TD n˚9 - Énergie électromagnétique - Matériaux

TD no 9 - Énergie électromagnétique
Physique
TD n˚9 - Énergie électromagnétique Matériaux conducteurs
1 Conductivité complexe dans le modèle de Drude
En adoptant
le modèle
de la conduction de Drude dans un métal soumis à un champ électromagnétique
[→
[−
−]
−
→
→ i(ωt) ]
E = Re E = Re E 0 e
montrer qu’on peut définir une conductivité complexe :
σ=
σ0
1 + iωτ
avec
σ0 =
n∗ e2 τ
m
−
→
v
où n∗ est le nombre volumique d’électrons libres et où τ est défini par l’intermédiaire de la force −m
τ
exercée par le réseau sur les électrons de conduction.
2 Champ électromagnétique
On considère le champ électrique suivant, régnant
dans une partie de l’espace vide de charges et de courants :
→
−
→
→
E (M, t) = E0 cos(ωt + kz)−
u x + E0 sin(ωt + kz)−
uy
avec k =
√
ϵ0 µ0 ω.
1. Montrer qu’un champ électrique régnant dans une zone vide de charges et de courants doit nécessairement vérifier la relation suivante :
−
→
∂2 E
→
−−
→
∆ E = ϵ0 µ0 2
∂t
Vérifier la compatibilité de l’expression du champ proposé avec cette relation.
2. Vérifier la compatibilité du champ proposé avec l’équation de Maxwell-Gauss.
3. Déterminer le champ magnétique associé. On pourra faire l’hypothèse qu’il n’y a pas de sources statiques.
4. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique.
5. Déterminer le vecteur de Poynting de ce champ électromagnétique.
6. Vérifier la conservation locale de l’énergie électromagnétique.
−
→
√
√
→
→
Réponses : 3. B (M, t) = + ϵ0 µ0 E0 sin(ωt + kz)−
u x − ϵ0 µ0 E0 cos(ωt + kz)−
u y.
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TD no 9 - Énergie électromagnétique
Physique
3 Étude énergétique d’une bobine
Un solénoïde "très long" comporte une densité linéïque de spires n, bobinées sur un cylindre de rayon a
→
et d’axe (O, −
e z ). Il est parcouru par un courant i variable au cours du temps. On rappelle ici qu’on peut
alors l’assimiler à un solénoïde infini, créant
magnétique :
{ un champ
→
µ0 ni(t)−
e z à l’intérieur du solénoïde
→
−
B (M, t) = →
−
0
à l’extérieur
−
→
1. On s’intéresse au champ E engendré.
a) Sachant que la source de champ électrique est la variation du champ magnétique, en déduire par
−
→
−
des considérations d’invariance et de symétrie que E = E(r, t)→
e θ.
b) En utilisant l’expression intégrale de l’équation de Maxwell-Faraday, déterminer l’expression de
→
−
E . Commentaires ?
2. Déterminer le vecteur de Poynting ainsi que la puissance rayonnée à travers une longueur ℓ du solénoïde.
3. Déterminer l’énergie magnétique Um stockée dans une longueur ℓ de solénoïde. En déduire l’expression
de l’inductance de la bobine.
4.
a) Rappeler la définition de l’ARQS.
b) Montrer que dans ce cadre, Um ≫ Ue , et en déduire la puissance fournie par le champ aux porteur
de charges.
−
→
Réponses : 1. E (M, t) =
{
→
di −
− r2 µ0 n dt
eθ
2
→
di −
− a2r µ0 n dt
eθ
si r < a
di
, 3. Um = 12 µ0 n2 i2 πa2 ℓ
, 2. Pray = −πa2 ℓµ0 n2 i dt
si r > a
4 Décharge d’un conducteur dans l’air
On constate expérimentalement qu’une boule conductrice de rayon R, uniformément chargée en surface et
abandonnée dans l’air avec une charge q0 se décharge. Pour interpréter ce phénomène, on suppose que l’air
est un milieu faiblement conducteur de conductivité γ, où la loi d’Ohm locale est vérifiée et où la densité de
charge ρ est nulle. On considère que la décharge s’effectue via un déplacement ordonné de charges quittant
−
→
→
radialement la boule : le vecteur densité de courant j est suivant −
e r . L’origine de l’espace
étant
prise au
(−
→ −
→)
centre la boule, on adopte des coordonnées sphériques de centre O. On cherche le champ E , B résultant
dans l’air entourant la sphère.
−
→
−
→ −
→
1. Quelles sont les sources de B ? A partir de considérations de symétrie, montrer que B = 0 .
−
→
−
→
→
2. Quelles sont les sources de E ? Montrer que E = E (r, t)−
e .
r
r
3. Déterminer Er (r, t) en fonction de q(t), ε0 et r.
4. Vérifier que les hypothèses sont compatibles avec les équations de Maxwell-Flux, Maxwell-Gauss et
Maxwell-Faraday.
5. En utilisant l’équation de Maxwell-Ampère, déterminer q(t).
−
→
−
→
6. Comment interpréter le fait que ρ = 0 mais j ̸= 0 ? Est-ce en accord avec l’équation locale de
conservation de la charge ?
7. Déterminer la puissance volumique dissipée dans l’air par effet Joule. En déduire la puissance dissipée
à l’instant t, puis l’énergie dissipée au cours de l’ensemble de la décharge.
8. Quelle est l’énergie rayonnée ? Est-ce en accord avec l’équation locale de conservation de l’énergie ?
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Physique
5 Chauffage par induction
Un solénoïde « infini » comportant n spires par unité de longueur, de rayon a, d’axe Oz, est parcouru par
le courant i(t) = i0 cosωt s’enroulant dans le sens trigonométrique autour de l’axe Oz.
En son centre O, on place un cylindre métallique de même axe, de longueur L ≫ a, de rayon b < a. On
note respectivement γ et µr la conductivité électrique et la perméabilité relative du cylindre.
1. A l’intérieur du cylindre métallique, justifier pourquoi l’équation de Maxwell-Ampère peut s’écrire
sous la même forme qu’en régime stationnaire.
En déduire sans démonstration l’expression du champ magnétique à l’intérieur du barreau. On précise
que dans un matériau magnétique, on doit remplacer la perméabilité relative du vide µ0 par le produit
µ0 µr , où µr est la perméabilité relative du milieu, qui est un nombre sans dimension égal à l’unité
pour le vide.
−
→
→
2. Montrer, en utilisant les symétries du problème, que le champ électrique s’écrit : E = Eθ (r, t)−
u θ.
−
→
3. En utilisant la circulation de E sur un contour que l’on précisera, on calculera l’expression du champ
→
−
E pour r < b.
4. En déduire les courants volumiques qui prennent naissance dans le cylindre en négligeant le champ
magnétique créé par les courants induits.
5. Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre. Expliquer pourquoi on parle
alors de chauffage par induction.
6. En vous inspirant de la situation envisagée dans cet exercice, proposer une explication du fonctionnement des plaques à induction utilisées comme plaques de cuisson. On s’aidera d’un schéma.
Sachant que µr (Al) ≃ 1 et µr (F e) ≃ 10 000, on expliquera en outre pourquoi les casseroles en
Aluminium ne sont pas compatibles avec les plaques à induction.
π
rωµ0 µr ni0
−
→
→
sinωt−
u θ , 5. ⟨PLor ⟩ = (µ0 µr ni0 )2 γω 2 b4 L.
Réponses : 3. E =
2
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