Correction publiée 03-10-2016

Eléments de correction
Spé Maths - DM1
TS2
Exercice 1
˜
1. Il est facile de voir que les seuls diviseurs entiers et positifs de 15 sont les éléments de D15 avec :
D15 = (1, 3, 5, 15)
2. L’expression yx2 − y = 15 peut s’écrire y(x2 − 1) = 15.
Puisque x est un nombre entier alors (x2 − 1) est aussi entier. En posant k = (x2 − 1) on obtient
y × k = 15 avec k entier
Ce qui prouve que
y divise 15
3. Puisque y est un diviseur de 15, alors :
y ∈ D15
En procédant cas par cas on obtient
— Si y = 1 l’expression yx2 − y = 15 s’écrit x2 − 1 = 15 ou encore x2 = 16. La solution évidente est x = 4
(notez que x = −4 n’est pas acceptable puisque x ∈ N)
2
2
2
— Si y = 3 l’expression yx2 − y = 15 s’écrit
√ 3x − 3 = 15 ou encore 3x = 18 qui se simplifie en x = 6. Cette
équation n’a pas de solution entière ( 6 n’est pas entier).
— Si y = 5 l’expression yx2 − y = 15 s’écrit 5x2 − 5 = 15 ou encore 5x2 = 20 qui se simplifie en x2 = 4. La
solution évidente est x = 2 (notez que x = −2 n’est pas acceptable puisque x ∈ N)
2
2
2
— Si y = 15 l’expression yx2 − y = 15 s’écrit 15x
√ − 15 = 15 ou encore 15x = 30 qui se simplifie en x = 2.
Cette équation n’a pas de solution entière ( 2 n’est pas entier).
Les seuls couples d’entiers naturels qui vérifient yx2 − y = 15 sont donc :
(4, 1) et (2, 5)
Exercice 2
˜
1.
n
1
2
3
4
5
n6 − 1
0
63
728
4095
15624
=
=
=
=
=
Table 1 – Calculs pour
n
9
x
0
6
9
x
7
7
non div. par 9 8
9
x
455
9
9
x
1736 10
n allant de 1 à10
n6 − 1
46655 = non
117648 =
9
262143 =
9
531440 = non
999999 =
9
div.
x
x
div.
x
par 9
13072
29127
par 9
111111
On peut conjecturer que pour tout n non multiple de 3 l’expression n6 − 1 est divisible par 9.
2. A l’aide une calculatrice effectuant des calculs formels ou du logiciel Xcas
n3 − 1 = (n − 1)(n2 + n + 1)
n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1)
On remarque par ailleurs que :
P (n) = n6 − 1 = (n3 − 1)(n3 + 1)
et donc
P (n) = (n − 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 − n + 1)
ou
P (n) = (n − 1)(n + 1)(n2 + n + 1)(n2 − n + 1)
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1
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3. On rappelle que 3 est un nombre premier. Donc si 3 divise P (n) alors 3 divise nécessairement au moins un
des facteurs de P (n)
— Supposons que n est un multiple de 3 alors ni n + 1 et ni n − 1 ne sont divisibles par 3. De même il est
évident que n2 + n + 1 n’est pas divisible par 3 puisque 3|n2 et 3|n et 3 ne divise pas 1. de la même manière
n2 − n + 1 n’est pas divisible par 3.
Si n est un multiple de 3 alors n6 − 1 n’est pas divisible 3 et donc n’est pas divisible par 9 puisque 9 = 3 × 3
— Supposons maintenant que n ne soit pas un multiple de 3 c’est à dire que que l’on peut trouver un entier
k tel que n = 3k + 1 ou n = 3k + 2
— Si n = 3k + 1 alors (n − 1)(n + 1) = (3k + 1 − 1)(3k + 1 + 1) = 3k(3k + 2) ce qui prouve que (n − 1)(n + 1)
est divisible par 3. Par ailleurs
n2 + n + 1 = (3k + 1)2 + (3k + 1) + 1 = 9k 2 + 9k + 3 = 3(3k 2 + 3k + 1)
Ce qui prouve que n2 + n + 1 est divisible par 3
Donc, en résumé, on peut trouver des nombres entiers a et b tel que
(n − 1)(n + 1) = 3a et n2 + n + 1 = 3b
et donc
P (n) = (n − 1)(n + 1)(n2 + n + 1)(n2 − n + 1) = 3a × 3b × (n2 − n + 1) = 9ab(n2 − n + 1)
Ce qui prouve que P (n) est divisible par 9
— Si n = 3k + 2 alors (n − 1)(n + 1) = (3k + 2 − 1)(3k + 2 + 1) = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1) ce qui
prouve que (n − 1)(n + 1) est divisible par 3. Par ailleurs
n2 − n + 1 = (3k + 2)2 − (3k + 2) + 1 = 9k 2 + 9k + 3 = 3(3k 2 + 3k + 1)
Ce qui prouve que n2 − n + 1 est divisible par 3
On conclut de la même manière que dans le cas précédent.
Nous avons prouvé que si n n’est pas multiple de 3 alors n6 − 1 est divisible par 9
Exercice 3
˜
1. Simplement on peut écrire (on peut aussi utiliser la factorisation du trinôme vue en 1ere) :
n2 + 5n + 4 = n2 + 2n + 1 + 3n + 3 = (n + 1)2 + 3(n + 1) = (n + 1) [(n + 1) + 3] = (n + 1)(n + 4)
n2 + 3n + 2 = n2 + 2n + 1 + n + 1 = (n + 1)2 + (n + 1) = (n + 1) [(n + 1) + 1] = (n + 1)(n + 2)
2. —
(n + 1)(3n + 12) + 7 = (3n2 + 15n + 12) + 7 = 3n2 + 15n + 19
— On peut écrire
3n2 + 15n + 19 = (3n2 + 15n + 12) + 7 = 3(n2 + 5n + 4) + 7
Puisque l’on sait que n2 + 5n + 4 est divisible par (n + 1) alors il existe une nombre entier k tel que
n2 + 5n + 4 = k(n + 1) (on a prouvé que k = n + 4)et donc
3n2 + 15n + 19 = k(n + 1) + 7
Donc n + 1 doit diviser 7 pour diviser 3n2 + 15n + 19 (pourquoi ?). Les seuls diviseurs de 7 sont -7, -1, 1 et
7, puisque n ∈ N les seules valeurs de n possibles sont 0 et 6.
3. Supposons qu’il existe un entier n tel que n2 + 3n + 2 divise 3n2 + 15n + 19 alors il existe un entier k tel que
3n2 + 15n + 19 = k(n2 + 3n + 2) = k(n + 1)(n + 2)
Ce qui veut donc dire que (n + 1) divise 3n2 + 15n + 19 et, d’après ce qui précède, n = 6 et en substituant par
cette valeur 3n2 + 15n + 19 = 217 = 7 × 31 et 217 = k(6 + 1)(6 + 2) = k × 7 ou encore 31 = k × 7 ce qui est
impossible puisque 31 est premier.
Donc, pour tout n ∈ N n2 + 3n + 2 ne divise pas 3n2 + 15n + 19
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Eléments de correction
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Exercice 4
˜
1. Supposons tout d’abord que a et b sont pairs. Alors il existe deux nombre k et k’ tels que a = 2k et b = 2k 0 .Donc
a2 + b2 = (2k)2 + (2k 0 )2 = 4k 2 + 4k 02 = 2(2k 2 + 2k 02 )
Ce qui prouve que a2 + b2 est pair en contradiction avec l’hypothèse.
Supposons maintenant que a et b sont impairs. Alors il existe deux nombre k et k’ tels que a = 2k + 1 et b =
2k 0 + 1.Donc
a2 +b2 = (2k+1)2 +(2k 0 +1)2 = (4k 2 +4k+1)+(4k 02 +4k 0 +1) = (4k 2 +4k)+(4k 02 +4k 0 )+2 = 2(2k 2 +2k+2k 02 +2k 0 +1)
Ce qui prouve que a2 + b2 est pair en contradiction avec l’hypothèse.
a et b ne peuvent pas avoir la même parité
2. D’après la question précédente, si un entier n est impair n est la somme de deux carrés a2 et b2 alors a et b n’ont
pas la même parité.
Supposons que a est pair et que b est impair. Alors il existe deux entiers k 0 et k 00 tel que a = 2k et b = 2k 00 + 1.On
obtient
n = a2 + b2 = (2k 0 )2 + (2k 00 + 1)2 = 4k 02 + (4k 002 + 4k 00 + 1) = 4(k 02 + k 002 + k 0 + k 00 ) + 1
En posant k = k 02 + k 002 + k 0 + k 00 on obtient bien la forme
n = 4k + 1
.
3. Supposons qu’il existe trois entiers a,b et k tels que a2 + b2 = 4k − 1. Donc a2 − b2 est impair . Alors, d’après
ce qui précède, il existe aussi un entier k 0 tel que a2 + b2 = 4k 0 + 1.En sommant ces deux égalités on a :
2(a2 + b2 ) = (4k − 1) + (4k 0 + 1) = Ak + 4k 0 = 4(k + k 0 )
ou encore
a2 + b2 = 2(k + k 0 )
Cela prouve que a2 − b2 est pair : c’est en contradiction avec le début du raisonnement donc :
il n’existe pas trois entiers a,b et k tels que a2 + b2 = 4k − 1.
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