Séries de Fourier - MP Fénelon, mathématiques

Séries
Quatrième partie
Séries de Fourier
1
Séries trigonométriques
P
Définition. On appelle série trigonométrique toute série d’applications
fn pour
laquelle il existe deux suites de complexes (an )n∈N et (bn )n∈N∗ telles que, pour n = 0,
a0
f : R −→ C
f0 est constante et égale à , et pour n ≥ 1, n
.
t 7−→ an cos(nt) + bn sin(nt)
2
Par abus de notations, une telle série trigonométrique sera notée
(R)
a0 X
+
(an cos(nt) + bn sin(nt)).
2
n≥1
Propriété. Une série d’applications est une série trigonométrique si et seulement si
elle est de la forme
X
c
+
(cn eint + c−n e−int ),
0
(C)
n≥1
ou (cn )n∈Z est une famille de complexes.
La formule (R) est appelée la notation réelle d’une série trigonométrique et la formule
(C) est appelée la notation complexe. On passe d’une écriture à l’autre à l’aide des
formules suivantes :
∀n ∈ N
∀n ∈ N
an − ibn
,
2
an = cn + c−n ,
cn =
an + ibn
,
2
bn = i(cn − c−n ),
c−n =
en convenant que b0 = 0.
Démonstration.
a0 X
• Considérons la série trigonométrique
+
(an cos(nt) + bn sin(nt)).
2
n≥1
an − ibn int an + ibn −int
e +
e
.
Soient n ≥ 1 et t ∈ R. an cos(nt) + bn sin(nt) =
2
2
an − ibn
an + ibn
Ainsi, en posant cn =
et c−n =
,
2
2
1
Séries
2 Coefficients de Fourier
on a ∀n ∈ N∗ ∀t ∈ R an cos(nt) + bn sin(nt) = cn eint + c−n e−int .
a0
. Ainsi la série trigonométrique s’écrit aussi
De plus, pour n = 0, on posera c0 =
2
X
c0 +
(cn eint + c−n e−int ).
n≥1
• Réciproquement,
considérons une série d’applications de la forme
X
int
c0 +
(cn e + c−n e−int ).
n≥1
Soient n ≥ 1 et t ∈ R.
cn eint + c−n e−int = (cn + c−n ) cos(nt) + i(cn − c−n ) sin(nt).
On parvient donc à conclure en posant a0 = 2c0 .
2
Coefficients de Fourier
Notation. C2π désigne l’ensemble des applications continues et 2π-périodiques de R
dans C.
pm
On notera C2π
l’ensemble des applications continues par morceaux et 2π-périodiques
de R dans C.
pm
Propriété. C2π
et C2π sont des C-espaces vectoriels .
Notation. Pour toute la suite du chapitre 2), on fixe une application f .
pm
Sauf indication du contraire, on suppose que f ∈ C2π
.
Z
Définition.X
Soit (cn )X
n∈Z ∈ C . On dit que la famille (cn ) est sommable si et seulement
si les séries
cn et
c−n sont absolument convergentes.
+∞
+∞
X
X
X
Dans ce cas, on note
cn =
cn +
c−n .
n∈Z
n=0
n=1
pm
∈ C2π
Remarque. Informellement, si f
est une application développable en série
Z
trigonométrique,
X c’est-à-dire s’il existe une famille (cn )n∈Z ∈ C telle que, pour tout
t ∈ R, f (t) =
cn eint , alors, pour tout q ∈ Z, (sans chercher à justifier l’interversion)
n∈Z
Z 2π
X 1 Z 2π
X
1
−iqt
f (t)e dt =
cn
ei(n−q)t dt =
cn δn,q = cq , donc, toujours infor2π 0
2π 0
n∈Z
n∈Z
mellement), si l’on veut développer une application 2π-périodique sousZ la forme d’une
2π
X
1
somme de série trigométrique t 7−→
cn eint , on doit prendre cn =
f (t)e−int dt.
2π
0
n∈Z
Définition. On appelle coefficients (exponentiels) de Fourier de f les
Z 2π
1
f (t)e−int dt,
cn (f ) =
2π 0
où n ∈ Z, et coefficients (trigonométriques) de Fourier de f les
Z
Z
1 2π
1 2π
an (f ) =
f (t) cos(nt)dt et bn (f ) =
f (t) sin(nt)dt,
π 0
π 0
c
Eric
Merle
2
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Séries
2 Coefficients de Fourier
où n ∈ N.
Remarque. f étant 2π-périodique, on peut remplacer dans les formules précédentes
les intégrales entre 0 et 2π par les intégrales des mêmes fonctions sur un intervalle
quelconque de longueur 2π.
Notation. Pour tout n ∈ Z, on notera parfois f˙(n) = cn (f ).
On note f˙ = (f˙(n))n∈Z .
pm
F : C2π
−→ CZ
Propriété. L’application
est une application linéaire.
g 7−→ ġ
Z π
1
|f (t)|dt ,
Propriété. La suite f˙ est bornée, et, en notant kf k1 = 2π
−π
kf˙k∞ ≤ kf k1 .
Démonstration.
Laissée en exercice.
Remarque. Dans la propriété précédente, kf k1 est une notation, mais k.k1 n’est pas
pm
une norme sur C2π
.
Z π
1
Propriété. Pour tout n ∈ Z, cn (f ) =
f (t)eint dt = c−n (f ).
2π −π
En particulier, si f est à valeurs réelles, pour tout n ∈ Z, cn (f ) = c−n (f ).
Propriété. Pour toutZ n ∈ Z,
Z π
π
1
1
−int
cn (t 7−→ f (−t)) =
f (−t)e
dt =
f (u)einu du = c−n (f ).
2π −π
2π −π
En particulier, si f est paire, pour tout n ∈ Z, cn (f ) = c−n (f ),
et si f est impaire, pour tout n ∈ Z, cn (f ) = −c−n (f ).
Effet d’une
Pour tout n ∈ Z,
Z π translation. Soit a ∈ZR.π+a
1
1
cn (t 7−→ f (t + a)) =
f (t + a)e−int dt =
f (u)e−in(u−a) du = eina cn (f ).
2π −π
2π −π+a
Propriété. On dispose des relations suivantes :
an (f ) − ibn (f )
an (f ) + ibn (f )
∀n ∈ N
cn (f ) =
,
c−n (f ) =
,
2
2
∀n ∈ N
an (f ) = cn (f ) + c−n (f ),
bn (f ) = i(cn (f ) − c−n (f )),
Propriété.
Propriété.
2
Si f est paire, pour tout n ∈ N, an (f ) =
π
Z
Si f est impaire, pour tout n ∈ N, bn (f ) =
π
f (t) cos(nt)dt et bn (f ) = 0.
0Z
2
π
π
f (t) sin(nt)dt et an (f ) = 0.
0
Lemme de Riemann-Lebesgue. Soient (a, b) ∈ R2 avec a < b et f : [a, b] −→ C
une application continue par morceaux. Alors
Z b
f (t)eint dt −→ 0.
n→+∞
a
c
Eric
Merle
3
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Séries
2 Coefficients de Fourier
Démonstration.
Au tableau
Remarque.
La démonstration précédente montre également que
Z b
f (t)eiλt dt −→ 0.
a
λ→+∞
λ∈R
Corollaire. Les suites (cn (f ))n∈N , (c−n (f ))n∈N , (an (f ))n∈N , et (bn (f ))n∈N convergent
vers 0.
Démonstration.
Soit n ∈ N. Z
2π
1
c−n (f ) =
f (t)eint −→ 0 d’après le lemme de Riemann-Lebesgue.
n→+∞
2πZ 0
2π
1
cn (f ) =
f (t)eint −→ 0, donc cn (f ) −→ 0.
n→+∞
n→+∞
2π 0
an (f ) = cn (f ) + c−n (f ) −→ 0 et bn (f ) = i(cn (f ) − c−n (f )) −→ 0.
n→+∞
n→+∞
Propriété. On suppose que f est continue sur R, et de classe C 1 par morceaux. Alors
∀n ∈ Z cn (f ′ ) = incn (f ).
1
En particulier, cn (f ) = o( ) lorsque n tend vers ±∞.
n
Démonstration.
Soit n ∈ Z.
R 2π ′
1
−int
cn (f ′ ) = 2π
dt
0 f (t)e
R 2π
1
−int
= 2π
[f (t)e−int ]2π
f
(t)ine
dt
+
0
0
= incn (f ).
Cette intégration par parties est licite car les applications f et t 7−→ e−int sont continues
sur [0, 2π] et sont de classe C 1 par morceaux.
Corollaire. Soit k ∈ N∗ . On suppose que
f est de classe C k−1 sur R, et de classe C k par morceaux. Alors
∀n ∈ Z cn (f (k) ) = (in)k cn (f ).
En particulier, cn (f ) = o(
1
) .
nk
Démonstration.
Par récurrence sur k.
Remarque. A la fin du calcul des coefficients de Fourier d’une application, il est bon
de vérifier que le résultat obtenu a un ordre de grandeur qui est en accord avec ce
corollaire.
c
Eric
Merle
4
MP Fénelon
Séries
3 Point de vue hermitien
Remarque. On peut établir des formules analogues pour les coefficients de Fourier
trigonométriques.
Définition. On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique suivante :
X
a0 (f ) X
+
(an (f ) cos(nt) + bn (f ) sin(nt)) = c0 (f ) +
(cn (f )eint + c−n (f )e−int ).
2
n≥1
n≥1
Lorsque
∀t ∈ D
f (t) = c0 (f ) +
+∞
X
(cn (f )eint + c−n (f )e−int ),
n=1
où D est un domaine inclus dans R, on dit que f est développable en série de Fourier
sur D.
Remarque. Le théorème de Dirichlet que l’on énoncera plus loin montre que si f est
suffisamment régulière, elle est développable en série de Fourier sur R.
Notation. Pour p ∈ N et t ∈ R, on note Sp (f )(t) =
ème
p
X
cn (f )eint . On l’appelle la
n=−p
p
somme partielle de la série de Fourier de f .
La série de Fourier de f converge en t si et seulement si, à t fixé, la suite (Sp (f )(t))p∈N
admet une limite, et dans ce cas, cette limite est égale à la somme de la série de Fourier
de f en t.
3
Point de vue hermitien
< ., . >:
2
C2π
−→ C
Z 2π
1
est un espace
f (t)g(t)dt
(f, g) 7−→ < f, g >=
2π 0
préhilbertien complexe. On notera k.k la norme hermitienne associée.
C2π , muni de
Notation. Pour p ∈ Z, posons
ep : R −→ C
.
t 7−→ eipt
Propriété. (ep )p∈Z est une famille orthonormale de C2π .
Démonstration.
Z 2π
1
2
ei(q−p)t dt = δp,q .
Soit (p, q) ∈ Z . < ep , eq >=
2π 0
Propriété. Pour tout f ∈ C2π et tout p ∈ Z, cp (f ) =< ep , f >.
Notation. Pour p ∈ N, posons
e′′ : R −→ R
e′p : R −→ R
.
et p
t −
7 → sin(pt)
t 7−→ cos(pt)
Propriété. La réunion des familles (e′p )p∈N et (e′′p )p∈N∗ est une famille libre et orthogonale de C2π .
c
Eric
Merle
5
MP Fénelon
Séries
3 Point de vue hermitien
Démonstration.
Les vecteurs de cette famille étant tous non nuls, il suffit d’établir que cette famille est
orthogonale.
⋄ Soit (p, q) ∈ NZ2 avec p 6= q.
Z 2π
2π
1
1
′
′
cos(pt) cos(qt)dt =
(cos((p + q)t) + cos((p − q)t))dt, or
< ep , eq >=
2π 0
4π 0
h
1 sin((p + q)t) sin((p − q)t) i2π
′
′
p + q ≥ 1 et p − q 6= 0, donc < ep , eq >=
+
= 0.
4π
p+q
p−q
0
∗2
avec p 6= q.
⋄ Soit (p, q) ∈ NZ
Z 2π
2π
1
1
′′ ′′
sin(pt) sin(qt)dt =
(cos((p − q)t) − cos((p + q)t))dt, or
< ep , eq >=
2π 0
4π 0
1 h sin((p − q)t) sin((p + q)t) i2π
p + q ≥ 1 et p − q 6= 0, donc < e′′p , e′′q >=
−
= 0.
4π
p−q
p+q
0
∗
⋄ Soit (p, q) ∈ N
Z 2π× N.
Z 2π
1
1
′′ ′
sin(pt) cos(qt)dt =
(sin((p + q)t) + sin((p − q)t))dt.
< ep , eq >=
2π 0
4π 0
1 h − cos((p + q)t) cos((p − q)t) i2π
Si p 6= q, alors < e′′p , e′q >=
−
= 0.
4π
p+q
p−q
0
1 h − cos((p + q)t) i2π
Enfin, si p = q, < e′′p , e′q >=
= 0.
4π
p+q
0
∗
⋄ Cependant, cette famille n’est pas orthonormale.
√ En effet, si p ∈ N ,
Z 2π
1
1
1 + cos(2pt)
2
ke′p k2 =
dt = , donc ke′p k =
pour p ≥ 1 et ke0 k = 1.
2π 0
2
2
2
√
2
∗
′′
De plus, on calcule que, pour tout p ∈ N , kep k =
.
2
Notation. On pose P = V ect(ep )p∈Z = V ect {e′p /p ∈ N} ∪ {e′′p /p ∈ N∗ } .
Les éléments de P sont appelés les polynômes trigonométriques.
Pour N ∈ N, on pose PN = V ect(ep )−N ≤p≤N
= V ect(e′0 , . . . , e′N , e′′1 , . . . , e′′N )
N
X
={
cp ep /(cp )−N ≤p≤N ∈ C2N +1 }.
p=−N
Les éléments de PN sont appelés les polynômes trigonométriques de degré inférieur ou
+∞
[
égal à N . On a P =
PN .
N =0
Propriété. Soit N ∈ N et f ∈ C2π .
La projection orthogonale de f sur PN est
pN (f ) : R −→ C
t 7−→ c0 (f ) +
N
X
(cn (f )eint + c−n (f )e−int ) = SN (f )(t).
n=1
En particulier,
parmi les polynômes trigonométriques de degré inférieur à N ,
SN (f ) est le plus proche de f (au sens de la norme hermitienne),
c
Eric
Merle
6
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3 Point de vue hermitien
et c’est le seul. On sait alors que
kf k2 = kSN (f )k2 + d(f, PN )2 .
On dispose aussi de l’inégalité de Bessel :
N
X
n=−N
|cn (f )|2 ≤ kf k2 .
Démonstration.
En effet, pN (f ) =
N
X
< ep , f > ep =
p=−N
N
X
cp (f )ep .
p=−N
Corollaire. Si f ∈ C2π , la famille (cn (f ))n∈Z est de carré sommable.
Ainsi, c’est un élément de l2 (Z).
Démonstration.
C’est une conséquence de l’inégalité de Bessel.
Second théorème de Stone-Weierstrass. Si f ∈ C2π , il existe une suite (fn )n∈N de
polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f sur R.
Démonstration.
• Soit n ∈ N. On appelle noyau de Dirichlet d’ordre n l’application
Dn : R −→ C
t 7−→ Dn (t) =
Soit t ∈ R \ 2πZ. Dn (t) = e
−int
2n
X
e
ikt
=e
−int 1
k=0
it(n+ 21 ) sin( 2n+1 t)
e
2
Donc Dn (t) = e−int
.
it
sin( 2t )
e2
Ainsi, (1) ∀t ∈ R sin( 2n+1
t) = Dn (t) sin( 2t ).
2
c
Eric
Merle
7
n
X
eikt .
k=−n
− e(2n+1)it
, car eit 6= 1.
it
1−e
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3 Point de vue hermitien
60
y
50
40
Tracé de Dn avec n = 30
30
20
10
x
−3
−2
−1
1
2
−10
n
X
ikt0
n Z
X
π
• Soient t0 ∈ R et n ∈ N. 2πSn (f )(t0 ) =
2πck (f )e
=
f (t)eik(t0 −t) dt,
k=−n
k=−n −π
Z π
ainsi 2πSn (f )(t0 ) =
f (t)Dn (t0 − t)dt. Posons t = t0 − u, ce qui est possible car
−π
u 7−→ t0 − u estZ une application de classe C 1 strictement monotone. On obtient
t0 −π
2πSn (f )(t0 ) =
f (t0 − u)Dn (u)(−du), mais f et Dn sont 2π-périodiques, donc
t0 +π
(2) 2πSn (f )(t0 ) =
Z
π
−π
f (t0 − u)Dn (u)du.
C’est en référence à cette formule que Dn est appelé un noyau.
• Soit n ∈ N. On appelle noyau de Fejér d’ordre n l’application
Fn : R −→ C
n
t 7−→ Fn (t) =
1 X
Dk (t).
n + 1 k=0
Soit t ∈ R \ 2πZ. D’après la formule (1),
c
Eric
Merle
8
MP Fénelon
Séries
n
X
2k + 1
1
sin
t = Im
Fn (t) =
2
(n + 1) sin 2t k=0
it(n+1)
1
i 2t 1 − e
e
= Im
it
1−
(n + 1) sin 2t
e 

t
= Im  (n+1)1 sin t ei 2 e
2
sin
2
n+1
t
2
it n+1
2
sin
t
n+1
t
2
sin
ei 2
3 Point de vue hermitien
!
n
X
2k+1
1
ei 2 t
(n + 1) sin 2t k=0
t
2

.
(n + 1) sin2 2t
• Soit α ∈]0, π[. Notons Iα = [−π, π] \ [−α, α].
1
Soit n ∈ N. Pour tout t ∈ Iα , |Fn (t)| ≤
,
(n + 1) sin2 α2
1
CVU
−→ 0, ce qui montre que Fn −→ 0.
donc sup |Fn (t)| ≤
2 α n→+∞
Iα
(n
+
1)
sin
t∈Iα
2
n→+∞
=
n
1 X
Sk (f ). Ainsi, σn (f ) est la moyenne de
• Pour tout n ∈ N, posons σn (f ) =
n + 1 k=0
Césaro de la suite des sommes partielles de la série de Fourier de f .
CVU
Nous allons montrer que σn (f ) −→ f , ce qui prouve le théorème, car, pour tout
R
n→+∞
n ∈ N, σn (f ) ∈ P.
• Soient n ∈ ZN et t ∈ [−π, π]. D’après la formule (2),
π
2πσn (f )(t) =
−π
f (t − u)Fn (u)du.
Pour l’application constamment égale à 1, que l’on note encore 1, cette dernière formule
Z π
n
1 X
Fn (u)du = 2πσn ( 1)(t0 ). Or, σn ( 1) =
montre que
Sk ( 1), et Sk ( 1) = 1
n + 1 k=0
−π
n
1 X
1= 1
car Sk ( 1) est la projection de 1 sur Pk et 1 ∈ Pk . Ainsi, σn ( 1) =
n + 1 k=0
Z π
et
Fn (u)du = 2π. Ainsi,
−π
Z π
Z π
2π|σn (f )(t) − f (t)| = |f (t − u) − f (t)|Fn (u)du.
(f (t − u) − f (t))Fn (u)du ≤
−π
−π
c
Eric
Merle
9
MP Fénelon
Séries
3 Point de vue hermitien
30
y
25
20
Tracé de Fn avec n = 30
15
10
5
x
−3
−2
−1
1
2
• Fixons α ∈]0, π[ et découpons cette intégrale selon les intervalles [−π, −α], [−α, α]
et [α, π]. f étant supposée continue sur [−π, π], elle est bornée, donc il existe M > 0
tel que, pour tout u ∈Z [−π, π], |f (u)| ≤ M
Z . Ainsi,
Z
−α
2π|σn (f )(t)−f (t)| ≤
π
2M Fn (u)du+
−π
α
2M Fn (u)du+
α
−α
|f (t−u)−f (t)|Fn (u)du.
Soit ε > 0. f est continue, donc d’après le théorème de Heine, elle est uniformément
continue sur le compact [−π, π]. Ainsi, il existe α ∈]0, π[ tel que, pour tout (x, y) ∈
ε
[−π, π]2 vérifiant |x − y| ≤ α, |f (x) − f (y)| ≤ .
2
Soit t ∈ [−π, π]. D’après les inégalités ci-dessus,
Z α
ε
2π|σn (f )(t) − f (t)| ≤ 4M π sup Fn (u) +
Fn (u)du.
u∈Iα
−α 2
CVU
Or Fn −→ 0, donc il existe N ∈ N, tel que,
Iα
n→+∞
ε
. Soit n ≥ N .
4M
Z
ε
ε π
Pour tout t ∈ [−π, π], 2π|σn (f )(t) − f (t)| ≤ 4M π
+
Fn (u)du ≤ 2πε.
4M
2 −π
pour tout (n, u) ∈ N × Iα , si n ≥ N , Fn (u) ≤
Remarque. Les deux premiers points de cette démonstration restent valables lorsque
pm
f ∈ C2π
. Ceci servira pour la démonstration du théorème de Dirichlet.
Théorème. P est dense dans C2π (pour la norme hermitienne).
c
Eric
Merle
10
MP Fénelon
Séries
3 Point de vue hermitien
Démonstration.
La convergence uniforme implique la convergence en moyenne quadratique sur
l’intervalle borné [−π, π].
Corollaire. ∀f ∈ C2π
k.k
SN (f ) −→ f .
N →+∞
Démonstration.
Soit f ∈ C2π .
• Soit N ∈ N. d(pN (f ), f ) = min{d(g, f )/g ∈ PN }, or
{d(g, f )/g ∈ PN } ⊆ {d(g, f )/g ∈ PN +1 }, donc d(pN (f ), f ) ≥ d(pN +1 (f ), f ). Ainsi la
suite (d(pN (f ), f ))N ∈N est une suite décroissante minorée par 0. Elle converge donc
vers l = inf d(pN (f ), f ) ≥ 0.
N ∈N
k.k
• P étant dense dans C2π , il existe une suite (fn ) ∈ P N telle que fn −→ f .
n→+∞
Soit n ∈ N. Il existe N ∈ N tel que fn ∈ PN . Ainsi d(fn , f ) ≥ d(pN (f ), f ) ≥ l ≥ 0.
Donc ∀n ∈ N d(fn , f ) ≥ l ≥ 0. D’après le théorème des gendarmes, l = 0.
Formule de Parseval.
Soit f ∈ C2π . Alors
1
|cn (f )| =
2π
n∈Z
X
2
Z
2π
0
|f (t)|2 dt.
Démonstration.
Soit N ∈ N∗ .
N
X
2
|c0 (f )| +
(|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ) = kpN (f )k2 −→ kf k2 .
N →+∞
n=1
Ecriture réelle de la formule de Parseval.
|a0 (f )|2 X |an (f )|2 + |bn (f )|2
+
converge et
Soit f ∈ C2π . Alors la série
4
2
n≥1
+∞
1
|a0 (f )|2 X |an (f )|2 + |bn (f )|2
+
=
4
2
2π
n=1
Z
2π
0
|f (t)|2 dt.
Démonstration.
|a0 (f )|2
a0 (f )
, donc |c0 (f )|2 =
.
c0 (f ) =
2∗
4
Soit n ∈ N .
an (f ) − ibn (f ) 2 an (f ) + ibn (f ) 2
2
2
|cn (f )| + |c−n (f )| = +
2
2
(an (f ) − ibn (f ))(an (f ) − ibn (f ))
=
4
(an (f ) + ibn (f ))(an (f ) + ibn (f ))
+
4
|an (f )|2 + |bn (f )|2
=
.
2
c
Eric
Merle
11
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Séries
3 Point de vue hermitien
F : C2π −→
f 7−→
est injective et elle conserve le produit scalaire.
Ainsi, si f ∈ C2π vérifie ∀n ∈ Z cn (f ) = 0, alors f
2
et, pour tout (f, g) ∈ C2π
,
Propriété. L’application linéaire
1
cn (f )cn (g) =
2π
n∈Z
X
Z
l2 (Z)
conserve la norme, donc elle
f˙
= 0,
2π
f (t)g(t)dt.
0
Démonstration.
• On rappelle que l2 (Z) est un espace préhilbertien complexe lorsqu’on le munit de
< ., . >:
(l2 (Z))2 −→ X
C
cn d n .
((cn )n∈Z , (dn )n∈Z ) 7−→
n∈Z
La norme hermitienne associée est
k.k2 :
l2 (Z) −→ R
sX
(cn )n∈Z 7−→
|cn |2 .
n∈Z
D’après la formule de Parseval, pour tout f ∈ C2π , kf˙k2 = kf k, ce qui prouve la
conservation de la norme.
2
• D’après une identité de polarisation, si (f, g) ∈ C2π
,
4 < f, g > = kf + gk − kf − gk + ikg + if k − ikg − if k
= kf˙ + ġk2 − kf˙ − ġk2 + ikġ + if˙k2 − ikġ − if˙k2
= 4 < f˙, ġ >,
ce qui prouve la conservation du produit scalaire.
Propriété. (Admise) Si f : R −→ C est une application 2π-périodique et continue
par morceaux, les propriétés suivantes restent Zvalables.
2π
|Sn (f ) − f |2 −→ 0,
n→+∞
Z 2π
X
1
2
⋄ P arseval. (cn (f ))n∈Z est de carré sommable et
|cn (f )| =
|f (t)|2 dt,
2π
0
n∈Z
Z 2π
X
1
cn (f )cn (g) =
f (t)g(t)dt.
⋄ C onservation du produit scalaire.
2π
0
n∈Z
Cependant il est possible que tous ses coefficients de Fourier soient nuls sans que f = 0.
⋄ C onvergence en moyenne quadratique.
0
Exemple. Soit f : R −→ R l’unique application 2π-périodique telle que
∀t ∈] − π, π[ f (t) = t et f (π) = 0.
f étant impaire, pour tout n ∈ N, an (f ) = 0.
∗
Soit n ∈ NZ
. En intégrant par parties,
π
Z π
2 π
2
2 −t cos(nt)
2
bn (f ) =
+
t sin(nt)dt =
cos(nt)dt = (−1)n+1 .
π 0
π
n
πn 0
n
0
c
Eric
Merle
12
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Séries
4 Théorèmes de Dirichlet
f est 2π-périodique et continue par morceaux. On peut donc appliquer la formule
Z
+∞
X
2
1 π 2
π2
de Parseval.
=
. On a donc démontré la formule bien connue
t
dt
=
2
n
π
3
0
n=1
suivante :
+∞
X
π2
1
=
.
2
n
6
n=1
4
Théorèmes de Dirichlet
Théorème de Dirichlet.
Soit f : R −→ C une application 2π-périodique et C 1 par morceaux . Pour x ∈ R, on
pose
1
g(x) = (f (x+ ) + f (x− )),
2
+
−
où f (x ) et f (x ) désignent les limites à droite et à gauche de f en x.
La série de Fourier converge simplement sur R et sa somme vaut g. Ainsi
+∞
1
(f (x+ )
2
∀x ∈ R
a0 (f ) X
+
an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)
2
n=1
+∞ X
= c0 (f ) +
cn (f )einx + c−n (f )e−inx .
+ f (x− )) =
n=1
Démonstration.
Reprenons les notations de la démonstration du second théorème de Stone-Weierstrass.
Dn : R −→ C
n
X
Soit n ∈ N. On a noté
t 7−→ D (t) =
eikt . et on a montré que
n
t) = DnZ(t) sin( 2t ), et que
(1) ∀t ∈ R sin( 2n+1
2
k=−n
π
(2) ∀t0 ∈ R 2πSn (f )(t0 ) =
−π
f (t0 − u)Dn (u)du.
• Soit t0 ∈ R. Coupons l’intégrale précédente en deux intégrales sur les intervalles [0, π]
et [−π, 0] et pratiquons le changement de variable v = −u sur la seconde intégrale. On
obtient
Z
Z
0
π
2πSn (f )(t0 ) =
0
donc
f (t0 − u)Dn (u)du +
2πSn (f )(t0 ) =
Z
0
f (t0 + v)Dn (−v)(−dv). Or Dn est paire,
π
π
(f (t0 − u) + f (t0 + u))Dn (u)du.
Pour l’application
Z π constamment égale à 1, que l’on notera 1, cette dernière formule
2Dn (u)du = 2πSn ( 1)(t0 ) = 2π, car Sn ( 1) est la projection de 1 sur
montre que
0
Pn et 1 ∈ Pn . Ainsi,
2π(Sn (f )(t0 ) − g(t0 )) =
c
Eric
Merle
Z
π
0
−
(f (t0 + h) − f (t+
0 ) + f (t0 − h) − f (t0 ))Dn (h)dh.
13
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4 Théorèmes de Dirichlet
−
f (t0 + h) − f (t+
0 ) + f (t0 − h) − f (t0 )
• Pour h ∈]0, π], posons α(h) =
.
sin( h2 )
De même que f , α est une application continue par morceaux sur ]0, π].
f étant C 1 par morceaux, il existe β > 0 tel que f/]t0 −β,t0 [ coı̈ncide avec une application
notée f − , de classe C 1 sur [t0 − β, t0 ].
f (t0 − h) − f (t−
f − (t0 − h) − f − (t0 )
′
0)
Fixons h ∈]0, β[.
=
−→ −f − (t0 ).
h→0
h
h
h∈]0,β[
f (t0 + h) − f (t+
′
0)
−→+ f + (t0 ), où f + est une application
De même, on montrerait que
h→0
h
de classe C 1 sur un intervalle de la forme [t0 , t0 + β ′ ] qui coı̈ncide sur ]t0 , t0 + β ′ [ avec
h
h
′
′
f . Comme de plus sin( ) ∼ au voisinage de 0, α(h) −→+ 2(f + (t0 ) − f − (t0 )).
h→0
2
2
′
′
On pose donc α(0) = 2(f + (t0 ) − f − (t0 )). Ainsi, α est une application continue par
morceaux sur [0, π].
La valeur d’une intégrale n’étant pas modifiée si on change un nombre fini de valeurs
de l’application intégrée, d’après la formule (1),
Z π
2n + 1
α(h) sin(
2π(Sn (f )(t0 ) − g(t0 )) =
h)dh.
2
0
• En posant h = 2u, le lemme
de Riemann-Lebesgue montre que
Z π
Z π
2
2n + 1
α(h) sin(
h)dh =
2α(2u) sin((2n + 1)u)du −→ 0.
n→+∞
2
0
0
Ainsi Sn (f )(t0 ) −→ g(t0 ), c’est-à-dire que pour tout t0 ∈ R,
n→+∞
X
(ck (f )eikt0 + c−k (f )e−ikt0 ) converge et a pour somme g(t0 ).
c0 (f ) +
k≥1
On a ainsi prouvé le théorème de Dirichlet.
Remarque. g coı̈ncide avec f en tout point de continuité de f .
Exemple. La fonction créneau.
Soit f : R −→ R l’unique application 2π-périodique telle que
f (0) = f (−π) = 0,
f/]−π,0[ = −1 et f/]0,π[ = 1.
f est impaire, donc ∀n
R ∈ N an (f ) = 0.
2
2 π
2
∗
Si n ∈ N , bn (f ) = π 0 sin(nt)dt = − πn
[cos(nt)]π0 = πn
(1 − (−1)n ).
1
De plus f est une fonction C par morceaux et 2π-périodique. On peut donc appliquer
le théorème de Dirichlet. Comme ∀t ∈ R f (t) = 12 (f (t+ ) + f (t− )) (on dit que f est
une fonction de Dirichlet),
∀t ∈ R,
f (t) =
+∞
X
n=0
4
sin((2n + 1)t).
π(2n + 1)
Le théorème de Dirichlet prouve notamment la convergence de la série ci-dessus, ce que
l’on aurait du mal à montrer directement.
c
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Séries
5 Cas des applications T -périodiques
+∞
π X (−1)n
π
, on obtient =
, résultat déjà établi au chapitre
2
4
2n
+
1
n=0
relatif aux séries entières.
En particulier, pour t =
Théorème de Dirichlet uniforme.
Soit f : R −→ C une application 2π-périodique
que l’on suppose C 1 par morceaux et continue .
Alors la famille (cn (f ))n∈Z est sommable .
Dans ces conditions,
la série de Fourier de f converge normalement sur R et sa somme vaut f .
Démonstration.
Au tableau
5
Cas des applications T -périodiques
• Dans ce paragraphe, on fixe un réel T strictement positif, et une application
f : R −→ C, T -périodique .
h : R −→ C T . h est 2π-périodique .
• On note
x 7−→ f x
R 2π 2π −int
1
T
• Pour n ∈ Z, cn (h) = 2π 0 h(t)e
dt. Posons x = t 2π
. On obtient que
R
T
1
−inx 2π
T
dx, ce qui nous conduit aux notations suivantes :
cn (h) = T 0 f (x)e
Z
2π
1 T
f (t)e−int T dt,
cn (f ) =
T 0
où n ∈ Z, et
Z
Z
2π
2 T
2π
2 T
f (t) cos(nt )dt et bn (f ) =
f (t) sin(nt )dt,
an (f ) =
T 0
T
T 0
T
où n ∈ N.
Théorème de Dirichlet.
Supposons que f est C 1 par morceaux. Pour x ∈ R, on pose
1
g(x) = (f (x+ ) + f (x− )),
2
+
−
où f (x ) et f (x ) désignent les limites à droite et à gauche de f en x.
La série de Fourier de f converge simplement sur R et sa somme vaut g. Ainsi
+∞
a0 (f ) X
2π 2π
1
+
−
+
an (f ) cos(nx ) + bn (f ) sin(nx )
∀x ∈ R 2 (f (x ) + f (x )) =
2
T
T
n=1
+∞ X
2π
2π
= c0 (f ) +
cn (f )einx T + c−n (f )e−inx T .
n=1
Si de plus f est continue sur R, la série de Fourier converge normalement sur R et sa
somme vaut f .
c
Eric
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Séries
5 Cas des applications T -périodiques
Démonstration.
Il suffit de se ramener à h.
Formule de Parseval.
X
Si f est continue par morceaux. Alors la série |c0 (f )|2 + (|cn (f )|2 +|c−n (f )|2 ) converge
n≥1
et
+∞
X
1
|c0 (f )| +
(|cn (f )| + |c−n (f )| ) =
T
n=1
2
2
2
Z
T
0
|f (t)|2 dt.
Ecriture réelle de la formule de Parseval.
|a0 (f )|2 X |an (f )|2 + |bn (f )|2
+
converge
Si f est continue par morceaux, alors la série
4
2
n≥1
et
Z
+∞
1 T
|a0 (f )|2 X |an (f )|2 + |bn (f )|2
+
=
|f (t)|2 dt.
4
2
T 0
n=1
c
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