Probabilites

Probabilités
I) Vocabulaire
1) Vocabulaire de base
Définitions :
• Une expérience dont on connait tous les résultats possibles sans savoir avant l’expérience le résultat qu’on
obtiendra est appelée expérience aléatoire.
• Chacun des résultats possibles lors d’une expérience aléatoire est appelé une issue.
• Un événement est constitué d’une ou de plusieurs issues.
• L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers.
Exemples : Dans une boîte, il y a 4 boules bleues, 5 boules vertes et 1 boule jaune,
soit un total de 10 boules. Tirer au hasard une boule dans la boîte et noter sa couleur
est une expérience aléatoire.
Cette expérience aléatoire possède 3 issues possibles : on tire soit une boule bleue,
soit une boule verte, soit une boule jaune.
On note B l’événement "la boule tirée est bleue". L’événement "la boule tirée n’est
pas bleue" est l’événement contraire de B. On le note "non B" ou "B".
2) Evénement certain, événement impossible
Un événement qui se produit à chaque fois a 100% de chances de se produire. On dit que c’est un événement
certain.
Un événement qui ne se produit jamais a 0% de chances de se produire. On dit que c’est un événement impossible.
3) Probabilité
La probabilité d’un événement A représente les chances que l’événement se réalise lors d’une expérience aléatoire.
Cette probabilité se pote p(A) : c’est un nombre compris entre 0 et 1.
Lors d’une expérience aléatoire, on peut souvent calculer la probabilité d’un événement A de la façon suivante :
p(A) =
nombre de cas favorables à la réalisation de A
nombre de cas possibles
Exemple : On considère comme expérience aléatoire le lancer d’un dé à 6 faces et on
s’intéresse à l’événement B : "le nombre sorti est un nombre pair".
Il y a 3 lancers qui réalisent l’événement P : la sortie d’un 2, d’un 4 ou d’un 6. Il y a
6 lancers possibles en tout. On a donc :
p(B) =
3
1
=
6
2
II) Probabilités, arbres et fréquences
1) Arbres
On considère l’expérience aléatoire suivante : on met dans une urne 2 boules numérotées 1, 1 boule numérotée 2
et 3 boules numérotées 3.
1
On peut schématiser la situation grâce à l’arbre des possibles suivant :
Nous allons "pondérer" cet arbre en faisant apparaitre pour chaque issue la probabilité qui correspond.
2 boules parmi 6 portent le numéro 1 donc il y a 2 chances sur 6 d’obtenir 1. La
2
1
1
probabilité de sortie du 1 est soit . La probabilité de sortie du 2 est et celle de
6
3
6
1
3
sortie du 3 est soit
6
2
2) Evénements incompatibles, événements contraires
Défiition : Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Propriété : Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l’un
ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Exemple : dans l’exemple du II.1, les événements A "sortie du 1" et B "sortie d’un nombre pair" sont
incompatibles. La probabilité de la sortie du 1 ou d’un nombre pair est :
p(A) + p(B) =
1 1
1
+ =
3 6
2
Propriété : La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire vaut 1 :
p(A) + p(A) = 1
Exemple : dans l’exemple du II.1, le contraire de l’événement A "sortie du 1" est l’événement non A (ou A)
"sortie d’un numéro autre que 1".
Sa probabilité est :
p(A) = 1 − p(A) = 1 −
1
2
=
3
3
2
3) Fréquences et probabilités
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement
devient proche de sa probabilité.
Exemple : au jeu de pile ou face, l’événement P "sortie de pile" a pour probabilité 0,5. Ainsi si on réalise 1000
lancers d’une pièce équilibrée, on n’obtiendra pas forcément 500 fois Pile, mais la fréquence d’apparition de Pile
sera proche de 0,5.
III) Expériences à deux épreuves
On considère une expérience constituée de deux épreuves successives. On dispose pour cela de deux urnes :
• dans l’urne 1, on place 3 boules bleues et 1 boule rouge.
• dans l’urne 2, on place 4 boules jaunes, 3 boules vertes et 2 boules noires.
L’expérience est décomposée en deux étapes : tout d’abord on tire une boule dans l’urne 1 et on note sa couleur,
puis on tire une boule dans l’urne 2 et on tire sa couleur. On a donc :
Epreuve 1 :
Epreuve 2 :
Remarque :
4
3 1
+ = = 1;
4 4
4
4 3 2
9
• pour l’épreuve 2, on remarque que + + = = 1.
9 9 9
9
• pour l’épreuve 1, on remarque que
On peut construire l’arbre suivant :
Remarque : la somme des probabilités des chemins qui partent d’un même noeud est égale à 1.
Propriété : Dans un arbre, la probabilité du résultat (ou issue) auquel conduit un
chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
3
Exemple :
3 4
3×4
1
× =
= .
4 9
4×3×3
3
1
On obtient donc l’issue (B,J) avec la probabilité .
3
P (B, J) =
4