L’équation caractéristique Algèbre linéaire I — MATH 1057 F Marie-Gabrielle Vallet Département de mathématiques et d’informatique Université Laurentienne Sudbury, 25 mars 2012 Comment trouver les valeurs propres (p. 311) valeur propre z}|{ On cherche λ Ax = λ et x tels que (peut être nulle) L’équation homogène (A − λI )x = 0 doit triviales. vecteur propre z}|{ x (non nul) avoir des solutions non Cela implique que la matrice (A − λI ) doit être non inversible. Ce qui implique que det(A − λI ) doit être nul. Il faut donc trouver λ tel que det(A − λI ) = 0. Équation caractéristique (p. 313) Définition Soit A une matrice carrée d’ordre n. Le polynôme caractéristique de A est det(A − λI ). L’équation caractéristique de A est det(A − λI ) = 0. Théorème Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Un scalaire λ est une valeur propre de A si et seulement si λ satisfait l’équation caractéristique det(A − λI ) = 0. On trouve les valeurs propres d’une matrice en résolvant son équation caractéristique. Exemple pour une matrice 2 × 2 Exemple : Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de 0 1 A= . −6 5 0 1 λ 0 −λ 1 A − λI = − = . −6 5 0 λ −6 5 − λ L’équation caractéristique det(A − λI ) = 0 devient (−λ)(5 − λ) − (1)(−6) = 0 λ2 − 5λ + 6 = 0 (λ − 2)(λ − 3) = 0. On factorise le polynôme caractéristique pour faire aparaı̂tre ses racines, qui sont les valeurs propres de la matrice A. Les valeurs propres sont donc λ = 2 et 3. Factorisation d’un polynôme Rappels : Soit un polynôme en λ. 1 2 3 Si r est une racine du polynôme, on peut factoriser le terme (λ − r ). On cherche d’abord s’il y a une racine r évidente (0, 1, -1, 2 ou -2), et on factorise (λ − r ). Pour un polynôme d’ordre 2 de la forme λ2 − Sλ + P, on cherche deux racines (entières) dont la somme vaut S et le produit vaut P. En effet (λ − r1 )(λ − r2 ) = λ2 − (r1 + r2 )λ + r1 r2 . Pour un polynôme d’ordre 2 de la forme aλ2 + bλ + c, on calcule le discriminant ∆ = b 2 − 4ac. Si ∆ √ ≥ 0, les racines √ sont r1 = (−b − ∆)/2a et r2 = (−b + ∆)/2a. Vecteur propre associé à λ = 2. On résout le système (A − 2I )x = 0 : −2 1 0 1 ∼ −6 3 0 0 −1/2 0 0 0 . La solution est donc (1/2)x2 x1 1/2 = x2 = x= . x2 x2 1 1/2 , x2 non nul, est un vecteur 1 propre correspondant à la valeur propre λ = 2. Tout vecteur de la forme x2 Vecteur propre associé à λ = 3. On résout le système (A − 3I )x = 0 : −3 1 0 1 ∼ −6 2 0 0 −1/3 0 0 0 . La solution est donc (1/3)x2 x1 1/3 = x2 = x= . x2 x2 1 1/3 , x2 non nul, est un vecteur 1 propre correspondant à la valeur propre λ = 3. Tout vecteur de la forme x2 Exemple pour une matrice 3 × 3 4 0 −2 Exemple : Trouvez les valeurs propres de A = 2 5 4 . 0 0 5 4 0 −2 λ 0 0 4−λ 0 −2 4 − 0 λ 0 = 2 5−λ 4 . A−λI = 2 5 0 0 5 0 0 λ 0 0 5−λ L’équation caractéristique det(A − λI ) = 0 devient 4−λ 0 (5 − λ) = 0 2 5−λ (5 − λ)(4 − λ)(5 − λ) = 0 −λ3 + 14λ2 − 65λ + 100 = 0 Les valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique et sont donc λ = 5 et 4. Rappel sur les déterminants (p. 313) Théorème Soit A une matrice carrée. a. A est inversible si et seulement si det A 6= 0. b. det AB = (det A)(det B) c. det AT = det A d. Le déterminant d’une matrice triangulaire A est le produit des éléments de sa diagonale principale. e. Si une matrice B est obtenue en ajoutant à une ligne de la matrice A un multiple d’une autre de ses lignes, alors det B = det A. f. Si B est obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors det B = − det A. g. Si B est obtenue en multipliant une ligne de A par k, alors det B = k det A. Multiplicité d’une valeur propre (p. ⌊100π⌋) Pour la matrice A précédente, on voit que la valeur propre λ = 5 a un ordre de multiplicité égal à 2 car le facteur (λ − 5) est présent deux fois dans le polynôme caractéristique. Définition L’ordre de multiplicité ( algébrique) d’une valeur propre λ est son ordre de multiplicité en tant que racine de l’équation caractéristique. Note : Plus simplement, on dit souvent la multiplicité d’une valeur propre. Un polynôme de degré n a exactement n racines, si on compte les racines multiples et les racines complexes. Rappel : Vecteur propre associé à λ = 4. On résout le système (A − 4I )x = 0 : 0 0 −2 0 2 2 1 4 0 ∼ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 . 0 La solution est donc x1 −(1/2)x2 −1/2 = x2 x2 x = x2 = 1 . x3 0 0 −1/2 Tout vecteur de la forme t 1 , t non nul, est un vecteur 0 propre correspondant à la valeur propre λ = 4. Rappel : Vecteur propre associé à λ = 5. On résout le système (A − 5I )x = 0 : −1 0 −2 0 1 2 0 4 0 ∼ 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 . 0 0 0 Il y a deux variables libres, x2 et x3 . La solution est donc x1 −2x3 0 −2 x = x2 = x2 = x2 1 + x3 0 . x3 x3 0 1 −2 0 Tout vecteur de la forme r 1 + t 0 , r , t non nuls, est 1 0 un vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 5. Matrices semblables (p. ⌊100π⌋) Définition Une matrice carrée A d’ordre n est semblable à une matrice carrée B d’ordre n s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = B, ou, de façon équivalente, telle que A = PBP −1 . Si on écrit Q au lieu de P −1 , on a que Q −1 BQ = A. Ce qui montre que B est aussi semblable à A et on dit simplement que A et B sont semblables. Exemple de matrices semblables 2 0 −3 2 Exemple : Soient A = ,B= , 1 1 −10 6 −2 1 1 1 P= et P −1 = . Calculez P −1 AP et PBP −1 . 3 −1 3 2 PBP −1 −2 1 −3 2 1 1 = 3 −1 −10 6 3 2 2 0 = = 1 1 et P −1 1 1 3 2 2 0 AP = 1 1 −3 2 = = −10 6 −2 1 3 −1 Matrices semblables et valeurs propres (p. 315) Théorème Si deux matrices carrées A et B d’ordre n sont semblables, alors elles ont le même polynôme caractéristique, et de là les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités). Démonstration. Puisque A et B sont semblables, on a que B = P −1 AP. De plus B − λI = P −1 AP − λP −1 P = P −1 AP − P −1 λIP = P −1 (AP − λIP) = P −1 (A − λI )P. Le polynôme caractéristique de B est donné par det(B − λI ) = det(P −1 (A − λI )P) = det(P −1 ) det(A − λI ) det(P) = det(A − λI ) car det(P −1 ) det(P) = det(P −1 P) = det(I ) = 1. D’où le polynôme caractéristique de B est égal au polynôme caractéristique de A. Exemple de valeurs propres de matrices semblables 2 0 1 1 Exemple : Soient les deux matrices semblables A = et −3 2 B= . Les polynômes caractéristiques et A et B sont −10 6 donnés par 2−λ 0 det(A − λI ) = = (2 − λ)(1 − λ) − (0)(1) 1 1−λ = (λ − 2)(λ − 1); −3 − λ 2 det(B − λI ) = = (−3 − λ)(6 − λ) − (2)(−10) −10 6−λ = (−18 − 6λ + 3λ + λ2 ) + 20 = λ2 − 3λ + 2 = (λ − 2)(λ − 1). Donc, les deux matrices ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (mais n’ont pas cependant les mêmes vecteurs propres).