La fonction exponentielle Le nombre e On peut démontrer que la suite des nombres 9 64 625 7776 , ,... 2, , , 4 27 256 3125 (le terme général est (1 + 1/n)n ) admet une limite. Cette limite est un nombre irrationnel, noté e, qui joue un rôle très important en mathématiques : 1 n e = lim 1 + = 2, 71828... (1) n→+∞ n Il possède entre autres la propriété suivante : quelque soit le nombre x, x 1+ n x e = lim n→+∞ n . (2) C’est ainsi qu’est définie la fonction exponentielle. C’est une fonction transcendante dont le calcul des valeurs requiert un passage à la limite (ou l’utilisation d’une calculatrice). D’après sa définition, il est clair que la fonction exponentielle est croissante. On peut démontrer qu’elle possède la propriété y 50 40 30 20 10 -1 y = ãx 1 2 3 4 x fondamentale suivante : quels que soient les nombres x1 et x2 , 1 ex1 +x2 = ex1 ex2 (3) (la fonction exponentielle transforme les sommes en produits). On en déduit en particulier que 1 = e−x . (4) ex Une autre conséquence de la propriété fondamentale est que la fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance de son argument, si grande soit-elle, lorsque cet argument tend vers +∞. pour tout exposant n fixé , ex = +∞. x→+∞ xn lim Lorsque x → −∞ au contraire, en vertu de la propriété (4), l’exponentielle y 2.5´107 2.0´107 1.5´107 1.0´107 5.0´106 y = ãx y = x5 5 10 15 20 25 x tend vers 0 (très rapidement mais sans jamais l’atteindre car elle ne s’annule jamais). 2 L’exponentielle est aussi définie pour des valeurs complexes de son argu- y 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 y = ã-x -1 1 2 3 4 x ment (elle prend alors elle même des valeurs complexes). Pour un nombre imaginaire pur, iy, elle est donnée par la formule d’Euler : eiy = cos y + i sin y. (5) Pour un nombre complexe arbitraire, x + iy, on utilise aussi la relation fondamentale (3) : ex+iy = ex (cos y + i sin y). Exemples • Un capital C investi à un taux annuel de 3% deviendra, à la fin de l’année, 3 C 1+ = 1, 03C. 100 Si cependant l’intérêt est composé aux six mois, il deviendra 3 C 1+ 200 2 = 1, 03038C et si l’intérêt est composé à chaque mois, il deviendra 3 C 1+ 1200 12 = 1, 03042C. Si l’intérêt est composé « continûment », il deviendra, après un an Ce0.03 = 1, 03045C et après t années Ce0,03t . 3 • Lorsque l’entier n est grand, on peut approximer n! à l’aide de la formule de Stirling : n √ n n! ≈ 2πn . e • Le nombre complexe e2+3i = e2 (cos 3 + i sin 3) = 20, 0855(−0, 989 + 0, 141i) a pour module 20,0855. Exercices 1. Calculer e50 505 et e50 . 507 2. Déterminer la partie réelle et le module des nombres complexes e1+iπ et e−iπ/2 . Pour en savoir plus ? http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node5.html ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques Réponses 1. 1, 7 × 1013 , 6.6 × 109 2. −e, e, 1, 0 4