Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples Dans toute ce chapitre, nous allons nous intéresser aux fonctions 2π-périodiques. Notons que si une fonction f est T -périodique (avec T > 0), on se ramène à une fonction 2π-périodique en définissant une fonction g T x . par : g(x) = f 2π 1 L’espace préhilbertien D Notation 1.1 On note D l’ensemble des applications f définies sur R, à valeurs dans C, 2π-périodiques, continues par morceaux, vérifiant : f (x+ ) + f (x− ) , 2 f (x+ ) désignant la limite à droite en x et f (x− ) désignant la limite à gauche en x. ∀x ∈ R, f (x) = Proposition 1.2 (i) D est un C-espace vectoriel ; (ii) L’application h. , .i définie sur D2 , à valeurs dans C par ∀f, g ∈ D, hf, gi = 1 2π Z 2π f (t)g(t)dt 0 est un produit scalaire sur D (on note k.k2 la norme associée). Définition 1.3 Soit f ∈ D. On appelle coefficients Fourier de f les nombres complexes définis par : Z de 2π 1 (i) ∀n ∈ Z, cn (f ) = hen , f i = f (t) e− i nt dt ; 2π 0 Z 1 2π (ii) ∀n ∈ N, an (f ) = cn (f ) + c−n (f ) = f (t) cos(nt)dt ; π 0 Z 2π 1 (iii) ∀n ∈ N, bn (f ) = i(cn (f ) − c−n (f )) = f (t) sin(nt)dt. π 0 Remarque 1.4 Si f est paire, alors pour tout n ∈ N∗ , bn (f ) = 0. Si f est Z πimpaire, alors pour tout n ∈ N, an (f ) = 0. En 1 effet, si f est paire, alors pour tout n ∈ N∗ , bn (f ) = f (t) sin(nt)dt. t 7→ f (t) sin(nt) étant impaire, π −π on a bn (f ) = 0. Même raisonnement si f est impaire. Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples Définition 1.5 Si f ∈ D, on appelle série de Fourier associée à f la série de fonction définie pour x ∈ R par c0 (f ) + X (cn (f ) ei nx +c−n (f ) e− i nx ) = n∈N∗ X a0 (f ) + (an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)). 2 ∗ n∈N Notation 1.6 Pour tout k ∈ Z, on note ek l’élément de D défini pour tout t ∈ R par ek (t) = ei kt . Si n ∈ N, on note Pn = Vect{ek , −n 6 k 6 n}. Proposition 1.7 (i) (ek )k∈Z est une famille orthonormée ; (ii) Pour tout n ∈ N, D = Pn ⊕ Pn⊥ et si pn désigne la projection orthogonale sur Pn , on a, pour tout n X f ∈ D : pn (f ) = ck (f )ek ; k=−n (iii) ∀f ∈ D, ∀n ∈ N, kf − pn (f )k2 = inf kf − gk2 ; g∈Pn X X 2 (iv) Pour tout f ∈ D, |cn (f )| et |c−n (f )|2 convergent et n>1 n>1 |c0 (f )|2 + +∞ X (|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ) 6 n=1 2 1 2π Z 2π |f (t)|2 dt. 0 Convergences Définition 2.1 (i) On appelle noyau de Dirichlet la suite (Dn )n∈N définie par : ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Dn (x) = n X ei kx . k=−n (ii) On appelle noyau de Féjer la suite (Kn )n∈N∗ définie par : ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R, Kn (x) = n−1 1X Dk (x). n k=0 S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr 2/4 Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples Proposition 2.2 (i) Pour tout n ∈ N, Dn et Kn sont paires ; (ii) 1 ∀n ∈ N, 2π Z 2π 1 Dn (x)dx = 1 et ∀n ∈ N , 2π ∗ 0 Z 2π Kn (x)dx = 1; 0 (iii) sin (2n + 1) x2 ∀n ∈ N, ∀x ∈ R \ 2πZ, Dn (x) = ; sin x2 (iv) ∗ ∀n ∈ N , ∀x ∈ R \ 2πZ, Kn (x) = sin2 n x2 n sin2 x 2 . Théorème 2.3 (de Dirichlet) Soit f ∈ D. Si f est de classe C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de f converge simplement sur R et a pour somme f : ∀x ∈ R, c0 (f ) + +∞ X 1 (f (x+ ) + f (x− )) 2 (cn (f ) ei nx +c−n (f ) e− i nx ) = f (x) = n=1 +∞ ∀x ∈ R, 1 a0 (f ) X (an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)) = f (x) = (f (x+ ) + f (x− )) + 2 2 n=1 Théorème 2.4 (de Parseval ) Pour tout f ∈ D, kf − pn (f )k2 −−−−−→ 0. Autrement dit : n→+∞ +∞ X Z 1 (|cn (f )| + |c−n (f )| ) = ∀f ∈ D, |c0 (f )| + 2π n=1 2 ∀f ∈ D, 2 2 2π |f (t)|2 dt 0 Z 2π +∞ 1 a0 (f )2 1X (an (f )2 + bn (f )2 ) = + |f (t)|2 dt. 4 2 n=1 2π 0 Théorème 2.5 Soit f ∈ D, continue et de classe C 1 par morceaux sur R. Alors la série de Fourier de f converge normalement sur R et a pour somme f . 3 3.1 Exemples Calcul de sommes Exemple 3.1 +∞ X 1 π2 = 2 n 6 n=1 ; +∞ X 1 π2 = 2 (2n + 1) 8 n=0 S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr ; +∞ X 1 π4 = 4 n 90 n=1 ; +∞ X 1 π4 = 4 (2n + 1) 96 n=0 3/4 Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples 3.2 Inégalité de Wirtinger Théorème 3.2 Z 1 Soit f une application 2π-périodique, continue, de classe C par morceaux sur R telle que 2π f (t)dt = 0. 0 Alors Z 2π 0 |f (t)|2 dt 6 Z 2π |f 0 (t)|2 dt. 0 Il y a égalité si et seulement si f : t 7→ α ei t +β e− i t , avec α, β ∈ C. 3.3 Inégalité isopérimétrique Proposition 3.3 Soit Γ un arc paramétré fermé de classe C 1 dans le plan euclidien, paramétré par une abscisse curviligne s, s décrivant [0 ; L], L désignant la longueur de la courbe. Pour tout s ∈ [0 ; L], x(s) et y(s) désignent Z L x(s)ds = 0. On les coordonnées dans un repère orthonormal du point M (s) de paramètre s, tel que 0 Z L rappelle que l’aire du plan délimité par Γ est donnée par A = x(s)y 0 (s)ds. Alors 4πA 6 L2 et on a égalité si et seulement si Γ est un cercle. S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr 0 4/4