On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7

SPECIALITE
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
b|c donc il existe un entier k 2 tel que c = bk 2
On sait également que pg cd (a, b) = 1 donc d’après le théorème de
Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tel que au + bv = 1
C ORRECTION DU B AC BLANC ( AVRIL 2008)
On doit montrer que ab|c c’est à dire que ab × K = c avec K ∈ Z
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p 4 − 1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.
En multipliant l’égalité : au + bv = 1 par c on a : acu + bcv = c.
On fait "apparaître" ab dans cette dernière égalité :
1. Montrer que p est congru à −1 ou à 1 modulo 3. En déduire que n est
divisible par 3.
a bk 2 u + b ak 1 v = c.
|{z}
|{z}
c
p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 donc il n’est pas divisible
par 3, donc p ≡ 1[3] ou p ≡ 2[3]. Dans les deux cas on a p 4 ≡ 1[3] c’est à
dire p 4 − 1 ≡ 0[3] donc n = p 4 − 1 est divisible par 3.
On a alors ab × K = c où K ∈ ZZ c’est à dire ab|c.
b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel
k tel que p 2 − 1 = 4k(k + 1), puis que n est divisible par 16.
On applique le a) :
3|n et 5|n de plus 3 ∧ 5 = 1 donc (3 × 5)|n c’est à dire 15|n.
On réapplique le a) :
16|n et 15|n de plus 15 ∧ 16 = 1 donc (16 × 15)|n c’est à dire 240|n.
3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de
p par 5, démontrer que 5 divise n.
5. Existe-t-il quinze nombres premiers p 1 , p 2 , ..., p 15 supérieurs ou
4
égaux à 7 tels que l’entier A = p 14 +p 24 +...+p 15
soit un nombre premier ?
Les restes possibles sont 1, 2, 3 et 4 (le reste ne peut être nul car p est un
nombre premier supérieur ou égal à 7).
Si p ≡ 1[5] alors p 4 ≡ 1[5].
Si p ≡ 2[5] alors p 4 ≡ 24 [5] c’est à dire p 4 ≡ 1[5].
Si p ≡ 3[5] c’est à dire p ≡ −2[5] on a alors p 4 ≡ 24 [5] donc p 4 ≡ 1[5].
Si p ≡ 4[5] c’est à dire p ≡ −1[5] on a p 4 ≡ 1[5].
Dans tous les cas, on a p 4 − 1 ≡ 0[5] c’est à dire n est divisible par 5.
4.
c
Supposons qu’il existe quinze nombres premiers p 1 , p 2 , ..., p 15 supé4
soit un nombre
rieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A = p 14 +p 24 +...+p 15
premier.
4
− 1 or d’après le 4b) on a p 4 − 1 est diA − 15 = p 14 − 1 + p 24 − 1 + ... + p 15
visible par 15 donc A − 15 est divisible par 15 c’est à dire A − 15 ≡ 0[15]
donc A ≡ 0[15] ainsi A est divisible par 15 donc il n’est pas premier.
CONTRADICTION.
a. Soient a, b et c trois entiers naturels.
Traduisons les hypothèses de l’énoncé :
a|c donc il existe un entier k 1 tel que c = ak 1
1