FONCTIONS I. DEFINITIONS D est une partie de l’ensemble des réels. Définir une fonction sur D, c’est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé l’image de x. D est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction : c’est l’ensemble des nombres pour lesquels la fonction existe. Exercice n°1: Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c’est celle d’une fonction et, dans ce cas, préciser son ensemble de définition. a) b) c) 1 1 1 0 1 0 1 0 1 d) e) f) 1 0 1 1 1 0 1 0 1 Remarque : Au niveau première, les seules fonctions qui ne sont pas définies sur sont les fonctions inverse et racine carrée : 1 f(X) = est définie pour X ≠ 0, soit sur ] – ; 0 [ ∪ ] 0 ; + [ X g(X) = X est définie pour X positif, soit sur [ 0 ; + [ Exercice n°2 : Dans chacun des cas suivants, donner l’ensemble de définition de f. 1 1 b) f(x) = + 3x c) f(x) = a) f(x) = 2x² + 1 2x x–1 1 x e) f(x) = f) f(x) = d) f(x) = 2 x + 1 (x – 4)(x + 1) (x – 1)² -2 x h) f(x) = g) f(x) = x² – 1 x² + 1 - 1/6 - Notations : • Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h … • L’image d’un réel x de D par la fonction f est noté f(x), on lit: « f de x ». • Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f(x) », on peut écrire : f : x f(x) . Exemple : f est la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; +∞ [ par f(x) = x – 2 x. L’ensemble de définition de cette fonction est [ 0 ; +∞ [ et pour calculer l’image d’un nombre de cet ensemble, on procède ainsi : • image de 0 : f(0) = 0 – 2 × 0 = 0 7 7 7 7 7 7 7 • image de : f = –2× = –2× = – 7. 4 4 4 2 4 4 4 Exercice n°3 : Déterminer, lorsque c’est possible, les images des nombres suivants par les fonction f (a, b, c) définies dans l’exercice précédent. 1 0 ; 1 ; ; – 2 ; –4 2 II. COURBE REPRESENTATIVE D’UNE FONCTION I. Définition f est une fonction définie sur D. Dans un repère (O, i , j ), la courbe représentative C de la fonction f, est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) telles que : x∈D et y = f(x). On dit que la courbe C a pour équation y = f(x) dans ce repère. Remarque : Dire qu’un point M de coordonnées (a ; b) appartient à C revient à dire a est dans D et f(a) = b Exemple : La courbe représentative C d’une fonction f définie sur a pour équation : y = x² – 2x + 3. M est le point de C d’abscisse –1. Quelle est son ordonnée ? Même question pour le point d’abscisse 2. - 2/6 - Exercice n°4 : Soit f, la fonction définie sur I = [-1 ; 2] par f(x) = x – x². Tracer la courbe C sur l’intervalle I. On souhaite tracer la courbe représentative Cf de f. Pour cela, on construit tout d’abord un tableau de valeurs : -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 x 2 -2 0,75 0 0,25 0 0,75 -2 x−x Puis l’on construit la courbe point par point : 1 0 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 II. Lecture graphique Recherche d’image : f est une fonction définie sur D, C est la représentation graphique de f, a est un élément de D. Si A est le point d’abscisse a, alors f(a) est l’ordonnée de A. Exemple : La courbe C ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [-2 ; 2]. Pour lire graphiquement l’image de -1,5 c’est à dire f(-1,5), on peut procéder ainsi : • on repère -1,5 sur l’axe des abscisses et on trace, par ce point, la parallèle à l’axe des ordonnées ; • cette droite rencontre C en A ; • on cherche ensuite l’ordonnée de A en traçant par ce point la parallèle à l’axe des abscisses. On obtient f(–1,5) = –1 Recherche d’antécédents : f est une fonction définie sur D, C est la représentation graphique de f, b est un nombre réel On trace les droite d horizontale d’ordonnée b 1er cas : d ne rencontre pas C : cela signifie que b n’a pas d’antécédent par f dans D 2ème cas : d rencontre C en A(a ; b), alors f(a) = b et a est un antécédent de b par f. Exemple : Reprenons la fonction précédente. Pour lire graphiquement les antécédents de 1 par f : • on repère 1 sur l’axe des ordonnées et on trace la droite d d’équation y = 1 ; • elle rencontre C en E et F dont les abscisses sont respectivement -1 et 1 Donc : -1 et 1 sont les antécédents de 1. (on peut noter f(−1) = 1et f(1) = 1) - 3/6 - Exercice n°5 : Soit f la fonction représentée ci-contre. 1. Donner l’ensemble de définition. 2. a) Lire l’image de 3 par f b) Liref(1) ; f(-4) ; f(-2) et f(5). c) Lire les antécédents de 7 par f. d) Résoudre f(x) = 0. 5 j O i -5 3 5 III. CROISSANCE DECROISSANCE f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b). Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b). Exemples : Les courbes C1 et C2 représentent respectivement des fonctions f et g définie sur [-2 ; 4]. • D’après l’allure de la courbe C1, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u ≤ v alors f(u) ≤ f(v). on dit que f est croissante sur [-2 ; 4] graphiquement : « La courbe monte ». f(v) f(u) -2 O u v 4 • D’après l’allure de la courbe C2, pour tous réels u et v de [-2 ; 4], si u ≤ v alors g(u) ≥ g(v). g est décroissante sur [-2 ; 4]. graphiquement : « la courbe descend ». IV. EXTREMUM f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I. • Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(a). • Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(a). Exemple : • Le minimum sur l’intervalle [-5 ; 6] de la fonction f • 3 représentée ci-contre est -2. Il est obtenu lorsque x = . 2 En effet, A est le point le plus « bas » de la courbe. Le maximum sur l’intervalle [-5 ; 6] est 4. Il est obtenu lorsque x = -3. En effet, B est le point le plus « haut » de la courbe. - 4/6 - B 4 3 3 2 -5 O -3 -2 6 A V. TABLEAU DE VARIATION Soit la fonction f définie sur [-5 ; 3] par sa courbe : 3 1 -4 3 -1 O -5 1 -1 Cette fonction est - décroissante sur [ –5 ; –4 ] et sur [ –1 ; 3 ]. - croissante sur [ –4 ; –1 ] ; On résume ainsi les informations dans un tableau de variations : x -5 f ( x) 4 -4 -1 3 -1 3 -1 Exercice n°6 : Dans chacun des cas, la fonction est donnée par sa courbe. Dresser son tableau de variation. a) b) c) - 5/6 - VI. FONCTIONS USUELLES Courbe représentative x f (x) = x² Df = 1 + f est décroissante sur ] – et croissante sur [ 0 ; + – O f (x) = 1 x 1 f est croissante sur f(x) x – 0 + 1 O Df = 1 O f est décroissante sur ] – et sur ] 0 ; + [ f(x) x 1 ;0] [ + 1 Df = Df = 0 Variations 1 x f (x) = x3 – f(x) O f (x) = x Tableau de variations 0 f(x) 1 - 6/6 - ;0[ + f est croissante sur [ 0 ; + [