programme semaine 24

Programme de colle de mathématiques
PCSI 1 2016 - 2017
semaine n° 24 du 24 au 28 avril
ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Révision du programme précédent.
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE
Matrice d’une famille de vecteurs dans une base ; matrice d’une application linéaire dans un couple
de bases ; calcul des coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire ; matrice
d’une combinaison linéaire, d’une composée d’applications linéaires ; lien entre matrices
inversibles et isomorphismes ; matrice de passage d’une base à une autre ; effet d’un changement de
bases sur la matrice d’un vecteur, d’une application linéaire, d’un endomorphisme ;
application linéaire canoniquement associée à une matrice ; image et noyau d’une matrice de
M n , p (K ) ; rang d’une matrice A ; théorème du rang ; caractérisation des matrices inversibles en
termes de noyau, d’image, de rang ; conservation du rang par multiplication par une matrice
inversible ; rang de la transposée.
Questions de cours :
Rappel : la partie « question de cours », quoique courte, se compose de deux phases :
1) Énoncer un des résultats de la courte liste « démonstrations à connaître » ci-dessous et
exposer sa démonstration (il pourra aussi s’agir de savoir faire un exercice d’un type donné)
2) Énoncer (sans démonstration) une définition, ou une proposition, choisie par le colleur dans
la totalité du programme de colle, ou donner un contre-exemple, etc.
Démonstrations à connaître / « savoir-faire » attendus :
- caractérisation des bases dans un espace vectoriel de dimension finie connue ;
- tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire ;
- si f ∈ L ( E , F ) , tout supplémentaire de ker f dans E est isomorphe à Im f ; théorème du rang ;
- formules de changement de bases.