice ∧ 2 Pour reporter un angle xOy de même mesure MISE EN DESSIN même ouverture de compas � même ouverture de compas � n � � � y � O m A m A ∧ x ∧ les angles xOy et mAn ont même mesure ∧ 3 Pour tracer la bissectrice [Oz) d’un angle xOy MISE EN DESSIN y y O O x y O x Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. même ouverture de compas z x bissectrice 97 08 Exercices ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE JE SAIS 4 Reconnaître des angles On considère les angles ci-dessous. 1 Comparer des segments � � On considère les deux lignes brisées ci-dessous. � A � E B � � F � G a) Comparer les angles à l’œil nu, puis avec un compas ; associer chaque angle à sa mesure : H C Mesures D 30° 45° 90° 120° 180° Numéro de l’angle I b) Contrôler la mesure de chaque angle avec le rapporteur. À l’aide d’un compas, comparer leur longueur. Quelle ligne brisée est la plus longue : la � ou la � ? 5 Mesurer des angles 2 Reconnaître des droites parallèles et des droites perpendiculaires Les angles ci-dessous ont été tracés avec Cabri-géomètre. Observer la figure et compléter avec les signes // ou ⊥ : B B M L A D A K T C C E (ML) … (AC) ; (AB) … (BC) ; (ML) … (LT) ; (MB) … (KL) ; (AK) … (ML) ; (MA) … (KL) ; (KL) … (LC) ; (KT) … (TL). 3 Nommer un angle Une plaque de métal a la forme d’un hexagone. a) Nommer chacun des angles colorés sur la figure ci-contre. b) Colorier en bleu ∧ l’angle ELA , en vert ∧ l’angle QPL . 98 P b) Indiquer les angles complémentaires et les angles supplémentaires. L E a) Mesurer les angles avec un rapporteur et compléter : ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ A ⫽…;B ⫽…;C ⫽…;D⫽…;E ⫽…. A 6 Tracer une parallèle et une perpendiculaire a) Placer trois points A, B et C non alignés, tracer la droite (AB). U Q b) Avec une règle et une équerre : – tracer la droite (d1) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB) ; – tracer la droite (d2) passant par C et parallèle à la droite (AB). Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. EXERCICES ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE 11 Construire un triangle 7 Reconnaître une perpendiculaire, une médiatrice, une bissectrice Observer les figures suivantes réalisées avec Cabrigéomètre. B B Figure � A Figure � A C Figure � B A C B Dans chaque cas, tracer en grandeur réelle le triangle LAC : • LA ⫽ 7 cm, LC ⫽ 5 cm et AC ⫽ 11 cm ; ∧ • CL ⫽ 6 cm, CA ⫽ 8 cm et LCA ⫽ 30° ; ∧ ∧ • LA ⫽ 5 cm, LAC ⫽ 40° et ALC ⫽ 60°. 12 Calculer des angles Dans chaque cas, trouver x en degrés. 햳 햲 x 135° x 30° C A Figure � C Dans quelles figures a-t-on tracé une perpendiculaire ? une médiatrice ? une bissectrice ? 8 Tracer un segment et sa médiatrice a) Tracer un segment [AB] mesurant 4,6 cm et construire sa médiatrice avec un compas (voir fiche méthode page 97). 햴 a) Avec un rapporteur, tracer un angle mesurant 50°, puis tracer sa bissectrice. b) Tracer un angle de 130°, puis avec une règle et un compas, construire sa bissectrice (voir fiche méthode page 97). J’APPLIQUE 10 Conversions 45 m ⫽ 0,045 . . . . . . . . 150 mm ⫽ 1,5 . . . . . . . . 34 dam ⫽ 340 . . . . . . . . 83 500 m ⫽ 83,5 . . . . . . . . Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit. 2x 햵 Les tracés suivants peuvent s’effectuer sur une feuille de papier avec une règle et un compas ou avec un logiciel de géométrie (Cabri-géomètre, par exemple). B A 9 Tracer une bissectrice x x 2x 3x 13 Droites remarquables du triangle b) Placer deux points M et N sur la médiatrice. Comparer au compas la longueur des segments [MA] et [MB], puis des segments [NA] et [NB]. Compléter : 2,5 m ⫽ . . . . . . . . cm 83,5 km ⫽ . . . . . . . . m 120 mm ⫽ . . . . . . . . cm 430 cm ⫽ . . . . . . . . m 08 C a) Médiatrices du triangle • Tracer un triangle ABC assez grand avec des angles ∧ ∧ ∧ A , B et C aigus. • Construire la médiatrice des côtés [AB], [BC] et [AC]. • Que remarque-t-on ? • Placer le point O qui semble commun aux trois médiatrices. • Tracer le cercle de centre O passant par les points A, B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC. b) Bissectrices du triangle • Tracer un triangle EDF assez grand. ∧ ∧ ∧ • Construire la bissectrice des angles E , D et F . Que remarque-t-on ? • Placer le point O qui semble commun aux trois bissectrices. • Tracer le cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle EDF : c’est le cercle inscrit au triangle EDF. 99 08 EXERCICES ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE 14 Logo du Futuroscope Voici le Pavillon du Futuroscope. 15 Pièce de métal (d’après CAP) Une pièce a la forme donnée ci-dessous : A B O C F E D Données : AE ⫽ EF ⫽ 5 m ; AB ⫽ 8 m ; (OCD) est un quart de disque de rayon 2 m. a) Calculer, en mètres, les longueurs de BC et ED. Construire un logo en respectant le programme suivant : • Tracer une demi-droite horizontale [Ax), le point A étant situé à gauche. • Placer le point B sur [Ax) tel que AB ⫽ 12 cm. • Placer sur le segment [AB] les points E et F tels que AE ⫽ 7,4 cm et AF ⫽ 8,3 cm. • Tracer la droite (d1) passant par B et perpendiculaire à la droite (AB). • Placer le point C sur la droite (d1) tel que BC ⫽ 6,2 cm ; C est situé au-dessus de la droite (AB). Tracer le segment [AC]. • Tracer les droites (d2) et (d3) passant respectivement par les points F et E et parallèles à la droite (d1). • Placer le point O sur la droite (d2) tel que FO ⫽ 5,3 cm ; O est situé du même côté que le point C. • Placer le point O′ sur la droite (d3) tel que EO′ ⫽ 6,2 cm ; O′ est situé du même côté que le point C. • Tracer le cercle de centre O et de rayon 3,3 cm, puis le cercle de centre O′ de rayon 1,3 cm. • Colorier chaque partie de la figure avec des couleurs différentes. 100 b) Construire à la règle et au compas la médiatrice du segment [AF]. Laisser les traits de construction apparents. 16 Parallèle et perpendiculaire a) Tracer un triangle ABC tel que AC = 8 cm, ∧ AB = 5,5 cm et BAC = 40°. ∧ b) Tracer la bissectrice de l’angle BAC : elle coupe [BC] en I. Placer le point I. c) Tracer la perpendiculaire à la droite (AI) passant par B : elle coupe (AI) en J. Placer le point J. d) Tracer la perpendiculaire à la droite (AI) passant par C : elle coupe (AI) en K. Placer le point K. e) Compléter avec « // » ou « ⊥ » : (BJ) … (AI) ➡ (BJ) … (CK) (CK) … (AI) f) Compléter la propriété : Lorsque deux droites sont …………………………………………… à une même troisième droite, alors ces deux droites sont …………………………………………… . Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit.