1 Université Bordeaux1, 2013. MA4011, Topologie des espaces

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Université Bordeaux1, 2013.
MA4011, Topologie des espaces métriques.
Mme Strouse.
CORRIGE : Devoir surveillé du 20 Mars.
Sans documents (1h20).
Exercice 1
Soit E l’ensemble {a, b, c, d, e}. On munit E avec τ = {∅, {a, c}, {a, b, c, d, e}}.
(a) Donner la définition de l’intérreur d’un ensemble Adans un espace topologique
(E, τ ).
On dit que x ∈ int(A) si et seulement si ∃U ∈τ tel que x ∈ U ⊆ A. OU int(A) est
le plus grand ouvert contenu dans A.
(b) Trouver l’intérieur et l’adhèrence de l’ensemble B = {a, b, c} dans l’espace
topologique (E, τ ).
Int(B) = {a, c} car, que ils sont les seuls éléments de τ qui sont contenu dans B
et alors {a, c} est le plus grand élément de τ (ouvert) contenu dans B.
(c) Est-ce qu’il existe une distance d : E × E → R+ telle que τ est associée avec
d?
Non, tout espace métrique est separé, et (E, τ ) ne l’est pas.
Exercice 2
Soit R2 mini de la distance :
d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |.
(a) Trouver l’intérieur et l’adhèrence de l’ensemble
F = {(x, y) : 0 < x ≤ 3 et 1 ≤ y < 4}
Int(F ) = I = {(x, y) : 0 < x < 3 et 1 < y < 4}.
Demonstration I ⊆ F et I est un ouvert et donc tout point dans I est un point
intérieur de F . Si v ∈ F \ I alors v = (3, y) pour un certain y ou v = (x, 1)
pour un certain x. Si v = (3, y) et > 0 alors (3 + 2 , y) ∈ B(3, y), ) et (3 +
, y) 6∈ F Donc ∀>0 B((3, y), ) 6⊆ F et (3, y) n’est pas un point intérieur de F.
2
Le même raisonnement donne que les points de la forme (x, 1) ne sont pas des
points intérieur de F. Mais l’ intérieur de F est contenu en F et donc c’est égal
à I.
Adhèrence(F ) = A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 4}.
Demonstration : F ⊆ A et A est fermé, donc Adhèrence(F ) ⊆ A et, (x, y) 6∈ A
alors il y a un rectangle (boule pour d1 ) autour de (x, y) qui n’intersecte pas F ,
donc, Ac ∪ Adhèrence F = ∅ et A ⊆ Adhèrence(F ).
2
(b) Faı̂tes de même si R2 est muni de
(
d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 ))
dbornee ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
3
si d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ≤ 3;
.
sinon
Les réponses sont les mêmes car les distances d1 et dbornee sont topologiquement équivalentes.
Exercice 3
Étudier la convergence de la suite (1 + n1 , 2). dans R2 muni de la distance discrête .
(
0 si (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ));
ddiscrete ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
.
1 sinon
La suite ne converge pas car les seules suites convergentes pour la topologie discrête
sont les suites éventuellement constante.
Exercice 4
Soit d1 définie comme dans l’exercice 2, et soit dusuelle la distance sur
R définie par dusuelle (x, y) = |x − y|.
(a)Étudier la continuité de la fonction :g : (R, dusuelle ) → (R2 , d1 ; g(x) = (x, 0).
Il y a BEAUCOUP de facons d’etablir la continuité. On peut dire, par exemple, que
si xn → x alors g(xn ) = (xn , 0) → (x, 0) = g(x). Ou établir que g −1 (Bd1 ((x, 0), )) =
B(x, ) donc g −1 de n’importe quel ouvert est ouvert.....
(b) Donner un exemple d’une fonction f : (R, dusuelle ) → (R2 , ddiscrete ) qui n’est pas
continue.
Par exemple la fonction g de (a), car ( n1 ) → 0 en (R, dusuelle ) mais g( n1 ) = ( n1 , 0) 6→
(0, 0) dans(R2 , ddiscrete ).
Exercice 5
On definit d : R → R+ par d(x, y) = |ex − ey |.
(a) Montrer que (R, d) est bien un espace métrique.
Routine
(b) La distance d est-elle métriquement équivalente à la distance dusuelle de l’exercice
4?
x −ey |
Non, car |e|x−y|
est arbitrairement grand ; donc il n’y a pas de c ∈ R+ tel que d(x, y) =
x
y
|e − e | ≤ c|x − y|.
(c) La distance d est-elle topologiquement équivalente à la distance dusuelle de l’exercice
4?
Oui, la continuité de la fonction g et de son inverse ln donne une équivalence topologique.
Exercice 6
Soit X = R et soit d1 et d2 les distances
(
0,
si v = w;
d1 (x, y) =
.
|x − 1| + |1 − y| sinon
3
(
0,
si v = w;
d2 (x, y) =
.
|x − 3| + |3 − y| sinon
Montrer que (R, d1 ) et (R, d2 ) sont des espaces topologiques homéomorphes.
C’est vraie car la fonction φ : (R, d1 ) → (R, d2 ) ; φ(x) = x + 2 est une bijection telle
que et φ et φ−1 sont continues. Pour le démontrer, on voit que xn → x en (R, d1 ) ssi
(i)x 6= 1 et xn = x pour tout sauf un nombre fini de n ou(ii) x = 1 et xn → 1 en
(R, dusuelle ) ssi (i)φ(x) 6= 3 et φ(xn ) = x pour tout sauf un nombre fini de n ou(ii)
φ(x) = 3 et φ(xn ) → 3 en (R, dusuelle ) ssi φ(xn ) → φ(x).