Cycle de transition – Année 2015

école supérieure d’informatique, électronique, automatique
1A – Cycle de transition – Année 2015-2016
Renforcement numérique : nombres complexes et trigonométrie
Exercice 1
On se place dans le plan usuel muni d’un repère orthonormal direct (O ; ⃗u, ⃗v ) d’unité 6 cm.
Le cercle trigonométrique de ce repère sera noté C .
1.a. Tracer le cercle C et y placer les réels suivants :
π
π
π
π
0
6
4
3
2
1.b. Indiquer le cosinus et le sinus de chacun de ces réels sur les axes de coordonnées.
2.a. Calculer les opposés de tous les réels de la question 1.a. et les placer sur C .
2.b. Comparer les valeurs trouvées à la question 1.b. au cosinus et au sinus de ces réels.
2.c. Pour tout réel x, que vaut cos(−x) ? que vaut sin(−x) ?
3.a. Dans le quadrant supérieur gauche, marquer les réels qui correspondent aux angles
supplémentaires à ceux représentés par les réels de la question 1.a., puis indiquer les valeurs
des cosinus et des sinus associés.
3.b. Pour tout réel x, que vaut cos(π − x) ? que vaut sin(π − x) ?
4.a. Compléter le dernier quadrant.
4.b. En s’appuyant sur le dessin obtenu, préciser les valeurs de cos(π + x) et sin(π + x) en
fonction de cos x et de sin x, pour tout réel x.
5. Simplifier, pour tout réel x, les quantités suivantes :
)
(π
)
(π
)
(π
+x
sin
+x
cos
−x
cos
2
2
2
sin
(π
2
−x
)
Exercice 2
(
π)
Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x) = sin x −
. Sa courbe dans un repère
3
orthonormé est notée C.
1. Déterminer les abscisses de tous les points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
2. Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels C admet une tangente horizontale.
Exercice 3
Pour tout réel t, on pose u(t) =
√
(
2 sin
)
π
3
t+
.
2
4
4π
?
3
2. Démontrer que la fonction 4u′′ + 9u est la fonction nulle.
1. Pourquoi la fonction u est-elle périodique de période
Exercice 4
On considère un signal électrique en régime sinusoïdal que l’on modélise par une fonction x
définie pour tout t de R par :
x(t) = A sin(ωt + φ) ,
où le réel A est l’amplitude du signal, le réel φ est la phase à l’origine et le réel ω est la
pulsation du signal. La pulsation ω et la période T sont liées par l’égalité ωT = 2π.
On donne les représentations graphiques de sept fonctions x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 et x7 qui
modélisent sept tensions électriques u en régime sinusoïdal. Déterminer l’amplitude Ak , la phase
à l’origine φk et la pulsation ωk du signal xk pour tout k de J1, 7K. Indication : toutes les phases
à l’origine sont des angles remarquables.
u
1
u = x1 (t)
O
−4
−3
−2
t
−1
1
2
3
4
−1
u
2
u = x2 (t)
1
t
−5
−4
−3
−2
O
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
u
1
u = x3 (t)
t
−4
−3
−2
−1
O
−1
1
2
3
4
u
2
u = x4 (t)
1
t
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
−1
−2
u
1
u = x5 (t)
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
t
O
1
2
3
4
5
6
7
−1
u
1
u = x6 (t)
O
−3
−2
t
−1
1
2
3
−1
u
2
1
t
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
−1
−2
u = x7 (t)
Exercice 5
Soit x un nombre réel tel que cos x = 0,6 et sin x = 0,8.
1. Donner la valeur de cos(−x), la valeur de sin(π + x) et la valeur de cos
(π
2
)
−x .
2. Quelle est la valeur de tan x ?
Exercice 6
1. Après avoir calculé
π π
+ , déterminer les valeurs exactes de :
3
4
( )
( )
7π
7π
cos
sin
.
12
12
(π)
π
π
= 2 × , calculer la valeur exacte de cos2
.
6
12 ( )
12
π
2.b. En déduire la valeur exacte de cos
.
12
2.a. En remarquant que
Exercice 7
On pose z = 2 − 3i, z ′ = −1 + i et z ′′ =
complexes suivants.
z + z′
1
z′
z − z′
2z − 3z ′
√
3 − i. Écrire sous forme algébrique les nombres
(z ′′ )3
2
z ′′
zz ′
z2
z 2 + (z ′ )2
Exercice 8
On note (E) l’équation (2 − i)z = 2 − 6i à une inconnue complexe z.
1.a. Résoudre (E) dans l’ensemble C ; on notera z1 la solution trouvée.
1.b. Donner la forme algébrique de z1 puis la forme exponentielle de z1 .
2. Soit z2 le nombre complexe défini par l’égalité z2 = e−i 2 × z1 . Déterminer la forme
algébrique et la forme exponentielle de z2 .
π
Exercice 9
√
On considère les complexes z1 et z2 définis par z1 = −3 + 3i et z2 = −1 + i 3.
1. Calculer le produit z1 z2 sous forme algébrique.
2.a. Déterminer le module et un argument de z1 ; en déduire la forme exponentielle de z1 .
2.b. Reprendre la question 2.a. pour le complexe z2 .
2.c. En déduire la forme exponentielle du produit z1 z2 .
3. À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs exactes de cos
(
17π
12
)
(
et sin
)
17π
.
12
Exercice 10
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗u, ⃗v ).
Pour tout n de N, on note Mn le point d’affixe zn défini par z0 = 1 et zn+1 =
On définit enfin la suite (rn ) par rn = |zn | pour tout entier naturel n.
(
√ )
3
3
+i
zn .
4
4
1. Donner la forme algébrique de z0 , de z1 , de z2 et de z3 .
√
3
3
2. Donner la forme exponentielle de + i
.
4
4
√
3
3.a. Montrer que la suite (rn ) est géométrique de raison
.
2
3.b. En déduire l’expression de rn en fonction de tout entier naturel n.
3.c. Que devient la longueur OMn lorsque n tend vers +∞ ?
Exercice 11
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; ⃗u, ⃗v ) d’unité graphique 1 cm. Les
points A, B et C sont définies par leurs affixes respectives zA , zB et zC de la manière suivante.
zA = 1
zB = 2 + 3i
zC =
4 + 3i
1 + 2i
1.a. Faire une figure en respectant les unités et placer les points A et B.
1.b. Calculer la distance AB.
1.c. Montrer l’égalité suivante : zC = 2 − i.
2. Donner l’écriture exponentielle de zC − zA .
√
3.a. Déterminer et tracer l’ensemble E des points d’affixe z qui vérifient |z − zA | = 2 2.
3.b. Vérifier que les points B et C appartiennent à l’ensemble E .
Exercice 12
Soit g la fonction définie pour tout réel t par g(t) = (1 + cos t) sin t.
1. Résoudre l’équation g(t) = 0 dans R.
2. Étudier la parité et la périodicité de la fonction g.
3. Calculer la dérivée de g et factoriser g ′ (t) pour tout t de R.
4. Dresser le tableau de variations de g sur [0, π] puis tracer la courbe représentative de g.
Exercice 13
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
A=
3i
2 − 5i
B = 1 − 3i −
2+i
3i
C = 2 + i − (5 − i)
Exercice 14
1. Soit a et b deux réels non tous les deux nuls et soit ω un réel quelconque. Montrer que,
pour tout t de R, on a a cos(ωt) + b sin(ωt) = A cos(ωt − φ) avec A = |a + ib| et φ = arg(a + ib).
2. Pour chacun des cas ci-après, écrire f (t) sous la forme A cos(ωt − φ) pour tout réel t, en
précisant les valeurs des réels A, ω et φ.
( )
( )
( )
( )
√
t
t
3t
3t
f (t) = cos
− 3 sin
f (t) = 2 sin(2t)
f (t) = cos
+ sin
3
3
2
2
Exercice 15
Pour tout nombre complexe z, on pose P (z) = z 3 − 8z 2 + 24z − 32.
1.a. Calculer P (4).
1.b. Déterminer deux réels b et c vérifiant P (z) = (z − 4)(z 2 + bz + c) pour tout z de C.
1.c. Quel est l’ensemble des nombres complexes z solutions de l’équation P (z) = 0 ?
On munit le plan usuel d’un repère orthonormal direct (O ; ⃗u, ⃗v ). Soit A, B et C les points
d’affixes respectives zA , zB et zC vérifiant zA = 4, zB = 2 + 2i, zC = 2 − 2i.
2. Écrire zB et zC sous forme exponentielle.
3.a. Calculer les distances AB et AC.
3.b. Quelle est la nature du quadilatère ABOC ? Justifier.
4. Déterminer l’affixe zD du point D tel que le quadrilatère OADB soit un parallélogramme.
Exercice 16
On définit quatre nombres complexes de la manière suivante.
√
√
√
z2 = 1 + i
z3 = 1 − i 3
z1 = 6 − i 2
z4 = −6i
1. Donner la forme exponentielle de chacun de ces nombres complexes.
2. Donner la forme algébrique du complexe z2 × z4 , puis celle du complexe
z1
.
z2
3. Que vaut le cube de z3 ?
Exercice 17 : quelques méthodes importantes
1. Que vaut eix + e−ix pour tout réel x ? Même question pour eix − e−ix . Les égalités
démontrées sont connues sous le nom de formules d’Euler.
2. Pour tout réel θ, calculer le module de 1 + eiθ puis le module de 1 − eiθ . On pourra utiliser
la technique dite de factorisation par l’angle moitié.
3. Calculer cos(nπ) et sin(nπ) pour tout entier relatif n. On effectuera dans un premier
temps un raisonnement par récurrence.
Exercice 18
Lors de l’étude d’un circuit en régime sinusoïdal forcé, des grandeurs comme l’intensité ou
la tension peuvent être modélisées par une fonction a, définie par a(t) = A sin(ωt + ϕ) pour
tout réel t ; les réels A, ω et ϕ désignent respectivement l’amplitude, la pulsation et la phase à
l’origine de la grandeur a. On associe alors à cette grandeur a(t) le nombre complexe noté A,
dont le module vaut A et l’argument vaut ϕ.
Les émissions de télévision numérique commerciales à la norme DVB-S s’effectuent avec une
modulation à quatre états de phase désignée par l’abréviation QPSK (Quaternary Phase Shift
Keying). Cette méthode de transmission numérique consiste à transmettre les bits de données
deux par deux : 00, 01, 10 ou 11. Pour cela, on utilise la somme de deux tensions sinusoïdales
en quadrature de phase.
π
pour tout réel t.
On transmet 00 par la tension u1 définie par u1 (t) = sin(ωt) + sin ωt +
2
√
π
1.a. Vérifier : ∀t ∈ R, u1 (t) = 2 sin ωt +
.
4
1.b. Donner la forme exponentielle de U1 puis sa forme algébrique.
1.c. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, placer le point A1 d’affixe U1 .
Les données 01, 10 et 11 sont transmises par les tensions représentées respectivement par
les complexes U2 , U3 et U4 définis ci-après.
π
π
U2 = ei 2 U1
π
U3 = ei 2 U2
U4 = ei 2 U3
2.a. Donner la forme exponentielle puis la forme algébrique des complexes U2 , U3 et U4 .
2.b. Représenter les points A2 , A3 et A4 d’affixes respectives U2 , U3 et U4 .
2.c. Donner, pour tout réel t, une expression des tensions u2 (t), u3 (t) et u4 (t) en fonction
de cos(ωt) et sin(ωt).
Exercice 19
1. Rappeler les formules d’Euler et la formule du binôme de Newton.
2.a. Pour tout réel x, linéariser cos2 x sin x, c’est-à-dire transformer le produit cos2 x sin x
en une somme de fonctions trigonométriques.
2.b. Retrouver les formules de linéarisation de cos2 x et sin2 x à l’aide des formules d’Euler.
Z π
6
cos3 x dx après avoir linéarisé l’intégrande.
3. Donner la valeur de
0
Exercice 19 bis
Calculer chacune des intégrales suivantes.
Z π
Z π
I=
sin(5t) dt
J=
sin2 (3x) dx
−π
Z
K=
−π
π
3
Z
L=
π
4
1
dt
tan t
π
2
(cos2 x)(sin x) dx
0
π
4
Z
M=
π
6
tan2 x dx
Exercice 20
Cocher la case correcte : vrai ou faux ?
vrai
faux
1. Tout réel x de ] − ∞, 0[ a un argument égal à π.
2. Le conjugué du nombre −2 − i est le nombre 2 + i.
5. Le conjugué du nombre 2ei 4 est égal à −2ei 4 .
6. On a sin(π − x) = sin x pour tout réel x.
8. La fonction cosinus est une fonction paire.
√
9. Le module du nombre complexe 4 3 + 4i vaut 8.
10. La dérivée de la fonction sin est la fonction cos.
11. Il existe un réel x vérifiant sin x = cos x.
12. L’ensemble de définition de la fonction tangente est R.
13. La dérivée de la fonction cos est la fonction sin.
3. On a l’égalité cos
2π
3
1
= .
2
4. On a l’égalité i2015 = i.
π
π
7. La partie imaginaire du complexe
14. On a l’égalité 1 + i =
√
1
est égale à −1.
i
π
2ei 4 .
15. Le module du nombre −5 + 12i vaut
√
119.
16. Pour tout z de C, le nombre z × z̄ est un réel positif ou nul.
17. Un argument du nombre
√
3 − i est
−π
.
3
18. Pour tout réel y, un argument du nombre iy est
π
.
2
Exercice 21 : équations du second degré dans C
1. Pour Z dans C, on appelle racine carrée complexe de Z tout complexe z vérifiant z 2 = Z.
Montrer que 1 + i et −1 − i sont des racines carrées complees de 2i.
2. Quelles sont les racines carrées complexes de 0 ? de 1 ? de −1 ?
3.a. On considère deux nombres complexes z et Z
x, y, X et Y dans R. Montrer :
 2
 x − y2 =
2
2xy =
z = Z ⇐⇒
 2
x + y2 =
vérifiant z = x + iy et Z = X + iY avec
X
Y
√
X 2 + Y 2.
3.b. Utiliser l’équivalence précédente pour calculer les racines carrées complexes de 5 + 12i.
4. Déterminer de même les racines carrées complexes de i, puis de −8 − 6i.
5.a. Soit a, b et c trois nombres complexes tels que a 6= 0. On pose ∆ = b2 − 4ac et on
note δ l’une des racines carrées complexes de ∆. Démontrer :
−b + δ
−b − δ
2
z−
= 0.
az + bz + c = 0 ⇐⇒ z −
2a
2a
5.b. En déduire les solutions complexes de l’équation z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0.
6. Résoudre dans C l’équation z 2 + iz + 2 = 0, puis l’équation (1 + i)z 2 − (3 + i)z − 6 + 4i = 0.
Exercice 22
On pose z =
p
2+
p
√
√
3 + i 2 − 3.
1. Calculer la forme algébrique de z 2 , puis donner sa forme exponentielle.
2. Quelle relation lie arg z et arg(z 2 ) ? En déduire la forme exponentielle de z.
π
π
3.a. Donner alors les valeurs de cos
et sin
.
π
12
12
3.b. Que vaut tan
?
12
Exercice 23
Simplifier les nombres complexes suivants.
!12
√
11
3−i
2 − 3i
z1 =
z2 =
1+i
3 + 2i
z3 =
1
i
√ +√
2
2
2015
(1 + i)9
z4 =
(1 − i)7
Exercice 24
Déterminer une racine carrée complexe de chacun des nombres suivants.
A = 7 + 24i
E = 16
B = −9
√
F = 1 + 2i 2
C = −i
D = −15 + 8i
√
G = 7 − 6i 2