Fiche de révision sur l`algèbre linéaire

PSI – Lycée Rabelais
Algèbre linéaire
Fiche de révision sur l’algèbre linéaire
Les connaissances :
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel engendré par une partie.
Relation de dépendance linéaire entre des vecteurs ; famille libre ou liée.
Base. Dimension. Différentes caractérisations d’une base (suivant que la dimension de
l’espace est connue ou non).
Théorème de la base incomplète, dans un espace vectoriel de dimension finie.
Dimension d’un sous-espace vectoriel ; rang d’une famille de vecteurs.
Dimension de la somme de 2 sous-espaces vectoriels (formule de Grassman).
Application linéaire.
Image et image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
Image du sous-espace vectoriel engendré par une partie.
Noyau, image d’une application linéaire.
r
r
Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire : f (u ) = v .
Image d’une famille liée. Image d’une famille libre lorsque l’application est injective.
Si l’espace de départ est de dimension finie, caractérisation d’une application linéaire par
l’image d’une base.
Isomorphisme. Groupe linéaire GL(E).
En dimension finie, caractérisation d’un isomorphisme par l’image d’une base.
Dimensions de deux espaces vectoriels isomorphes.
Rang d’une application linéaire. Invariance du rang d’une application linéaire lorsqu’on la
compose avec un isomorphisme.
Théorème du rang.
Caractérisation d’une application linéaire bijective dans le cas où les espaces vectoriels de
départ et d’arrivée sont de même dimension finie.
Matrice d’une application linéaire dans deux bases fixées (en dimension finie).
Calcul matriciel. Lien avec les opérations sur les applications linéaires.
Isomorphisme entre Mn,p(K) et L(E, F), lorsque p = dim E et n = dim F . Base canonique
de Mn,p(K). Dimension de L(E, F). Matrices élémentaires.
Transposée d’une matrice. Linéarité de la transposition. Matrice symétrique ou
antisymétrique.
Trace d’une matrice carrée. Linéarité de la trace. Trace d’un produit de deux matrices.
Rang d’une matrice. Invariance du rang d’une matrice lorsqu’on la multiplie par une
matrice inversible.
Caractérisations d’une matrice carrée inversible. Groupe linéaire GLn(K).
Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Caractérisations en dimension finie.
Projections (ou projecteurs) et symétries vectorielles.
Matrice de passage d’une base à une autre.
Formule de changement de base pour un vecteur.
Formule de changement de bases pour une application linéaire ; cas d’un endomorphisme.
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Algèbre linéaire
Les savoir-faire :
-
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Savoir mettre en œuvre l’algorithme du pivot de Gauss pour étudier le rang d’une
matrice ou résoudre un système
Connaître les méthodes pour calculer l’inverse d’une matrice carrée inversible
Savoir écrire la matrice d’une application linéaire donnée dans des bases fixées
Savoir interpréter la matrice d’une application linéaire f dans des bases B et C
pour :
écrire l’image de f ( B) ;
calculer l’image d’un vecteur quelconque ;
déterminer le sous-espace vectoriel image de f par simple lecture des
colonnes ;
déterminer le noyau, le rang
Savoir montrer qu’une partie de E est un sous-espace vectoriel :
en utilisant la caractérisation ;
en reconnaissant le sous-espace vectoriel engendré par une famille de
vecteurs ;
en reconnaissant le noyau d’une application linéaire
Savoir étudier la dépendance linaire d’une famille de vecteurs :
n
r
r
en étudiant l’équation ∑ λ k u k = 0 d’inconnues λ1 ,..., λ n (éventuellement en
k =1
-
-
-
raisonnant par récurrence sur n) ;
si l’espace est de dimension finie, en étudiant le rang de la famille ;
si l’espace est de dimension finie, en calculant le déterminant de la famille dans
une base fixée (pour les PCSI, seulement en dimension 2 ou 3)
Savoir déterminer la dimension d’un espace vectoriel :
en exhibant une famille génératrice, puis une base ;
en établissant un isomorphisme avec un autre espace vectoriel dont la
dimension est connue
Savoir montrer qu’une famille est une base :
en montrant qu’elle est libre et génératrice ;
en montrant que tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaison
linéaire des vecteurs de cette famille ;
si on connaît la dimension de E, en montrant que la famille est libre et que son
cardinal est égal à la dimension de l’espace (ou plus rarement, en montrant que
la famille est génératrice et que son cardinal est égal à la dimension de
l’espace) ;
en montrant que cette famille est l’image par un isomorphisme d’une base d’un
autre espace vectoriel
Savoir montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans
E:
à partir de la définition (souvent en raisonnant par analyse et synthèse) ;
si E est de dimension finie, en utilisant la caractérisation à l’aide de
l’intersection et des dimensions ;
si E est de dimension finie, en utilisant la caractérisation par les bases ;
en reconnaissant le noyau et l’image d’un projecteur
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