Semaine 6 (du 17 octobre au 04 novembre)

Lycée Henri IV
MP
2016-2017
Programme d’interrogations.
Semaine 6 : Lundi 17 octobre - Vendredi 04 novembre
• Révisions du programme précédent (séries numériques).
• Topologie des espaces vectoriels normés.
Normes ; exemples fondamentaux dans Kn , C 0 ([a, b], K), K[X], Mn (K) et variations sur ces exemples. Espace
normé produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels normés.
Boules, sphères.
Application lipschitzienne d’un evn dans un autre. Une norme est 1 -lipschitzienne.
Normes équivalentes ; équivalences des normes usuelles dans Kn , exemples de normes non équivalentes. Preuve
de l’équivalence des normes en dimension finie (par récurrence sur la dimension de l’espace).
Parties bornées, voisinages, ouverts, fermés. Les boules ouvertes (resp. fermées) sont ouvertes (resp. fermées)
(qu’on se le dise !). Les seules parties ouvertes et fermées d’un evn E sont le vide et E .
Limite d’une suite. Propriétés usuelles. Si l’espace de départ est de dimension finie l’existence d’une limite
équivaut à l’existence d’une limite pour les suites de coordonnées dans une base.
Adhérence d’une partie d’un espace vectoriel normé : définition topologique et caractérisation séquentielle. C’est
le plus petit fermé contenant la partie. Propriétés usuelles. Partie dense.
Intérieur ... Frontière d’une partie.
Distance à une partie. Un point est à distance nulle de A si et seulement si il est dans A. L’application
x 7→ d(x, A) est lipschitzienne.
Topologie induite sur une partie : voisinages, ouverts et fermés relatifs ; si A est une partie d’un evn E , les
ouverts relatifs d’une partie A sont les traces sur A des ouverts de E . Cas particulier d’une partie ouverte
ou fermée. L’adhérence relative à A d’une partie est la trace sur A de son adhérence (ce n’est pas vrai pour
l’intérieur ...).
Définition séquentielle de la compacité. Les compacts sont fermés et bornés. La réciproque est vraie en dimension
finie.
Un fermé dans un compact est compact.
Une intersection quelconque et une réunion ou un produit fini de compacts sont compacts.
Dans un compact les suites convergentes sont celles qui n’ont qu’une valeur d’adhérence. dans un espace vectoriel norméde dimension finie, les suites bornées sont convergentes si et seulement si elles n’ont qu’une valeur
d’adhérence.
Une intersection d’une suite décroissante de compacts est non vide (HP).
Limite d’une fonction en un point adhérent à une partie. Propriétés usuelles. Caractérisation séquentielle.
Continuité sur une partie ; cas des applications lipchitziennes. Cas des applications linéaires : parmi les définitions
différentes, on a insisté sur la recherche d’un K > 0 tel que, pour tout x ∈ E , kf (x)k 6 K kxk . On note |||T |||
la norme subordonnée d’un opérateur T (i.e. la plus petite constante de Lipschitz précédente).
La norme subordonnée (”triple”) n’est officiellement plus au programme mais on peut attendre une certaine
familiarité sur le sujet.
Cas des applications multilinéaires (par exemple le déterminant).
Cas des applications dans un espace de dimension finie (resp. dans un produit fini d’espaces vectoriels normés).
Propriétés globales :
• Image continue d’une partie compacte ; cas particulier des fonctions à valeurs réelles. Retour sur l’équivalence
des normes en dimension finie.
• Applications
Une application f est uniformément continue si et seulement si pour
uniformément continues.
tout couple (xn )n∈N , (yn )n∈N de suites telles que xn − yn → 0E on a f (xn ) − f (yn ) → 0E . Théorème de
Heine.
• Image réciproque d’un ouvert(resp. fermé) par une application continue. Exemples divers (GLn (K) est ouvert,
les sous-espaces vectoriels, les sous-espaces affines, sont, en dimension finie, fermés, etc.).
Toutes les notions topologiques introduites sont inchangées par changement des normes en des normes
équivalentes.
Rappel : la notion de suite de Cauchy et donc la complétude sont devenus hors programme.
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Prévisions pour la semaine 7 (du 14 au 18 novembre) :
• Révision du programme précédent (topologie des espaces vectoriels normés.)
Connexité par arcs ; composantes connexes par arcs.
• Révisions d’algèbre linéaire de MPSI sans les déterminants.
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