Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
\
$
CC
BY:
=
On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés.
Fonction puissance n-ième et racine n-ième
⋆
R → R
, pour n ∈ N∗ :
x 7−→ xn
réalisent une bijection de R+ dans R+ si n pair,
réalisent une bijection de R dans R si n impair,
En +∞ : divergent vers +∞ d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n > m et
x est grand, xn est très grand devant xm (on note parfois cela : xn ≫ xm ).
En 0 :
– « s’écrasent » sur l’axe horizontal d’autant plus que n est grand, ce qui signifie que si n > m
et x ≈ 0, xn est négligeable devant xm (on note parfois cela : xn ≪ xm ).
– la dérivée en 0 est nulle (tangente horizontale),
– un point d’inflexion en 0, si n est impair.
Fonction puissance entière
–
–
–
–
(
Les fonctions
3
2
1
0
−1
0
1
−1
−2
−3
Figure 1 – Les fonctions x 7→ x2 et x 7→ x5
Fonction puissance négative
Les fonctions
– sont strictement décroissante sur R+ .
(
1
R → R
, pour n ∈ N∗ .
x 7−→ x−n
– En +∞ : on a lim x−n = 0, tendent vers 0 d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que
+∞
si n > m et x grand, x−n est négligeable devant x−m (on note parfois cela : x1n ≪ x1m ).
– En 0+ : on a lim x−n = +∞ d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n > m
0+
et x ≈ 0, x−m est négligeable devant x−n (on note parfois cela :
dépend de la parité de n),
1
xm
≪
1
xn
). (en 0− le signe
6
5
4
3
2
1
0
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 2 – Les fonctions x 7→
1
x
et x 7→
1
x2
Fonction racines
cas pair Si n est pair, la fonction x 7→ xn est continue et croissante de R+ dans R+ . On peut donc
définir une fonction réciproque :
√
n
·:
(
R+ → R+
√
x 7→ n x.
Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par :
∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , xn = y ⇔ x =
√
n
y.
cas impair Si n est impair, la fonction x 7→ xn est continue et croissante de R dans R. On peut donc
définir une fonction réciproque, cette fois-ci définie sur R :
√
n
·:
(
R → R
√
x 7→ n x.
Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par :
∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , xn = y ⇔ x =
√
n
y.
Note: Attention avec la fonction puissance : la notation xa est réservée au cas où x > 0 et désigne dans
ce cas exp(a ln(x)).
2
En effet, si x ∈ R et si n est entier, on peut toujours définir xn par x
| × x ×{zx · · · × x}. Ainsi, la fonction
n fois
x 7→ xn est bien définie pour x ∈ R et n ∈ N en n’utilisant que le produit.
m
On a alors les relations xn+m = xn × xm et (xn ) = xnm .
En passant par l’inverse, on peut définir si (x 6= 0) et n ∈ N, x−n = x1n . Ainsi, la fonction x 7→ xk est bien
définie pour x ∈ R∗ et k ∈ Z en n’utilisant que le produit et le passage à l’inverse.
m
Les relations xn+m = xn × xm et (xn ) = xnm restent alors vraies.
p
1
La situation se complique si on veut définir x q pour p ∈ Z, q ∈ N et x < 0 : déjà −1 2 n’est pas défini
i 21
h
puisqu’il n’existe pas de solution à l’équation x2 = −1. De plus, si on considère (−1)2 , on a d’un côté :
h
h
i 12
i 12
p
(−1)2 = (−1)2 et de l’autre (−1)2 = (−1)1 = −1.
1
p
On se restreint donc à x > 0, et on définit x q pour p ∈ Z, q ∈ N : comme (xp ) q , c’est-à-dire comme la
solution de l’équation en y q = xp d’inconnuey (cette
a toujours
p équation
1 une solution unique).
p
1
1
p q
= x q . En effet, x q est la solution de l’équation y q = x
Notons que l’on a la relation : (x ) = x q
"
#q
#
"
1 p
1 pq
1 q p
(d’inconnue y), et on a donc :
xq
xq
= xq
=
= xp .
p
Ainsi, x q est parfaitement défini si x > 0, p ∈ Z et q ∈ N, par la composée de fonction puissance et de
réciproque de fonction puissance.√
Par contre, si on considère x 2 ou xπ , on ne
peut plusÎcrire cela en utilisant des fonctions puissances et
√
leur réciproque. On est donc amené à définir x 2 comme e 2 ln(x) .
On retiendra : ne pas écrire xa sans être assuré que x > 0, dans ce cas la notation xa désigne ea ln(x) .
Note: Pour une suite de la forme (un )vn il faut aussi systématiquement revenir à la forme exponentielle
pour calculer la limite.
Les propriétés de ces fonctions sont :
√
– en 0 : elles vérifient n 0 = 0, avec de plus tangente verticale en 0, plus n est grand, plus les
fonctions sont verticales,
√
– en +∞ : elles vérifient lim+∞ n x = +∞, d’autant plus vite que n est petit. Ce qui signifie que
√
√
√
√
si n > m, n x est négligeable devant m x (on note parfois cela : n x ≪ m x).
√
– en 1, on a n 1 = 1 et elles sont d’autant plus plates que n est grand.
3
2
1
0
0
1
2
Figure 3 – Les fonctions x 7→
3
3
√
√
x et x 7→ 3 x
⋆
Fonctions trigonométriques
Définition 1. On dit qu’une fonction f : D → R est T périodique si
"
#
∀x ∈ R, x ∈ D ⇐⇒ x + T ∈ D et f (x + T ) = f (x).
Autrement dit son ensemble de définition est invariant par translation de vecteur T et sa courbe
représentative aussi.
Dans ce cas on a par récurrence immédiate ∀n ∈ Z, f (x + nT ) = f (x).
Fonction sinus La fonction sinus est
– définie sur R, 2π périodique et impaire,
– sa dérivée vaut : sin′ (x) = cos(x).
– La tangente en 0 a pour coefficient directeur 1. Ce qui signifie que :
lim
x→0
sin(x)
= 1.
x
– La fonction est en-dessous de sa tangente pour x > 0 donc ∀x > 0, sin(x) < x.
– Tangente horizontale aux points tels que π2 π .
Fonction cosinus La fonction cosinus est
– définie sur R, 2π périodique et paire,
– sa dérivée vaut : cos′ (x) = − sin(x).
– La tangente en 0 est horizontale.
– On a :
cos(x) − 1
1
=−
2
x→0
x
2
lim
1
0
−1
Figure 4 – Fonctions cosinus et sinus
4
Fonction tangente
La fonction tangente est définie sur
R\
par
π
+ kπ |k ∈ Z
2
[ π
=
k∈Z
π
− + kπ, + kπ ,
2
2
sin x
.
cos x
Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition avec :
∀x, tel que cos(x) 6= 0,
tan x =
1
.
cos2 (x)
tan′ (x) = 1 + tan2 (x) =
En 0, la tangente est y = x :
tan x
=1
x
et la fonction est au dessus de sa tangente : ∀x > 0, tan(x) > x. Enfin, la fonction est impaire.
lim
x→0
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 5 – Fonction tangente
Valeurs à connaître
x
0
π
6
sin x
0
cos x
1
1
2
√
3
2
√
3
3
tan x
⋆
0
π
4
√
2
2
√
2
2
1
π
3
√
3
2
1
1
2
0
√
π
2
3 +∞
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonction arcsinus Notons s la restriction de la fonction sin à l’intervalle − π2 , π2 . Sur cet intervalle,
la fonction s est croisante strictement et continue à valeur dans [−1, 1]. Donc on peut définir sa fonction
5
réciproque :
arcsin :
(
[−1, 1] → − π2 , π2
x 7→ arcsin(x)
c’est une fonction continue et strictement croissante.
Elle est définie par :
π π
∀x ∈ − ,
, ∀y ∈ [−1, 1], sin(x) = y ⇐⇒ x = arcsin(y)
2 2
On a donc :
π π
, arcsin(sin(x)) = x
∀x ∈ − ,
2 2
et
∀y ∈ [−1, 1], sin(arcsin(y) = y.
Attention : la première relation a un sens si x ∈
/ − π2 , π2 , mais elle n’est pas vraie alors : par
exemple, arcsin(sin(3π))) = arcsin(0) = 0 6= 3π.
Proposition 1. La fonction arcsin est impaire.
Démonstration. Soit y ∈ [−1, 1], et soit x = arcsin(y) ∈ − π2 , π2 . On a : sin(−x) = − sin(x) = −y.
Comme −x ∈ − π2 , π2 , on peut composer par arcsinus pour obtenir : −x = arcsin(−y).
Note: La même démonstration montre que si f est impaire, f −1 est impaire.
Tableau de valeurs :
Application 1
y
0
1
2
arcsin(y)
0
π
6
√
√
3
2
1
π
4
π
3
π
2
2
2
Soit x ∈ R, exprimer arcsin(sin(x)) en fonction de x.
Proposition 2. La fonction arcsinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et
∀x ∈] − 1, 1[,
arcsin′ (x) = √
En particulier, on a
∀x ∈] − 1, 1[,
arcsin(x) =
Z
x
0
1
.
1 − x2
du
√
.
1 − u2
Démonstration. Voir la dérivation des bijections réciproques.
Fonction arccosinus On note c la restriction de la fonction cosinus à [0, π]. Sur cet intervalle, la
fonction c est décroissante de [0, π], dans [−1, 1]. On peut donc définir la bijection réciproque :
arccos :
(
[−1, 1] → [0, π]
x 7→ arccos(x)
c’est une fonction continue et strictement décroissante.
6
1
0
−1
0
1
−1
Figure 6 – Fonction sin et arcsin
Elle est définie par :
∀x ∈ [0, π] , ∀y ∈ [−1, 1], cos(x) = y ⇐⇒ x = arccos(y)
On a donc :
∀x ∈ [0, π] , arccos(cos(x)) = x
et
∀y ∈ [−1, 1], cos(arccos(y) = y.
Cette fois encore, la première relation est fausse dès que l’on sort de l’intervalle [0, π].
Tableau de valeurs :
y
arccos(y)
Application 2
Application 3
−1 −
π
√
3
2
5π
6
−
√
2
2
3π
4
− 12
0
1
2
2π
3
π
2
π
3
√
2
2
√
3
2
1
π
4
π
6
0
Soit x ∈ R, donner l’expression de arccos(cos(x))
Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) = π2 .
Proposition 3. La fonction arccosinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et
∀x ∈] − 1, 1[,
1
arccos′ (x) = − √
.
1 − x2
7
En particulier, on a
∀x ∈] − 1, 1[,
arccos(x) =
π
−
2
Z
x
0
√
du
.
1 − u2
Note: La fonction arccos n’est ni paire ni impaire.
3
2
1
0
−1
0
1
2
3
−1
Figure 7 – Fonction cos et arccos
Fonction arctangente Soit t la restriction de la fonction tangente à − π2 , π2 , sur cet intervalle t
est strictement croissante et continue, à valeur dans R. On peut donc définir sa bijection réciproque :
arctan :
(
R → − π2 , π2
x 7→ arctan(x)
c’est une fonction continue et strictement croissante.
Elle est définie par :
π π
, ∀y ∈ R, tan(x) = y ⇔ x = arctan(y)
∀x ∈ − ,
2 2
On a donc :
π π
∀x ∈ − ,
, arctan(tan(x)) = x
2 2
et
∀y ∈ R, tan(arctan(y) = y.
Proposition 4. La fonction arctan est impaire.
8
Tableau de valeurs :
y
arctan(y)
0
0
√
3
3
π
6
1
√
π
4
π
3
3 +∞ −∞
π
−π
Proposition 5. La fonction arctangente est dérivale sur R, avec :
arctan′ (x) =
∀x ∈ R,
Application 4
x2
1
.
+1
Prouver que
∀x > 0,
arctan(x) + arctan
1
x
=
π
.
2
3
4
5
Que se passe t’il pour x < 0 ?
6
5
4
3
2
1
0
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
6
7
8
9
10
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 8 – Fonction tangente et arctangente
⋆
Logarithme et exponentiel
Logarithme
Définition 2. Le logarithme népérien est l’unique primitive de la fonction x 7→
]0, +∞[, qui s’annule en 1. C’est donc l’application ln : ]0, +∞[→ R définie par
∀x > 0,
ln(x) :=
Z
1
9
x
dt
.
t
1
x
sur l’intervalle
Le logarithme népérien est donc une application continue, strictement croissante et indéfiniment
dérivable sur l’intervalle ]0, +∞[. En particulier, on a
1
.
x
Proposition 6. Le logarithme d’un produit est la somme des logarithme.
ln′ (x) :=
∀x > 0,
∀x > 0,
∀y > 0,
ln(xy) = ln(x) + ln(y).
(1)
Démonstration. Soit x > 0, la fonction y > 0 7→ ln(xy) − ln(y) admet pour dérivée
cette fonction est constante et égale à f (1) = ln(x).
x
xy
− y1 = 0. Donc
Note: Cette propriété est fondamentale : dans une expression avec un ln, il faut toujours se demander si
on peut l’utiliser. Attention à bien vérifier que x et y sont strictement positifs.
Remarque: Il faut que Comme ln(1) = 0, le logarithme de l’inverse est l’opposé du logarithme.
∀x > 0,
ln
1
x
= − ln(x).
Plus généralement, le logarithme d’un quotient est la différence des logarithmes.
∀x > 0,
∀y > 0,
ln
x
y
= ln(x) − ln(y).
et la logarithme d’une puissance est
∀x > 0,
∀n ∈ Z,
ln(xn ) = n ln(x).
Le logarithme népérien n’est pas la seule application vérifiant la propriété 1. En effet, elle est vérifiée
par les logarithmes définis pour d’autres bases de la façon suivante :
Définition 3. Le logarithme en base a > 1 est l’application loga :]0, +∞[→ R définie par
∀x > 0,
loga (x) :=
ln(x)
.
ln(a)
Le logarithme en base 10 sera simplement noté log ou Log au lieu de log10 .
Proposition 7. limx→0+ ln(x) = −∞ et limx→+∞ ln(x) = +∞. La fonction ln est donc bijective de
R+∗ dans R et de même pour a > 1, le logarithme loga :]0, +∞[→ R est une application bijective et
strictement croissante.
La fonction ln est en-dessous de sa tangente en 1 :
Proposition 8. On a : ∀x > 0, x −
x2
2
< ln(1 + x) < x.
Démonstration. En effet les fonctions
φ : x 7→ ln(1 + x) − x, et ψ(x) : x 7→ ln(1 + x) − x +
x2
2
sont dérivables, avec
φ′ (x) =
−x
1
x2
1
−1=
< 0, et ψ ′ (x) =
−1+x=
> 0.
1+x
1+x
1+x
1+x
On a donc φ strictement décroissante φ(0) = 0, tandis que ψ est strictement croissante avec ψ(0) = 0,
donc ∀x > 0, φ(x) > 0, et ψ(x) < 0.
10
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
Figure 9 – Fonction x 7→ ln(x)
Exponentielle réelle
Définition 4. L’exponentielle exp : R →]0, +∞[ est la bijection réciproque du logarithme népérien
ln :]0, +∞[→ R.
Pour simplifier, on introduit le nombre e défini par e := exp(1), e est donc l’unique solution de
ln(x) = 1. On a la valeur numérique e = 2.718281828, puis on introduit la notation :
∀x ∈ R,
ex := exp(x).
Cette notation est justifié car on a ∀x ∈ R,
ln(ex ) = x.
L’exponentielle est strictement croissante. De plus, limx→−∞ ex = 0 et limx→+∞ ex = +∞.
Proposition 9. L’exponentielle d’une somme est le produit des exponentielles.
∀(x, y) ∈ R2 ,
ex+y = ex × ey .
(2)
En, conséquence :
1
= e−x .
ex
Et plus généralement, l’exponentielle d’une différence est le quotient des exponentielles.
∀x ∈ R,
∀(x, y) ∈ R2 ,
ex−y =
ex
.
ey
Démonstration. ex+y est l’unique solution de ln(ex+y ) = x + y, or on voit que ex ey est une solution
de cette équation.
11
Proposition 10. L’exponentielle réelle est une application continue et indéfiniment dérivable sur R.
De plus, on a
∀x ∈ R,
exp′ (x) = exp(x).
Si f : I → C est dérivable en a ∈ I , alors la fonction g : x 7→ ef (x) est dérivable en a et on a
d f (x)
(e
)(a) = g′ (a) = f ′ (a)ef (a) .
dx
La fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente :
Proposition 11. On a : ∀x 6= 0, 1 + x < ex .
Démonstration. On pose φ(x) = ex − 1 − x, alors φ′ (x) = ex − 1 > 0 pour x > 0 et φ′ (x) < 0 pour
x < 0, donc ∀x 6= 0φ(x) > φ(0) = 0.
Croissance comparée logarithme/exponentielle/puissances
Proposition 12. Pour α > 0, on a
ln(x)
= 0,
x→+∞ xα
lim
ex
= +∞
x→+∞ xα
lim xα ln(x) = 0,
lim xα ex = 0.
lim
x→0+
x→−∞
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figure 10 – Fonction exponentielle
Exponentiel complexe
Définition 5. Si z ∈ C, avec z = a + ib, on appelle exponentielle du nombre complexe z, le
nombre complexe ea eib noté ez . Cette définition permet donc de prolonger l’exponentielle au nombres
′
′
complexes, en gardant la propriété ez+z = ez ez .
Attention, si a ∈ C, ea = ea+2πi , on ne peut donc pas définir le logarithme d’un nombre complexe
non nul en posant ln(ρeiθ ) = ln(ρ) + iθ, parce que θ est défini à 2π près.
12