cours fonctions

Fonctions
I – Rappels
1. Définitions :
Une fonction numérique f d’une variable réelle x est un processus qui à tout nombre
réel associe au plus un réel appelé image de x par la fonction f, noté f(x).
Souvent cette fonction est connue par le programme de calcul qui permet de calculer
l’image f(x) à partir le la variable x.
Ex : soit la fonction f telle que f(x) = 5x²+3x-2.
L’ensemble de définition d’une fonction f, noté Df, est l’ensemble des réels qui ont
une image par f (pour lesquels f est définie).
Cet ensemble peut être donné par le contexte ou par le programme de calcul.
ex : Si x est un nombre d’objet fabriqués Df = ℕ.
x+1 Df = [-1; +∞[.
Soit f : f(x) =
La représentation graphique Cf d’une fonction f dans un repère donné est l’ensemble
des points M (x ;f(x)) dans ce repère. Son équation est y =f(x).
2. Résolution graphique d’équations, d’inéquations :
Soit f et g deux fonctions, de représentation graphique respective Cf et Cg.
Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de
Cf et Cg.
Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de Cf qui sont
situés au dessus de Cg.
3. Fonctions de références :
f : x⟼x²
f est définie sur ℝ
Sa courbe représentative est
une parabole :
f : x↦ x 3
f est définie sur ℝ
f : x↦ x
f est définie sur ℝ
3y
y
y
2
3
2
C
C
1
1
2
y=x²
1
-1
0
1
2x
-1
0
1
2x
-1
-1
-2
-1
0
1
2 x
-2
-1
-2
1
1
x
f est définie sur ]-∞ ;0[∪]0; +∞[.
La courbe représentative est une hyperbole
f : x↦ x
f : x↦
f est définie sur [0; +∞[
3y
3y
2
C
2
1
C
1
-3
-1
0
1
2
3
4
-2
-1
x
0
1
2
x
-1
-1
-2
4. Sens de variation:
Une fonction f définie sur Df est croissante sur un intervalle I de Df , si pour tout
nombre réel a ∈ I et b ∈ I tels que a < b alors f(a) < f(b) ( les nombres et leurs images
sont rangés dans le même ordre ).
Une fonction f définie sur Df est décroissante sur un intervalle I de Df , si pour tout
nombre réel a ∈ I et b ∈ I tels que a < b alors f(a) > f(b) ( les nombres et leurs images
sont rangés dans un ordre différent ).
II – Fonctions associées :
Soit une fonction f définie sur Df et Cf sa représentation graphique dans un repère ( O ; Ԧı ; Ԧଌ) et
k un réel donné.
1. Fonction h : x ↦ f(x) + k
y
3
Théorème 1 :
Cf
La représentation graphique
Ch de la fonction h est l’image
de la représentation graphique
Cf de la fonction f par la
translation de vecteur k Ԧଌ
2
1
Ch
-1
0
1
2
3 x
-1
ici k = - 2
f et h ont le même sens de variation sur les mêmes intervalles
2
2. Fonction g : x ↦ f(x+k)
y
4
Théorème 2 :
3
La représentation graphique Cg
de la fonction g est l’image de la
représentation graphique Cf de
la fonction f par la translation
de vecteur – k Ԧı
Ch
Cf
2
1
-2
-1
0
1
2
3 x
-1
ici k =1
g et f ont le même sens de variation mais sur des intervalles décalés de – k.
Si f est croissante sur [a ; b] alors g est croissante sur [a – k ; b – k ].
IV – Opérations sur les fonctions :
1. Multiplication par un réel k :
Soit une fonction f définie sur Df et Cf sa représentation graphique dans un repère
( O ; Ԧı ; Ԧଌ) et k un réel donné.
On note g = kf la fonction : x ↦ k f(x)
y
y
4
4
3
3
Cg
-2
-1
Cg
Cf
Cf
2
2
1
1
0
1
2
3 x
-2
-1
-1
0
1
2
3 x
-1
ici k =2
ici k = 0,5
y
Cas particulier : k = - 1 :
Cf
2
La courbe Cg est la symétrique
de la courbe Cf par rapport
à l’axe des abscisses
1
-2
-1
0
1
2
3 x
-1
Cg
-2
-3
3
2. Valeur absolue d’une fonction :
Soit une fonction f définie sur Df et Cf sa représentation graphique dans un repère
( O ; Ԧı ; Ԧଌ)
y
g = f est la fonction : x ↦ f(x)
Cg est toujours au dessus de l’axe des
2
abscisses.
Cg
On garde les points de Cf d’ordonnée
1
positive.
On remplace les points de Cf
-2
-1
0
1
2
3 x
d’ordonnée négative par leurs
Cf
-1
symétriques par rapport à l’axe des
abscisses
3. Somme de deux fonctions :
Soit f et g deux fonctions définies sur le même ensemble, Cf et Cg leurs représentations
graphiques.
▪ Notation
La somme des deux fonctions notée
f+g est la fonction h : x ↦f(x)+g(x)
Cg
3
▪ Représentation graphique
L’ordonnée du point M de la courbe
Ch d’abscisse x est obtenue en faisant
la somme des ordonnées de points de
Cf et Cg d’abscisse x.
▪ Sens de variation
Si les fonctions f et g sont croissantes
sur un même intervalle, f+g est
croissante sur cet intervalle.
Si les fonctions f et g sont
décroissantes sur un même intervalle,
f+g est décroissante sur cet
intervalle.
V – Fonction composée :
y
4
2
Ch
1
-2
-1
0
1
2
3 x
-1
-2
Cf
-3
1. Définition :
Soit une fonction f définie sur Df à valeur dans J c’est à dire que pour tout x ☻ I, f(x)☻J
et g une fonction définie sur J, on appelle h la fonction de f suivie de g telle que :
x ↦h(x)=g(f(x)
x
f
f(x) = y
y
g(y)
g
x
h(x) = g(f(x))
h=g∘f
2. Sens de variation :
Si f et g ont le même sens de variation
la fonction composée est croissante.
Si f et g n’ont pas le même sens de
variation la fonction composée est
décroissante
4