Rappels et compléments sur les fonctions :

Rappels et compléments sur les fonctions :
I Fonction et courbe représentative :
II Variations et extrema :
III Opérations sur les fonctions :
IV Composée de deux fonctions :
V Parité et périodicité :
VI Fonctions de référence :
VII Fonctions associées :
I Fonction et courbe représentative :
Définition :
Une fonction f définie sur une partie I de R est un procédé qui, à chaque nombre de I , associe un
nombre réel unique, appelé image de x par f et est noté f (x).
On appelle ensemble de définition d’une fonction f l’ensemble des valeurs pour lesquelles il est possible
de définir la fonction f .
On peut avoir une définition explicite de la fonction (avec une expression algébrique) ou implicite (fonction
définie à partir d’une courbe).
1
Exemple soit f (x) = p
. f (x) n’est définie que pour x strictement supérieur à 1. On dit que l’ensemble de
x −1
définition est : D f =]1 ; +∞[.
³
→
− →
−´
Soit un repère orthogonal O ; i ; j . Soit f une fonction définie sur I .
Définition :
On appelle courbe représentative de la fonction f sur I , l’ensemble des points M(x ; y) tels que : x ∈ I et
y = f (x).
Exemple f (x) = x 2 . La courbe est une parabole .
II Variations et extrema :
II.1 Variations :
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
On dit que f est croissante sur I lorsque les images par f de deux réels quelconques de I sont rangées
dans le même ordre que ces réels.
On dit que f est décroissante sur I lorsque les images par f de deux réels quelconques de I sont rangées
dans l’ordre contraire de ces réels.
Traduction :
f est croissante signifie : pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 É x2 , on a f (x1 ) É f (x2 ).
f est décroissante signifie : pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 É x2 , on a f (x1 ) Ê f (x2 ).
Une fonction est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.
Étudier les variations d’une fonction, c’est préciser les intervalles sur lesquels elle est monotone et préciser si elle
est croissante ou décroissante.
Étude des variations :
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Nous avons à ce stade essentiellement deux méthodes :
1. On utilise les relations portant sur les inégalités :
1
Exemple soit f (x) = 1 − définie sur R∗ =] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[.
x
Étudions cette fonction sur ]0 ; +∞[.
Soient deux réels x1 et x2 tels que 0 < x1 É x2 .
1
1
1
1
1
1
É
d’où − É − < 0 et en ajoutant 1 : 1− É 1− . Par conséquent,
Comme 0 < x1 É x2 , alors 0 <
x2 x1
x1
x2
x1
x2
0 < x1 É x2 donne f (x1 ) É f (x2 ).
La fonction est croissante sur ]0 ; +∞[. On montrerait de même qu’elle est croissante sur ] − ∞ ; 0[.
2. Méthode de la différence :
1
Exemple : f est la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x + . Étudions la sur ]0 ; +∞[.
x
Soient deux réels x1 et x2 quelconques tels que 0 < x1 É x2 .
Nous avons vu en Seconde que, pour comparer deux nombres,µon étudie¶ souvent le signe de leur différence.
1
1
1
x1 − x2
f (x2 ) − f (x1 ) = x2 + − x1 +
.
= x2 − x1 +
= (x2 − x1 ) 1 −
x2
x1
x1 x2
x1 x2
x2 − x1 Ê 0.
Si x1 Ê 1 et x2 Ê 1, alors (x1 x2 − 1) Ê 0 et f (x2 ) − f (x1 ) Ê 0.
Si 0 < x1 É 1 et 0 < x2 É 1, alors (x1 x2 − 1) É 0 et f (x2 ) − f (x1 ) É 0.
On en conclut que f est croissante sur [1 ; +∞[ et décroissante sur ]0 ; 1].
On voit que ce n’est pas toujours simple d’étudier les variations d’une fonction avec cette méthode (et encore,
les exemples choisis étaient simples !)
Nous verrons dans un autre chapitre une méthode beaucoup plus pratique.
II.2 Minimum et maximum d’une fonction :
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit x0 un point de I .
Lorsque f (x0 ) est la plus grande valeur de f sur I , c’est à dire si f (x0 ) Ê f (x) pour tout x de I , on dit que f admet
un maximum en x0 . Lorsque f (x0 ) est la plus petite valeur de f sur I , c’est à dire si f (x0 ) É f (x) pour tout x de I ,
on dit que f admet un minimum. en x0 .
Le plus souvent, l’étude des extremums (ou extrema) repose sur l’étude des variations.
1
Par exemple, en traçant le tableau de variation de la fonction f : x 7→ x + sur ]0 ; +∞[, on voit que la fonction f
x
admet un minimum en 1 et que cette valeur minimum est égale à 2.
Nous verrons dans un autre chapitre une méthode pour trouver les extrema.
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que :
1. f est majorée s’il existe un nombre réel M tel que f (x) É M pour tout x de I .
2. f est minorée s’il existe un nombre réel m tel que f (x) Ê m pour tout x de I .
3. f est bornée sur I si elle est à la fois minorée et majorée.
On dit alors que les réels M et m sont respectivement un majorant et un minorant.
Interprétation graphique :
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f est majorée si C f est au-dessous d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = M. f est minorée
si C f est au-dessus d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = m. f est bornée si C f est contenue
dans une bande parallèle à l’axe des abscisses.
x2
.
x +1
1
1
Pour tout x de [0 ; 1], 0 É x É 1 donc 1 É x +1 É 2 d’où É
É 1 et 0 É x 2 É 1. Par produit (ce sont des nombres
2 x +1
x2
É 1.
positifs), on a : 0 É
x +1
Sur [0 ; 1], f est minorée par 0 et majorée par 1.
Exemple Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) =
Notation : Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I . Si, pour tout x de I , on a f (x) É g (x),
on écrit plus simplement : f É g . De même, f Ê g signifie : pour tout x ∈ I , f (x) Ê g (x).
III Opération sur les fonctions :
Définition :
1. Deux fonctions f et g définies sur le même intervalle I sont égales si, pour tout x, de I , f (x) = g (x).
2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et soit λ un réel. On définit les fonctions
f + λ, f + g , f g et λ f par : ( f + λ)(x) = f (x) + λ, ( f + g )(x) = f (x) + g (x), ( f g )(x) = f (x) × g (x) et
(λ f )(x) = λ f (x) pour tout x de I .
µ ¶
f
f
f (x)
3. Si, pour tout x de I , g (x) 6= 0, on définit sur I par
.
(x) =
g
g
g (x)
Théorème sur les variations :
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I .
1. Si λ > 0, les fonctions f et λ f ont le même sens de variation sur I .
2. Si λ < 0, les fonctions f et λ f ont des sens de variation contraire sur I .
3. Si f et g sont croissantes sur I , alors f + g est croissante sur I .
4. Si f et g sont décroissantes sur I , alors f + g est décroissante sur I .
Démonstration :
1. Soient x1 et x2 dans I tels que x1 É x2 . Alors (λ f )(x2 ) − (λ f )(x1 ) = λ f (x2 − λ f (x1 )) = λ[ f (x2 ) − f (x1 )] qui a le
même signe que f (x2 ) − f (x1 ) puisque λ > 0.
2. démonstration identique
3. Soient x1 É x2 quelconques dans I . Puisque f et g sont croissantes,
¡ alors f (x2¢)−¡f (x1 ) Ê 0 et g ¢(x2 )− g (x1 ) Ê
0. Alors ( f +g )(x2 )−( f +g )(x1 ) = [ f (x2 )+g (x2 )]−[ f (x1 )+g (x2 )] = f (x2 ) − f (x1 ) + g (x2 ) − g (x1 ) Ê 0 (comme
somme de deux nombres positifs).
4. Démonstration identique
Remarque : on ne peut rien dire en général des variations des fonctions f g et
Exercices : page 29, no 5 - 6
Page 3/10
f
à partir de celles de f et g .
g
IV Composée de deux fonctions :
Définition :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I . Soit g une fonction définie sur un intervalle J tel que,
pour tout x de I , f (x) ∈ J . On appelle fonction composée des fonctions f et g , notée f ◦ g (« f rond g »)
la fonction définie sur I par : f ◦ g (x) = f (g (x)).
p
Exemples :Soit g la fonction définie sur R par g (x) = xp2 + 1 et soit f la fonction définie sur R+ par x. g (x)
appartient bien à R+ . Alors : pour tout x de R, f ◦ g (x) = x 2 + 1.
1
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 2
. Écrire h comme composée de deux fonctions.
x +1
Théorème :
1. Si f et g sont de même monotonie, f ◦ g est croissante.
2. Si f et g sont de monotonies différentes, alors f ◦ g est décroissante.
Exercices no 10 - 12-13
V Parité et périodicité
V.1 Parité :
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble de définition D f et soit C f sa courbe représentative.
½
−x ∈ D f
f est paire sur D f si, pour tout x de D f ,
f (−x) = f (x)
C f est alors symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple
f (x) =
2
x2 + 1
. f est définie sur R et pour tout x ∈ R, −x ∈ R et f (−x) = f (x).
Cf
→
−
j
O
→
−
i
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble de définition D f et soit C f sa courbe représentative.
½
−x ∈ D f
f est impaire sur D f si, pour tout x de D f ,
f (−x) = − f (x)
C f est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple
x3
; f est définie sur R ; pour tout x ∈ R, −x ∈ Ret f (−x) = − f (x).
f (x) =
8
Page 4/10
Cf
→
−
j
O
→
−
i
V.2 Périodicité :
Définition :
f est une fonction périodique de période T (T > 0) si, pour tout x de D f , x + T ∈ D f et f (x + T ) = f (x)
Conséquence : on trace la courbe sur un intervalle de longueur T et la courbe s’en déduit par des translations de
→
−
vecteur T i .
VI Fonctions de référence :
VI.1 Fonction affine : f (x) = ax + b
Elle est définie sur R.
a est le coefficient directeur ; b est l’ordonnée à l’origine.
Elle est croissante si a positif, décroissante si a est négatif, constante si a = 0.
Sa représentation graphique est la droite d’équation y = ax + b.
Rappel : si b = 0, on dit que la fonction est linéaire et la droite représentative passe alors par l’origine.
VI.2 Fonction carré : f (x) = x 2
Elle est définie sur R, paire, décroissante sur ] − ∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Sa courbe représentative est
une parabole, de sommet de coordonnée (0 ; 0).
→
−
j
O
→
−
i
Page 5/10
VI.3 Fonction inverse : f (x) =
1
x
Elle est définie sur R∗ , impaire, décroissante sur ] − ∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
→
−
j
O
→
−
i
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VI.4 Fonctions trigonométriques
Définition :
³
→
− →
−´
Soit M un point du cercle trigonométrique C et O ; i ; j un repère orthonormal. Notons x la mesure
→
− −−→
en radians de l’angle ( i ; OM). Alors, les coordonnées de M sont M(cos(x) ; sin(x)).
M
sin x
→
−
j
x
O
−
cos→
x
i
• La fonction cosinus et la fonction sinus sont définies sur R.
• La fonction cosinus est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que la fonction sinus est impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à
l’origine du repère.
• Elles sont périodiques de période 2π : pour tout x, cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x) (donc les
courbes entières se déduisent de la partie tracée sur l’intervalle [0 . 2π] par translations successives de
→
−
vecteur 2π i .
→
−
j
−
O→
i
π
2
π
3π
2
2π
sinus
cosinus
VII Fonctions associées :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , de courbe représentative C f .
1. Si g est définie par g (x) = f (x)+b, alors g est définie sur I et Cg s’obtient à partir de C f par une translation
→
−
de vecteur b j .
→
−
2. Si g est définie par g (x) = f (x − a), alors g est définie sur le translaté de I de vecteur a i et Cg s’obtient à
→
−
partir de C f par une translation de vecteur a i .
³
´
π
Exemple : Pour tout x, sin(x) = cos x −
(voir chapitre de trigonométrie) donc les deux fonctions sont
2
associées ; la courbe représentative de la fonction sin s’obtient à partir de celle de la fonction cos par une
→
−
π→
−
translation de vecteur i (c’est pour cela qu’on appelle les deux des sinusoïdes).
2
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→
−
3. Si g est définie par g (x) = f (x − a) + b, alors g est définie sur le translaté de I de vecteur a i et Cg s’obtient
→
−
→
−
à partir de C f par une translation de vecteur a i + b j .
4. Si g est définie par g (x) = − f (x), g a le même ensemble de définition et Cg est symétrique de C f par rapport
→
−
à l’axe des abscisses (O i ).
Illustrations graphiques :
1)
2)
→
−
2. i
→
−→−
1.jj
O
→
−
j
O
→
− Cg
i
→
−
i
→
−
1. j
→
−
2. i
Cf
Cf
g (x) = f (x − 2)
g (x) = f (x) + 1
3)
Cg
4)
Cg
→
−
j
O
→
−
j
O
→
− →
−
2. i + j
→
−
i
→
− →
−
2. i + j
Cf
→
−
i
Cf
Cg
g (x) = f (x − 2) + 1
g (x) = − f (x)
Exercices no 25 - 26 - 27 - 28 - 31 - 32
n 33 - 34 - 36 - 38
o
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VIII Centre de symétrie d’une courbe
(Exercice page 26).
Première méthode :
x2 + 3
Soit f la fonction définie sur R \ {−1} par f (x) =
; C est sa courbe représentative.
x +1
Montrer que C admet le point I (−1 ; −2) comme centre de symétrie On utilise la propriété suivante : C , courbe
représentative d’une fonction f , admet le point I (a; b) comme centre de symétrie si et seulement si, pour tout h
tel que a + h ∈ D , a − h ∈ D f et f (a + h) + f (a − h) = 2b (autrement dit, le symétrique de M point de la courbe par
rapport à I est aussi sur la courbe)
Seconde méthode : changement de repère :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − 9x 2 + 30x − 34. Montrons que I (3 ; 2) est centre de symétrie de la
courbe C f . Pour cela, on prend comme nouveau repère le repère centré en I et avec les mêmes vecteurs de base ;
la nouvelle½ fonction F associée à la courbe dans ce repère doit être une fonction impaire.
X = x −3
On pose :
d’où, pour x = 3 et y = 2, X = Y = 0.
Y = y −2
½
x = X +3
Par conséquent :
y = Y +2
3
On a y = f (x) = x − 9x 2 + 30x − 34 donc Y + 2 = (X + 3)3 − 9(X + 3)2 + 30(X + 3) − 34 = X 3 + 9X 2 + 27X + 27 − 9X 2 −
54X − 81 + 30X + 90 − 34 = X 3 + 3X + 2.
Par conséquent : Y = X 3 + 3X = F (X ) oùF est bien une fonction impaire.
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Courbes de fonctions associées :
1)
2)
→
−
2. i
→
−→−
1.jj
O
→
−
j
O
→
− Cg
i
→
−
i
→
−
1. j
→
−
2. i
Cf
Cf
g (x) = f (x) + 1
Cg
g (x) = f (x − 2)
4)
3)
Cg
→
−
j
O
→
−
j
O
→
− →
−
2. i + j
→
−
i
→
− →
−
2. i + j
Cf
→
−
i
Cf
Cg
g (x) = f (x − 2) + 1
g (x) = − f (x)
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