M1 Analyse Fonctionnelle Une introduction au cours

Université de Nantes
Département de Mathématiques
Maı̂trise de Mathématiques
M1
Analyse Fonctionnelle
Une introduction au cours
Année 2000-2001
A. Morame et X. P. Wang
E.Mail : [email protected] et [email protected]
Résumé
Ce manuel n’est pas le polycopié du cours d’Analyse Fonctionnelle de M1.
Il a pour but de rappeler les notions essentielles vues en D.E.U.G. et en Licence de
Mathématiques qui interviennent couramment dans le cours de Maı̂trise d’Analyse
Fonctionnelle et dans les Exercices du même cours.
Les parties de ce cours qui ont un lien immédiat avec ces rappels seront juste
évoqués, quand leur définition ne nécessite que ce qui a été déjà acquis en Licence.
Les démonstrations des résultats vues par tous les étudiants issus de la Licence
1999/2000 de Nantes, où qui seront sûrement vues dans le cours de M1 cette année,
ne seront pas dévéloppées.
Seules les démonstrations des cours optionnels de la Licence de Mathématiques
de Nantes seront esquissées.
Le manuel de référence du Cours de M1 est le livre de H. Brezis [3] et [4], on
peut consulter aussi celui de W. Rudin [9] dont le niveau est entre la Licence et la
Maı̂trise et qui est moins complet pour le cours de M1.
Table des matières
1 Les
1.1
1.2
1.3
Préliminaires indispensables
3
De la Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Quelques propriétés des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Quelques bonnes surprises et “gags”
2.1 Sur la continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sur les formes linéaires et la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Les fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
19
21
3
22
22
29
32
36
37
Résultats des cours optionnels de la Licence
3.1 Quelques rappels sur l’intégrale de Lebesgue .
3.2 Série de Fourier “à la mode Maı̂trise” . . . . .
3.3 Transformation de Fourier : un aperçu . . . .
3.4 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . .
3.5 Les polynômes orthogonaux . . . . . . . . . .
4 Plan du cours de M1 1999/2000
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40
2
1
Les Préliminaires indispensables
1.1
De la Topologie
Nous rappelons que le manuel de référence de la topologie générale est le livre de G.
Choquet [6], (ou J. Dixmier [7]), on peut aussi consulter les ouvrages du niveau d’Analyse
Fonctionnelle du niveau de la Licence de Math. [10], [12] et [11].
Définition 1.1 Si E est un ensemble, une topologie sur E est la donnée d’un ensemble
O(E) de parties de E, (c’est-à-dire dont les éléments sont des sous-ensembles de E), ces
parties de E, éléments de O(E), sont appelées les ouverts de E et doivent satisfaire aux
trois propriétés suivantes :
i) Toute union (finie ou non) d’ouverts est un ouvert
ii) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert
iii) E et l’ensemble vide ∅ sont des ouverts
Dans ce cas, le couple (E, O(E)) est appelé espace topologique.
Si (E, O(E)) est un espace topologique, une partie A de E, A ⊂ E, est dite un
fermé de E si et seulement si son complémentaire dans E, E \ A est un ouvert.
Des égalités bien connues
\
\
[
[
E \ Ai = (E \ Ai ) et E \ Ai = (E \ Ai ),
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
on déduit des propriétés des ouverts celles ci-dessous des fermés :
a) Toute union finie de fermés est un fermé
b) Toute intersection (finie ou non) de fermés est un fermé
c) E et l’ensemble vide ∅ sont des fermés
Si (E, O(E)) est un espace topologique et x un point de E, x ∈ E, un voisinage de
x est un ouvert contenant x; une base de voisinage de x est un sous-ensemble B de
O(E) tel que pour tout voisinage Vx de x il existe B ∈ B inclus dans Vx : B ⊂ Vx .
Si A est une partie de E, A ⊂ E, la fermeture de A est le plus petit fermé contenant
A, il est noté A et il est donné par
\
A=
F
F ∈F (E), A⊂F
si F (E) désigne l’ensemble de tous les fermés de E.
L’intérieur de A, noté Ȧ, est le plus grand ouvert contenu dans A, il est donné par
[
Ȧ =
O
O∈O(E), O⊂A
Une partie A de E est dite dense dans E si et seulement si A = E.
3
Définition 1.2 Si (E, O(E)) et (H, O(H)) sont deux espaces topologiques et f : E 7→ H
une application de E dans H, on dit que f est continue au point e ∈ E si et seulement
si, pour tout voisinage Wf (e) de f (e) il existe un voisinage Ve de e tel que f (Ve ) ⊂ Wf (e) .
Si f est continue en tout point de E on dit seulement que f est une application
continue de E dans H.
Le théorème de caractérisation des applications continues est le suivant.
Théorème 1.3 Soit (E, O(E)), (H, O(H)) deux espaces topologiques et f : E 7→ H
une application de E dans H.
Alors f est continue si et seulement si l’une des deux propriétés suivantes est satisfaite :
i) Pour tout ouvert O de H, O ∈ O(H), f −1 (O)
est un ouvert de E, f −1 (O) ∈ O(E).
ii) Pour tout fermé F de H, f −1 (F ) est un fermé de E.
Nous rappelons que si f : E 7→ H est une application et si A ⊂ E et B ⊂ H, alors
f (A) = {y ∈ H; ∃a ∈ A t.q. f (a) = y} = {f (a); a ∈ A}
est l’image de A par f et
f −1 (B) = {x ∈ E t.q. f (x) ∈ B} est l’image inverse de B par f.
Si (E, O(E)) est un espace topologique et si A ⊂ E est une partie de E, si on définit
O(A) par O(A) = {A ∩ O; O ∈ O(E)}, alors (A, O(A)) est un espace topologique, on
dit que la topologie ainsi définie sur A est celle induite par E.
Tout ouvert de A n’est pas forcément un ouvert de E, sauf si A est un ouvert de E.
De même tout fermé de A n’est pas forcément un fermé de E, sauf si A est un fermé
de E.
Dorénavant on dira que E est un espace topologique, à la place de (E, O(E)) est un
espace topologique.
Définition 1.4 Deux espaces topologiques E et H sont dits homéomorphes s’il existe
une bijection entre E et H qui soit continue ainsi que son inverse. Si f : E 7→ H est
une telle bijection, alors
i) Pour tout A ⊂ E, f (A) est un ouvert de H si et seulement si A est un ouvert
de E
ii) Pour tout A ⊂ E, f (A) est un fermé de H si et seulement si A est un fermé
de E
Rappelons qu’un espace topologique E est dit séparé si et seulement si, pour tout
couple d’éléments distincts de (a, b) de E
il existe un voisinage Va de a et un Vb de b t.q. Va ∩ Vb = ∅.
Une suite d’éléments de E est une application s : N 7→ E que l’on note par son
image (en ) = (en )n∈N , si s(n) = en , ∀ n ∈ N.
4
Une sous-suite de (en ) est une suite s ◦ p : N 7→ E où p : N 7→ N est une
application strictement croissante, la sous-suite se note alors (ep(j) ) = (ep(j) )j∈N .
Une suite (en ) d’un espace topologique E est dite convergente de limite e, (e ∈ E),
si pour tout voisinage Ve de e, il existe M ∈ N tel que ∀n > M, en ∈ Ve .
Si de plus E est séparé, la limite , (si elle existe), est forcément unique.
Définition 1.5 Un espace topologique E est dit compact s’il est séparé et si pour tout
[
recouvrement de E, E =
Oi par une famille {Oi; i ∈ I} ouverts de E, on peut en
i∈I
[
extraire un recouvrement fini : E =
Oi où J est un sous-ensemble fini de I.
i∈J
Théorème 1.6 “de Bolzano-Weierstrass”
Soit K un espace topologique séparé.
Si K est compact, alors toute suite de K admet une sous-suite convergente.
Si K est un espace métrique tel que toute suite de K admet une sous-suite convergente, alors K est compact.
Une partie A d’un espace topologique E, A ⊂ E est dit compacte, si A muni de la
topologie induite de E est un espace topologique compact.
On a les caractérisations suivantes des compacts.
Proposition 1.7 Une partie A d’un espace topologique séparé E est compact si pour
[
tout recouvrement de A, A ⊂
Oi par une famille {Oi; i ∈ I} d’ouverts de E, on
i∈I
[
peut en extraire un recouvrement fini : A ⊂
Oi où J est un sous-ensemble fini de I.
i∈J
Proposition 1.8 Si E est un espace topologique séparé et si A ⊂ E est un compact,
alors A est forcément un fermé de E.
De plus, tout fermé inclus dans A est aussi compact.
Un dernier résultat sur les compacts à savoir est
Théorème 1.9 Soit f : E 7→ H est une application continue. Si H est séparé et si
A ⊂ E est un compact de E, alors f (A) est un compact de H.
Les espaces topologiques les plus courants sont des espaces métriques dont nous rappelons la définition.
Définition 1.10 Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application d : E ×
E 7→ R+ satisfaisant aux trois propriétés suivantes :
i) {d(x, y) = 0} ⇔ {x = y} (séparabilité)
ii) d(x, y) = d(y, x) (symétrie)
5
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)
Dans ce cas le couple (E, d) est appelé espace métrique, d(x, y) est appelé distance
entre x et y.
Pour tout a ∈ E et pour tout r > 0, B(a, r) = {x ∈ E; d(a, x) < r} est appelé
boule ouverte de rayon r et de centre a, et B(a, r] = {x ∈ E; d(a, x) ≤ r} est appelé
boule fermée de rayon r et de centre a
On définit alors les ouverts d’un epace métrique (E, d) par :
O ⊂ E est un ouvert si et seulement si pour tout point a ∈ O, il existe ra > 0 tel
que B(a, ra ) ⊂ O.
Le postulat i) de la Définition (1.10) implique que La topologie ainsi définie d’un
espace métrique est forcément séparée.
On vérifie alors facilement que, si a ∈ E et r > 0
alors B(a, r) ⊂ B(a, r].
Il est immédiat que toute partie A d’un espace métrique E, A ⊂ E, est aussi un
espace métrique, la topologie associée est celle induite de E.
Il est clair aussi que R et C sont des espaces métriques, si la distance est donnée par
d(a, b) = |a − b|. (Nous verrons qu’il en sera de même, pour tout espace vectoriel normé
sur R ou sur C).
On a aussi la nouvelle façon de caractériser la convergence d’une suite (an ), d’un
espace métrique E, vers a par :
{ lim an = a } ⇐⇒ {∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ ∈ N t.q., n > Nǫ ⇒ d(a, an ) < ǫ}
n7→∞
ce qui donne la nouvelle caractérisation de la continuité sur un espace métrique :
Proposition 1.11 Soit f : E 7→ H une application entre un espace métrique E et un
espace topologique H.
Alors f est continue en un point a ∈ E, si et seulement si pour toute suite de points
de E, (an ) qui converge vers a, on a la suite de H (f (an )) qui converge vers f (a).
Rappelons sa démonstration. On démontre d’abord que si f est un application entre deux
espaces topologiques E et H et si f est continue au point a, alors toute suite de points
de E, (an ) qui converge vers a, la suite de H (f (an )) converge aussi vers f (a).
Soit (an ) est suite de E qui converge vers a, alors si Vf (a) est un voisinage de f (a), la
continuité de f au point a entraı̂ne l’existence d’un voisinage Oa de a tel que f (Oa ) ⊂ Vf (a) .
Comme (an ) converge vers a, il existe N tel que ∀n > N, an ∈ Oa , ce qui donne, compte
tenu de l’inclusion précédente, que ∀n > N, f (an ) ∈ Vf (a) . La suite (f (an )) converge
donc vers f (a).
Pour la réciproque, l’hypothèse E espace métrique est nécessaire. Soit f : E 7→ H
une application entre un espace métrique E et un espace topologique H. Soit a ∈ E tel
que pour toute suite (an ) de E qui converge vers a, la suite (f (an )) converge vers f (a).
6
Montrons par l’absurde que f est continue au point a.
Soit Vf (a) tel que f −1 (Vf (a) ) ne soit pas un voisinage de a, ce qui signifie, vu que E est
un espace métrique, qu’aucune boule ouverte de centre a n’est incluse dans f −1 (Vf (a) ).
/ Vf (a) . La suite (an )
Pour tout entier n > 0, il existe alors an ∈ B(a, n1 ) tel que f (an ) ∈
converge vers a sans que la suite (f (an )) converge vers f (a), ce qui contredit l’hypothèse
de départ •
De la caractérisation de la continuité donnée dans la Proposition (1.11), on voit tout
de suite que, dans un espace métrique E, pour tout a ∈ E la fonction
da : E 7→ R+ , da (x) = d(a, x), est continue, et même uniformément continue,
(les inégalités triangulaires d(a, x) ≤ d(a, y) + d(y, x) = d(a, y) + d(x, y) et d(a, y) ≤
d(a, x) + d(x, y) donnent celle |d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(x, y) ).
Définition 1.12 Soient (E, dE ) et (H, dH ) deux espaces métriques et f : E 7→ H une
application de E dans H.
On dit que f est uniformément continue si et seulement si on a
∀ ǫ > 0, ∃ ηǫ > 0 t.q. ∀ (x, y) ∈ E 2 , dE (x, y) < ηǫ ⇒ dH (f (x), f (y)) < ǫ.
Cette définition est à différencier de la suivante
Définition 1.13 Soit (fn ) une suite d’applications d’un ensemble E vers un espace
métrique (H, dH ).
Si f est une application de E vers H; on dit que la suite (fn ) converge uniformément vers f si et seulement si
∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ t.q. ∀ x ∈ E, ∀ n > Nǫ dH (fn (x), f (x)) < ǫ
De cette dernière définition on a le théorème bien connu
Théorème 1.14 Soit (fn ) une suite d’applications continues d’un espace topologique E
vers un espace métrique (H, dH ), qui converge uniformement vers f.
Alors f est aussi continue.
Rappelons la preuve Soit a ∈ E et soit Vf (a) un voisinage de f (a), il contient alors
une boule ouverte B(f (a), r), (r > 0). La convergence uniforme entraı̂ne l’existence d’un
entier n0 tel dH (fn0 (x), f (x)) < r/3, ∀x ∈ E. Mais fn0 est continue au point a, il existe
alors un voisinage de a, Oa tel que fn0 (x) ∈ B(fn0 (a), r/3), ∀x ∈ Oa .
Si x ∈ Oa , on a alors
dH (f (x), f (a)) < dH (f (x), fn0 (x)) + dH (fn0 (x), fn0 (a)) + dH (fn0 (a), f (a)) ≤ r/3 +
r/3 + r/3 = r,
on a bien f (Oa ) ⊂ B(f (a), r) ⊂ Vf (a) •
7
On a une nouvelle façon de caractériser la fermeture A d’une partie A d’un espace
métrique E par : A est constitué des points a ∈ E tels qu’il existe une suite (an ) de A
qui converge vers a.
On a aussi la nouvelle caractérisation des espaces métriques compacts :
Théorème 1.15 Soit E un espace métrique et A une partie de E.
Alors A est compact si et seulement si, pour toute suite (an ) de A, on peut extraire
une sous-suite qui converge dans A.
et un autre théorème important
Théorème 1.16 Soient E et H deux espaces métriques et f : E 7→ H une application
continue de E dans H.
Si E est compact, alors f est uniformément continue.
Voici une définition importante pour le cours de M1.
Définition 1.17 Soit E un espace métrique.
Une suite (xn ) de E est dite une suite de Cauchy si et seulement si on a
∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ > 0 t.q. n > Nǫ et m > Nǫ ⇒ d(xn , xm ) < ǫ.
E est dit complet si et seulement si toute suite de Cauchy de E admet une limite.
Des définitions précédentes, on voit facilement qu’un espace métrique compact est
toujours complet.
Rappelons enfin la notion de limite-sup et celle de limite-inf.
Soit (an ) est une suite de nombres réels.
La limite-inf de (an ) existe toujours mais peut être égale à −∞, si (an ) n’est pas
minorée, et à +∞, si lim an = +∞. C’est la limite de la suite croissante (bn ), où
n
bn = inf {ak ; k ≥ n}, (si la suite (an ) n’est pas minorée, alors ∀n, bn = −∞ ). La
limite-inf est notée limInf an ou lim inf an :
n7→∞
limInf an = lim inf an = lim (inf ak ).
n7→∞
n7→∞ k≥n
La limite-sup de (an ) existe toujours mais peut être égale à +∞, si (an ) n’est pas
majorée, et à −∞, si lim an = −∞. C’est la limite de la suite décroissante (cn ), où
n
cn = Sup{ak ; k ≥ n}, ( si la suite (an ) n’est pas majorée, alors ∀n, cn = +∞). La
limite-sup est notée limSup an ou lim sup an :
n7→∞
limSup an = lim sup an = lim (sup ak ).
n7→∞
8
n7→∞ k≥n
1.2
Quelques propriétés des espaces vectoriels
Nous considérerons que des espaces vectoriels sur un corps K qui sera R ou C.
Soit (E, +, .) un espace vectoriel sur un corps K. Une norme sur E est une fonction
positive sur E, N : E 7→ R+ satisfaisant
i) N(x + y) ≤ N(x) + N(y), ∀ x, y ∈ E, (inégalité triangulaire)
ii) N(λ.x) = |λ|N(x), ∀ (λ, x) ∈ K × E, (homogénéité)
−
→
iii) N(x) = 0 ⇔ x = 0 (non dégénérescence)
Si la fonction positive N vérifie seulement i) et ii), on dit que c’est une semi-norme,
et dans ce cas N = N −1 ({0}) est un sous-espace vectoriel de E.
Une norme sur un espace vectoriel (E, +, .) sera notée le plus souvent k . k et on dira
simplement que (E, k . k) est un espace vectoriel normé. Le point . de la multiplication
externe de E par les scalaires de K sera omis et on omettra aussi, si ça ne porte pas à
−
→
confusion, la flèche sur l’élément de neutre de E : 0 = 0 .
Si (E, k . k) est un espace vectoriel normé, alors c’est aussi un espace métrique, la
distance est définie par d(x, y) = kx − yk, ∀ (x, y) ∈ E 2 .
La boule ouverte de centre a ∈ E et de rayon r > 0 est alors définie par B(a, r) =
{x ∈ E; kx − ak < r}
et la boule associée fermée est la fermeture de la boule ouverte, B(a, r) = B(a, r] = {x ∈
E; kx − ak ≤ r}.
A ⊂ E sera un ouvert de l’espace vectoriel normé (E, k . k) si et seulement si ∀x ∈
A, ∃rx > 0 t.q. B(x, rx ) ⊂ A.
Une suite (xn ) de l’espace vectoriel normé (E, k . k) converge vers a ∈ E si et
seulement si lim kxn − ak = 0.
n7→∞
Si A ⊂ E, sa fermeture A est l’ensemble des vecteurs de E qui sont limites de suite
de A.
Une suite (xn ) d’un espace vectoriel normé (E, k . k) est une suite de Cauchy si est
seulement si ∀ǫ > 0, ∃Nǫ ∈ N t.q. ∀n, k > Nǫ , kxn − xk k < ǫ.
Un espace vectoriel normé (E, k . k) est complet si toute suite de Cauchy de E est
convergente, dans ce cas on dit que (E, k . k) est un espace de Banach.
Un résultat important sur les séries normalement convergentes dans les espaces
de Banach.
Définition
X1.18 Soit (E; k . k) un espace vectoriel normé sur K.
Soit
~xn une série de vecteurs de E.
n∈N
Si la série de réels positif
X
n∈N
k~xn k est convergente, alors la suite des sommes partielles
N
X
(SN ) = (
~xn )N est une suite de Cauchy de E.
n=1
9
~ on dit que la série
Si elle converge vers une limite S,
X
~xn converge normalement
n∈N
~ et on écrit S
~=
vers S
+∞
X
~xn .
n=1
La Proposition suivante découle immédiatement de la définition précédente.
Proposition 1.19 Soit (E; k . k) un espace de Banach sur K.
X
X
k~xn k < +∞.
~xn une série de vecteurs de E, telle que
Soit
n∈N
Alors la série
X
n∈N
~xn converge normalement.
n∈N
Un exemple important d’espace de Banach est l’espace vectoriel des fonction continues
sur un espace compact, si l’espace des fonctions continues est muni de la norme uniforme.
Théorème 1.20 Soit X un compact et C(X; K) l’espace vectoriel sur K des fonctions
continues sur X à valeurs dans K, avec K = R ou K = C. Alors
kf k∞ = sup |f (x)|
x∈X
est fini, ceci ∀ f ∈ C(X; K), et k . k∞ définit sur C(X; K) une norme appelée norme
uniforme.
De plus C(X; K) muni de la norme uniforme k . k∞ est un espace de Banach.
Preuve Le fait que l’image d’un compact par une fonction continue soit encore un
compact fait que, pour f ∈ C(X; C), If = {|f (x)|; x ∈ X} est un compact de [0, +∞[
donc un borné, par conséquent kf k∞ = Sup If est borné. De plus, on peut même dire
que le maximum kf k∞ de la fonction continue sur le compact X, x 7→ |f (x)| est atteint,
(ainsi que son minimum).
De part la définition de la norme uniforme, on a bien l’homogénéité kλf k∞ = |λ| ×
kf k∞ , ∀(λ, f ) ∈ K × C(X; K),
ainsi que la non-dégénérescence, kf k∞ = 0 ⇔ f (x) = 0 ∀x ∈ X.
L’inégalité triangulaire kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞
résulte du fait que |f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ kf k∞ + kgk∞ , ceci ∀x ∈ X.
Le fait que (C(X; K), k . k∞ ) soit un espace vectoriel normé est donc démontré.
Prouvons qu’il est complet. Soit (fn ) une suite de Cauchy de (C(X; K), k . k∞ ), alors,
pour tout x ∈ X fixé, (fn (x)) est une suite de Cauchy de K = R ou K = C, donc K est
complet, par conséquent la suite de Cauchy de K, (fn (x)) converge vers un élément de
K que nous notons f (x).
On a ainsi défini une fonction sur X, f : X 7→ K, x 7→ f (x), ∀x ∈ X. Montrons que
la suite de fonctions (fn ) converge uniformément sur X vers f .
10
Soit ǫ > 0. L’hypothèse (fn ) suite de Cauchy entraı̂ne l’existence d’un entier Nǫ tel
que |fn (x) − fk (x)| ≤ kfn − fk k∞ < ǫ, ∀n, k > Nǫ . On fait tendre k vers l’infini et on
trouve |fn (x) − f (x)| ≤ ǫ, ∀n > Nǫ , soit kfn − f k∞ ≤ ǫ, ∀n > Nǫ .
La suite (fn ) converge donc uniformément sur X vers f , comme chaque fn est continue
sur X, on en déduit grâce au Théoreme (1.14) que f l’est aussi.
On a bien f ∈ C(X; K) et lim kfn − f k∞ = 0 •
n7→∞
Si E est un espace vectoriel et si k . k1 et k . k2 sont deux normes sur E, on dit qu’elles
sont équivalentes si et seulement si
∃C1 et C2 > 0 t.q. C1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ C2 kxk1 ∀ x ∈ E.
Dans ce cas toute boule ouverte de l’une des deux normes contient une boule ouverte de
l’autre norme, et donc les ouverts associés à chacune des normes sont les mêmes :
deux normes équivalentes sur E définissent la même topologie sur E.
Dans un espace vectoriel normé (E, k . k), un cas particulier de sous-espaces vectoriels de E qui sont intéressants est celui des sous-espaces dense dans E. Rappelons leur
définition et leur caractérisation.
Définition 1.21 Si (E, k . k) est un espace vectoriel normé, un sous-ensemble de E
E ⊂ E est dit dense dans E si et seulement si tout élément de E est limite d’une suite
de E.
Autrement dit, ∀x ∈ E et ∀ ǫ > 0, ∃ xǫ ∈ E t.q. kx − xǫ k < ǫ.
Dans le cas de l’espace de Banach de fonctions continues sur un compact X, C(X; K)
qu’on a déjà vu, un théorème important de caractérisation de ses sous-espaces denses est
le Théorème de Stone-Weierstrass.
Théorème 1.22 Soit K = R ou C, X un compact. On considère l’espace vectoriel sur
K de fonctions continues sur X à valeurs dans K, muni de la norme uniforme, C(X; K).
Soit F ⊂ C(X; K) un sous-espace vectoriel de C(X; K) vérifiant
i) F est une sous-algèbre de C(X; K) : F est un sous-espace vectoriel de C(X; K) tel
que f (x)g(x) ∈ F ∀f, g ∈ F.
ii) F sépare les points de X : ∀x, y ∈ X, x 6= y, ∃ f ∈ F t.q. f (x) 6= f (y).
iii) Les fonctions constantes sont dans F.
iv) Si K = C, ∀f ∈ F, f ∈ F.
Alors F est dense dans C(X; K).
Comme ce théorème est important et qu’il n’est pas sûr que sa démonstration soit
faite en licence, nous rappelons comment il se démontre.
Plan de la preuve
11
1) Si K = C, on se ramène au cas réel. On décompose F en sa partie réelle et celle
imaginaire, F = Fr + iFi , alors Fr et Fi sont deux sous-algèbres de C(X; R) qui satisfont
les hypothèses du théorème.
En effet, faisons la vérification pour Fr .
Comme les fonctions constantes sont dans F, les fonctions constantes réelles sont donc
dans Fr , en particulier Fr est non vide.
Si g1 , g2 ∈ Fr , alors il existe h1 , h2 ∈ Fi tels que
f1 = g1 + ih1 ∈ F et f2 = g2 + ih2 ∈ F.
Si λ1 , λ2 ∈ R, alors F étant un sous-espace vectoriel, on a λ1 f1 + λ2 f2 ∈ F , et donc
Re(λ1 f1 + λ2 f2 ) = λ1 g1 + λ2 g2 ∈ Fr :
Fr est bien un sous-espace vectoriel de C(X; R).
De plus F sous-algèbre implique que f1 f2 ∈ F et donc Re(f1 f2 ) = g1 g2 − h1 h2 ∈ Fr ,
et comme F est invariant par conjugaison, f 2 ∈ F , ce qui donne que
Re(f1 f 2 ) = g1 g2 +h1 h2 ∈ Fr . Comme on sait déjà que Fr est un sous-espace vectoriel,
on trouve que g1 g2 = 12 (g1 g2 − h1 h2 ) + 12 (g1 g2 + h1 h2 ) ∈ Fr :
Fr est bien une sous-algèbre de C(X; R).
Comme F sépare les points de X, si x, y ∈ X, x 6= y, alors ∃ f ∈ F t.q. f (x) 6= f (y).
Si Re(f (x)) 6= Re(f (y)), alors Fr sépare les deux points x et y, autrement
Re(if (x)) 6= Re(if (y)) et on aboutit à la même conclusion. Fr sépare donc les points
de X.
Deuxième étape
2) On démontre que tout sous-algèbre F de C(X; R), sa fermeture F , ( dans C(X; R)),
est une sous-algèbre fermée de C(X; R), vérifiant
sup(f, g) ∈ F et inf (f, g) ∈ F ceci ∀ f, g ∈ F .
2,a) En effet, il est clair que F est une sous-algèbre fermée de C(X; R).
2,b) Si f ∈ F , montrons que |f | ∈ F .
Comme F est un sous-espace vectoriel, on peut se ramener à |f | < 1, en considérant
f /(kf k∞ + 1). Alors, pour tout ǫ > 0, et pour tout x dans X, la série de fonctions
+∞
X
aj [(f 2 (x) − 1)/(1 + ǫ)]j converge uniformément vers (f 2 (x) + ǫ)1/2 , si
(1 + ǫ)1/2
j=0
+∞
X
j=0
aj xj = (1 + x)1/2 pour x ∈] − 1, 1[, ( a0 = 1, aj+1 = 21 ( 21 − 1) . . . ( 21 − j)/(j + 1)!).
Comme F est une sous-algèbre et que les constantes sont dans F, f ∈ F ⇒ f 2 −1 ∈ F
et donc [(f 2 (x) − 1)/(1 + ǫ)]j ∈ F pour tout j.
Par conséquent comme F est un sous-espace fermé de l’espace vectoriel normé complet
(C(X; R); k . k∞ ), (F ; k . k∞ ) est aussi un espace vectoriel normé complet.
+∞
X
aj [(f 2 (x) − 1)/(1 + ǫ)]j étant normalement convergente dans
La série (1 + ǫ)1/2
j=0
(F ; k . k∞ ), sa limite sera donc dans F : (f 2 (x) + ǫ)1/2 ∈ F .
12
On a donc démontré que, pour tout ǫ > 0, (f 2 (x) + ǫ)1/2 ∈ F . Mais |f | ∈ C(X; R)
et pour tout ǫ > 0, 0 < (f 2 (x) + ǫ)1/2 − |f | < ǫ, soit k(f 2(x) + ǫ)1/2 − |f | k∞ < ǫ, et
donc |f | ∈ F .
2,c) Soit maintenant f et g ∈ F , alors
sup(f, g) = 12 [(f + g) + |f − g|] et inf (f, g) = 21 [(f + g) − |f − g|].
Comme F est un sous-espace vectoriel f −g ∈ F , et donc d’après le point 2, b) |f −g| ∈ F .
Le fait que F soit un espace vectoriel permet alors de conclure : sup(f, g) et inf (f, g) ∈
F.
Troisième étape
3) Montrons que, pour tout x et y ∈ X, x 6= y et pour tout α et β ∈ R, il existe
f ∈ F tel que f (x) = α et f (y) = β.
Soit x, y, α et β comme ci-dessus. Comme F sépare les points de X, il existe
g ∈ F tel que g(x) 6= g(y). Comme les constantes sont dans le sous-espace vectoriel F,
quitte à ajouter une constante à la fonction g, on peut supposer que g(x) 6= g(y) et
g(x)g(y) 6= 0, donc le système ( ug(x) + vg 2 (x) = α ug(y) + vg 2 (y) = β )
admet une solution (u, v). Comme F est une algèbre, f = ug + vg 2 ∈ F et satisfait
f (x) = α et f (y) = β.
Quatrième et dernière étape
4) Pour montrer que F est dense dans (C(X; R); k . k∞ ), il suffit de prouver que F
est dense dans (C(X; R); k . k∞ ).
Soit f ∈ C(X; R). Il reste à montrer que, pour tout ǫ > 0, il existe fǫ ∈ F , tel que
|f − fǫ | < ǫ.
Soit ǫ > 0. Soit a ∈ X. Alors d’après le point 3), pour tout y ∈ X, il existe
gy ∈ F tel que f (a) = gy (a) et f (y) = gy (y). Comme gy − f est une fonction continue,
Oy = {x ∈ X; gy (x) − f (x) < ǫ} est un ouvert de X qui, de plus, est non vide car il
contient a et y.
Quand on fait varier y sur tout X, les ouverts Oy forment un recouvrement de X,
et comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini : il existe un nombre
n
[
fini de points de X, {y1 , . . . , yn } tel que X =
Oyj .
j=1
Autrement dit ∀x ∈ X, ∃j ∈ {1, . . . , n} t.q. gyj (x) < f (x) + ǫ.
Mais d’après le point 3), ha = inf (gy1 , gy2 , . . . , gyn ) ∈ F et cette fonction vérifie
ha (x) < f (x) + ǫ, ∀x ∈ X.
(1.1)
Comme pour tout y ∈ X, gy (a) = f (a), on a forcément ha (a) = f (a), par conséquent,
comme ha − f est une fonction continue, Ωa = {x ∈ X; ha (x) − f (x) > −ǫ} est un ouvert
de X qui contient a. Le même raisonnement fait avec les ouverts Oy , s’applique avec
ceux Ωa quand on fait varier le point a sur tout X, il existe donc un nombre fini de
m
[
points de X, {a1 , . . . , am }, tel que X =
Ωaj .
j=1
13
Autrement dit ∀x ∈ X, ∃j ∈ {1, . . . , m} t.q. haj (x) > f (x) − ǫ.
Mais d’après le point 3), fǫ = sup(ha1 , ha2 , . . . , ham ) ∈ F et cette fonction vérifie
fǫ (x) > f (x) − ǫ, ∀x ∈ X.
(1.2)
Mais d’après (1.1) et la définition de fǫ ci-dessus on a aussi
fǫ (x) < f (x) + ǫ, ∀x ∈ X.
(1.3)
Les inégalités (1.2) et (1.3) montrent que kf − fǫ k∞ < ǫ, et on sait que fǫ ∈ F ,
C.Q.F.D. •
1.3
Les espaces vectoriels de dimension finie
Nous recommandons vivement de revoir le cours et les exercices d’Algèbre linéaire de
D.E.U.G. A1,2.
En particulier, les notions suivantes suivantes seront doivent bien être comprises :
dual d’un espace vectoriel, base duale, transpos’ee d’une application linéaire, projection
sur un sous-espace parallèlement à un sous-espace complémentaire, espace euclidien, espace hermitien, adjoint d’une application linéaire, projection orthogonale, groupe linéaire
d’un espace vectoriel de dimension n, le groupe orthogonal d’un espace euclidien de dimension n, le groupe unitaire d’un espace hermitien de dimension n.
Ces révisions vous seront aussi utiles pour passer les concours nécessitant la Licence
ou la Maı̂trise de Math..
Nous recommandons pour cela les ouvrages suivants [1] Tome 1, 2 et [8] Tome 1, 2.
Un exercice dont on peut trouver la solution dans les manuels conseillés ci-dessus, et
qu’il faut savoir faire tout seul est le suivant.
Exercice 1.23 Soit 1 ≤ p ≤ ∞ et n ∈ N⋆ . K désignera soit le corps R ou C.
P
On définit sur Kn k x kp = ( nj=1 |xj |p )1/p .
i) Montrer que k . k1 , k . k∞ et k . k2 sont des normes et que Kn est complet
pour ces normes.
ii) On suppose 1 < p < ∞. Soit q le conjugué de p, 1p + 1q = 1.
Etablir que (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ), ∀a, b ≥ 0,
(utiliser les propriétés de la fonction fp (t) = tp ).
p
q
Etablir que ab ≤ ap + bq , ∀a, b ≥ 0.
n
X
iii) Etablir l’inégalité de Hölder |
xj yj | ≤k x kp k y kq
j=1
et l’inégalité de Minkowski k x + y kp ≤k x kp + k y kp , ceci ∀ x, y ∈ Kn .
(Pour Minkowski, utiliser Hölder).
En déduire que k . kp est une norme, (norme p), et vérifier qu’elle est équivalente à
la norme ∞.
14
iv) Soit A ∈ Mn,k (K) une matrice n × k, considérée comme un élément de L(Kk , Kn ).
Trouver sa norme si on munit Kk et Kn de la norme ∞, de la norme 1 puis de la
norme 2.
v) Vérifier que N(A) = (T r(A⋆ A))1/2 , ∀ A ∈ Mn (K) définit bien une norme sur
Mn (K), mais que ce n’est pas une norme matricielle, (une norme d’opérateur).
Cet exercice est très utile pour comprendre les espaces lp (Γ), si Γ est un ensemble
dénombrable.
Nous rappelons qu’un ensemble Γ est dit dénombrable si et seulement s’il existe
une injection J : Γ ֒→ N.
Dans ce cas, il est, soit fini soit en bijection avec N. (Ranger par exemple J(Γ)
en ordre croissant. Si Γ est infini, on obtient une suite strictement croissante d’entiers
(kn )n∈N , ∀n, ∃! γn ∈ Γ t.q. J(γn ) = kn , la bijection est alors S : N 7−→ Γ, S(n) = γn ).
Quelques propriétés des ensembles dénombrables
- Si A et B sont dénombrables, alors A × B est dénombrable.
Pour s’en convaincre, il suffit de vérifier que N2 est dénombrable. On considère par
exemple la relation d’ordre sur N2 , (i, j) < (k, l) si et seulement si Max{i, j} <
Max{k, l} ou Max{i, j} = Max{k, l}, et min{i, j} < min{k, l}, enfin ou i = l < j = k.
On range les éléments de N2 en ordre strictement croissant et on obtient une suite
((in , jn ))n∈N , d’ou l’injection j : N2 ֒→ N, J((i, j)) = n si (i, j) = (in , jn ).
- Si A1 , . . . , An sont n ensembles dénobrables, alors leur produit A1 × A2 × . . . × An
est aussi dénombrable.
Ceci résulte de la dernière propriété.
- Si B, C ⊂ A sont deux sous-ensembles d’un ensemble A, alors leur union B ∪ C
est aussi dénombrable.
Pour s’en convaincre, il suffit de supposer B et C disjoints, d’ajouter à B un élement
supplémentaire b et à C aussi c et supposer b 6= c. B ′ = B ∪ {b} et C ′ = C ∪ {c} sont
disjoints et dénombrables, (donc B ′ × C ′ est aussi dénombrable), et il existe une injection
I : B ∪ C ֒→ B ′ × C ′ , définie par : I(x) = (x, c) si x ∈ B et I(x) = (b, x) si x ∈ C.
- Des propriétés ci-dessus, on trouve que Z et Q sont dénombrables.
Quand un ensemble dénombrable Γ est infini, il existe donc une bijection
T : Γ 7−→ N,
on peut donc indexer ses éléments par N : Γ = {γn ; n ∈ N},
si par exemple T (γn ) = n, ∀ n ∈ N.
Si 1 ≤ p < +∞, l’espace lp (Γ) est l’espace des suites réelles ou complexes
+∞
X
X
(xγ )γ∈Γ , ( indexées par Γ), et tel que la série
|xγ |p =
|xγn |p soit convergente.
γ∈Γ
15
n=0
Pour l∞ (Γ), on impose seulement que la suite (xγ )γ∈Γ soit bornée :
∃ C > 0 t.q. |xγ | ≤ C, ∀ γ ∈ Γ.
L’exercice ci-dessous établit les propriétés utiles des espaces lp ; il sera traité en T.D..
Exercice 1.24 Soit l∞ (N) l’espace vectoriel des suites bornées, c(N) et c0 (N) les sous
espaces de celles convergentes et de celles à limite nulle.
i) Montrer que l∞ (N) est un Banach pour la norme du Sup : k x k∞ = supn | xn | .
ii) Montrer que c0 (N) et c(N) sont deux sous espaces fermés de l∞ (N)
et qu’ils sont séparables.
Soit A = {xn = (xnj )j ; n ∈ N} un sous-ensemble dénombrable de l∞ (N).
Soit x = (xn ) défini par xn = xnn + 1, si | xnn |≤ 1, et xn = 0 autrement.
Démontrer que x n’est pas dans la fermeture de A.
En déduire que l∞ (N) n’est pas separable.
iii) Montrer que c(N) = c0 (N) ⊕ K, (K est identifié aux suites constantes).
Soit j : c(N) 7→ c0 (N), (j(x))0 = lim xn , et (j(x))k+1 = xk − limn xn ∀k ∈ N.
n
Démontrer que c’est un isomorphisme non isométrique.
Soit p ≥ 1 et lp (N) l’ensemble des suites x = (xn ) tel que
∞
X
| xn |p )1/p < ∞.
k x kp := (
n=0
iv) Démontrer que que (l1 (N); k . k1 ) est un Banach
qui s’injecte continûment dans c0 (N).
v) Etablir que (lp (N); k . kp ) est un e.v.n. . Montrer l’injection continue de
lp (N) dans lp+ǫ (N), ∀ǫ > 0.
vi) Montrer que lp (N) est un Banach.
En déduire que l2 (N) est un Hilbert isométrique à L2 ([0, 1]).
vii) Soit B := {δn } la base formelle canonique des lp (N). Démontrer qu’elle est totale
dans lp (N), (c’est à dire que c’est une base de Schauder), si 1 ≤ p < +∞.
Démontrer qu’il en est de même dans c0 (N). Soit δ∞ la suite constante de limite 1.
On considère Be = B ∪ {δ∞ }, démontrer que c’est une base totale de c(N).
′
viii) Démontrer que (l1 (N)) = l∞ (N). Justifier que l’injection continue de l1 (N) dans
′
(l∞ (N)) n’est pas un isomorphisme de Banach.
Soit p, 1 < p < ∞ et q son conjugué. Prouver que lq (N)
′
s’injecte isométriquement dans (lp (N)) .
′
Soit e ∈ (lp (N)) et soit la suite x = (xn ), xn =< e, δn > . Démontrer que,
N
X
′
pour tout entier N,
| xn |q ≤k e kq . En déduire que (lp (N)) = lq (N).
n=0
ix) Démontrer que l’injection canonique de l1 (N) dans (c0 (N))′
est en fait un isomorphisme.
Prouver que (c(N))′ est isomorphe à l1 (N). Si 1 ≤ p, l’espace lp (N) est-il réflexif ?
16
Dans cet exercice apparait la définition d’espace vectoriel normé, (ou seulement d’espace métrique), séparable. Un espace métrique E est dit séparable si et seulement si, il
existe un sous-ensemble de E, D qui est dénombrable et dense dans E.
Parmi les espaces de Banach séparables, il y a ceux qui resemblent le plus aux espaces vectoriels de dimension finie, ce sont ceux qui admettent une base de Schauder.
Rappelons quelques notions sur les bases de Schauder.
Soit H un espace vectoriel sur le coprs K et B = (en )n∈N une suite de vecteurs de H.
Le sous[espace vectoriel engendré par B = (en )n∈N est
E =
En , où En = V ect{e0 , . . . , en } est le sous-espace vectoriel engendé par les
n∈N
n + 1 vecteurs {e0 , . . . , en }.
Autrement dit x ∈ E si et seulement s’il existe m ∈ N et (λ0 , . . . , λm ) ∈ Km+1 tel
m
X
que x =
λj ej .
j=0
Attention, l’intersection (fini ou infini) de sous-espaces vectoriels est toujours un sousespace vectoriel, par contre l’union de sous-espaces vectoriels est rarement un sous-espace
vectoriel. Ici E n’est un sous-espace vectoriel que parce qu’il est l’union d’une suite
croissante des sous-espaces vectoriels : En ⊂ En+1 , ∀n ∈ N.
Il est facile d’établir la propriété suivante :
Proposition 1.25 Un espace de Banach (H, k . k) qui n’est pas de dimension finie est
séparable si et seulement si on peut lui associer une suite de vecteurs de H, B = (en )n∈N
telle que,
i) pour tout n ∈ N, {e0 , . . . , en } est libre
S
ii) le sous-espace vectoriel engendré par B = (en )n∈N , E = n∈N V ect{e0 , . . . , en }
est dense dans H.
Pour la démonstration, nous la laissons en exercice. (Indication Voir que
dénombrable et dense dans R).
On peut alors donner la défintion suivante.
Q est
Définition 1.26 Une suite de vecteurs B = (en )n∈N d’un espace de Banach (H, k . k)
est une base de Schauder de H, si et seulement si
+∞
X
∀ x ∈ H, il existe une unique suite de C, (λn ) tel que x =
λn en ,
n=0
(c’est-à-dire que
lim kx −
N 7→∞
N
X
n=0
λn en k = 0).
Dans le cas d’un espace de Hilbert on a aussi la définition suivante.
Définition 1.27 Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire noté ( . ; . ).
17
Une suite de vecteurs orthonormés de H, B = (en )n∈N
est dite une base hilbertienne de H, si c’est une base de Schauder.
C’est équivalent à écrire que
(en ; ek ) = δn (k) et ∀ x ∈ H, lim kx −
N
N
X
k=0
(x; ek )ek k = 0.
(δa désigne le symbole de Kronecker, ou fonction delta de Kronecker, δa (a) = 1 et δa (x) =
0 si x 6= a).
La notion d’espace vectoriel normé réflexif qui apparait dans l’Exercice (1.24) est basé
sur la dualité qui sera introduite dans le chapitre suivant.
2
2.1
Quelques bonnes surprises et “gags”
Sur la continuité des applications linéaires
Sur un espace vectoriel E, qui n’est pas de dimension finie, deux normes ne sont plus
obligatoirement équivalentes ; la continuité sur E dépendra donc de la norme.
Si E et F sont deux espaces vectoriels normés, (sur le même corps), et si u est une
application linéaire entre E et F , u ∈ Lin(E; F ), alors u n’est pas forcément continue.
Rappelons le Théorème
Théorème 2.1 Soit (E, k . kE ) et (F, k . kF ) deux espaces vectoriels normés et
u ∈ End(E; F ).
Alors on a les équivalences suivantes
i) u est continue
ii) u est continue à l’origine 0
F
est fini.
iii) kuk = supx∈E\{0} ku(x)k
kxkE
Dans ce cas on écrit que u ∈ L(E; F ).
Exercice 2.2 Sous les hypothèses ci-dessus, si E est de dimension finie, prouver que u
est forcément continu.
Trouver un contre exemple où F est de dimension finie mais pas E, et où u n’est
pas continue.
Exercice 2.3 Dans le cadre du Théorème (2.1), prouver que (L(E; F ), k . k) est un
espace vectoriel normé, la norme étant définie dans ii) du Théorème (2.1).
Prouver les égalités suivantes, pour u ∈ L(E; F ),
kuk =
sup
x∈E; kxkE =1
ku(x)kF = kuk =
18
sup
x∈E; kxkE ≤1
ku(x)kF
Exercice 2.4 Soit (E, k . kE ) et (F, k . kF ) deux espaces vectoriels normés et
u ∈ End(E; F ) une application linéaire supposée bijective. Montrer que u et u−1
sont continus si et seulement s’il existe deux constantes c et C strictement positives tel
que
ckxkE ≤ ku(x)kF ≤ CkxkE , ∀ xi nE.
Un théorème intéressant est
Théorème 2.5 Soit (E, k . kE ) et (F, k . kF ) deux espaces vectoriels normés, sur R
ou sur C, tel que F soit un espace de Banach.
Alors L(E; F ) est aussi un espace de Banach.
Remarque 2.6 Si u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés,
u ∈ End(E; F ), alors dire que u est continue est équivalent à dire qu’il existe une
constante C > 0 tel que
ku(x)kF ≤ CkxkE , ∀ x ∈ E.
Autrement dit, que u(BE (0, 1)) ⊂ BF (0, C),
si BH (a, r) désigne la boule de H centrée en a et de rayon r.
Cette denière remarque permet de mieux comprendre le Corollaire du Théorème de l’application ouverte.
Théorème 2.7 “Théorème de l’application ouverte”.
Soit E et F deux espaces de Banach et u ∈ L(E; F ), une application linéaire et
continue.
Alors u est surjective si et seulement il existe r > 0 tel que
u(BE (0, 1)) ⊃ BF (0, r)
Corollaire 2.8 Soit u ∈ L(E; F ) une application linéaire et continue entre
deux espaces de Banach E et F.
Si u est est bijective, alors son inverse est forcément continue : u−1 ∈ L(F, E).
2.2
Sur les formes linéaires et la dualité
Soit (H, k . k) un espace vectoriel normé sur le corps K(= R ou C).
′
Si f ∈ H = L(H; K), on dit que f est une forme linéaire et continue sur H.
(C’est une fonction sur H qui est linéaire et continue).
L’action de f sur H se note des fois : f (x) =< x; f >=< x; f >H,H ′ , ∀ x ∈ H.
′
H = L(H; K) est appélé espace dual de l’espace vectoriel normé H, c’est aussi un
espace vectoriel normé.
19
′
On peut donc condidèrer le dual de H qui est noté H “ et qui est appélé bidual de
H. On a une injection continue, “canonique” :
J : H ֒→ H “ , J(x)(f ) =< f ; J(x) >H ′ ,H “ := f (x) =< x; f >H,H ′ ,
′
ceci ∀ x ∈ H, ∀ f ∈ H .
′
Dans le cas où H est de dimension finie, alors H, H et H “ ont toujours la même
dimension, ce qui entraı̂ne que l’injection canonique J est en fait un isomorphisme.
Ceci n’est pas toujours le cas quand H n’est plus de dimension finie.
Un espace vectoriel normé H, tel que son injection canonique dans son bi-dual soit
un isomorphisme, est appelé espace réflexif.
Un espace hemitien ou pré-hilbertien est un espace vectoriel H sur C, muni
d’un produit scalaire ( . ; . ) : H 2 7→ C, tel que :
- Pour tout y ∈ H (fixé), ( . ; y) : H 7→ C soit une forme linéaire.
- (x; y) = (y, x), ∀ (x, y) ∈ H 2
- (x; x) > 0, ∀ x 6= 0, x ∈ H
p
Dans ce cas kxk := (x, x), ∀x ∈ H, définit une norme sur H et on dit simplement
que (H, k . k) est un espace pré-hilbertien, et on a l’inégalté de Cauchy-Schwarz
|(x; y)| ≤ kxk × kyk, ∀ x, y ∈ H.
Dans le cas où le corps est R au lieu de C, on dit que (H, k . k) est un espace
euclidien, quand il est en plus de dimension finie, si non on l’appelle seulement espace
pré-hilbertien réel.
Un espace pré-hilbertien complet est appelé un espace de Hilbert, un espace préhilbertien réel complet est aussi appelé un espace de Hilbert réel.
Un espace de Hilbert est toujours réflexif. Ceci découle du
Théorème 2.9 “Théorème de représentation de Riesz”
Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire ( . ; . ).
Alors il existe un isomorphisme isométrique entre les deux espaces vectoriels normés
′
H et son dual H ,
′
I : H 7−→ H , < a; I(x) >H,H ′ := (a; x), ∀ x, a ∈ H
et kI(x)kH ′ = kxkH , ∀ x ∈ H.
′
Autrement dit, si f ∈ H , ∃!xf ∈ H t.q. f (a) = (a; xf ) ∀ a ∈ H.
Nous rappelons que, dans le cas d’un espace de Hilbert (H; ( . ; . ) ), pour tout
opérateur continu sur H, u ∈ L(H), il existe un unique opérateur continu sur H, appelé
adjoint de u et noté u⋆ , (u⋆ ∈ L(H)), et qui est entièrement défini par la relation de
dualité :
(u(x); y) = (x; u⋆ (y)), ∀ x, y ∈ H.
(2.4)
20
u et u⋆ ont toujours la même norme.
u est dit auto-adjoint si et seulement si u⋆ = u.
2.3
Les fonctions continues sur un compact
Soit X un compact, et (C(X; K), k . k∞ ), l’espace de Banach des fonctions continues
sur X à valeurs dans K = R ou K = C.
Un problème interessant est de savoir caractériser les compacts de C(X; K). Pour ça
on a besoin de quelques définitions.
Un sous-ensemble A d’un espace topologique E, A ⊂ E, est dit relativement
compact si et seulement si sa fermeture A est compacte.
Les ensembles relativement compacts de Rn sont donc les ensembles bornés.
Attention, dans un espace vectoriel normé, les bornés-fermés ne sont pas toujours
compacts, sauf quand l’espace vectoriel est de dimension finie.
Une deuxième définition est relative à la continuité.
Soit (Y, d) un espace métrique, et f ∈ C(Y ; K) une fonction continue sur Y.
Rappelons que f est dit uniformément continue sur Y si et seulement
∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ) > 0 t.q. |f (x) − f (y)| < ǫ ∀ x, y ∈ Y, d(x, y) < η(ǫ).
Une famille A ⊂ F (Y ; K) de fonctions sur Y est dite équicontinue au point a ∈ Y
si et seulement si
∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ, a)) > 0 t.q. |f (x) − f (a)| < ǫ ∀ x ∈ Y, d(x, a) < η(ǫ, a) et ∀ f ∈ A.
(Dans ce cas, chaque fonction f ∈ A est continue au poit a).
Une famille A ⊂ C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite équicontinue sur
Y si et seulement si elle est équicontinue en tout point de Y.
Un résultat vu en D.E.U.G. est
Théorème 2.10 Soit (Y ; d) un espace métrique et une suite de fonctions sur Y, (fn (x)).
Si la suite a une limite f (x) et si la suite des fonctions est équicontinues sur Y,
alors la limite f (x) est continue sur Y.
Une famille A ⊂ C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite uniformément
équicontinue sur Y si et seulement si
∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ) > 0 t.q. |f (x) − f (y)| < ǫ ∀ x, y ∈ Y, d(x, y) < η(ǫ) et ∀ f ∈ A.
Un théorème à bien comprendre les hypothèses et à les retenir est
21
Théorème 2.11 “d’Ascoli”
Soit (X, d) un espace métrique et compact et soit (C(X; K), k . k∞ ), l’espace de Banach des fonctions continues sur X à valeurs dans K = R ou K = C, muni de la norme Sup.
Soit A ⊂ C(X; K) un sous-ensemble borné dans (C(X; K), k . k∞ ).
On suppose de plus que A soit une famille de fonctions
uniformément équicontinue sur Y.
Alors A est relativement compact dans (C(X; K), k . k∞ ).
Encore une fois attention, le théorème d’Ascoli ne permet de caractériser que les ensembles relativement compacts de (C(X; K), k . k∞ ), (avec X compact et métrique), et
non les ensembles relativement compacts de n’importe quel espace de Banach.
3
Résultats des cours optionnels de la Licence
3.1
Quelques rappels sur l’intégrale de Lebesgue
Sur ce sous-chapitre, nous indiquons simplement le schéma dont découlent les résultats
à savoir (sans démonstration). Pour ceux qui n’ont pas vu ces résultats en Licence et qu’il
veulent avoir une idée des démonstrations, nous les renvoyons au livre de W. Rudin [9]
ou à celui de H. Buchwalter [5].
Rappel sur la mesure abstraite
Pour plus de développement sur ce sous-paragraphe, et pour les détails des preuves
sur les propriétés des mesures qui vont suivre, nous renvoyons au livre de [2].
Soit Ω un ensemble et P(Ω) l’ensemble des parties de Ω, (A ∈ P(Ω) si et seulement
si c’est un sous-ensemble de Ω, A ⊂ Ω).
A ∈ P(Ω), son complémentaire dans Ω sera noté Ω \ A
Une tribu sur Ω est une classe T (Ω) de sous-ensenbles de Ω satisfaisant aux 3
propriétés suivantes :
i) Ω ∈ T (Ω)
ii) A ∈ T (Ω) =⇒ Ω \ A ∈ T (Ω)
∞
[
iii) Pour toute suite (An ), An ∈ T (Ω) ∀ n ∈ N, alors
Ai ∈ T (Ω)
i=0
Une tribu est aussi appelée une σ-algèbre , (sigma-algèbre).
Remarquez que dans une tribu T (Ω), en passant au complémentaire, on a aussi
iv) ∅ ∈ T (Ω)
∞
\
v)
Ai ∈ T (Ω), si An ∈ T (Ω) ∀ n ∈ N,
vi)
i=0
N
[
i=1
Ai ∈ T (Ω) et
N
\
i=0
Ai ∈ T (Ω), si A1 , A2 , . . . , AN ∈ T (Ω).
22
Il est clair que P(Ω) est la plus “grande tribu” et {Ω, ∅} la plus “pétite”.
Si Ω est un espace topologique, la plus petite tribu contenant les ouverts de Ω est
appelée la tribu borélienne de Ω, (dans la suite, on la notera TB (Ω)).
On démontre que la tribu borélienne de R est aussi celle engendrée par les intervalles
de R, et plus généralement la tribu borélienne de Rn est engendrée par les pavés I1 ×
I2 × . . . × In , (le Ii étant des intervalles).
Si T (Ω) est une tribu, les éléments de T (Ω) sont appelés les ensembles mesurables,
si T (X) est une tribu sur un deuxième ensemble X, et si
F : Ω 7→ X est une application,
alors F est dit mesurable si et seulement si
F −1 (B) ∈ T (Ω), ∀ B ∈ T (X).
Dans le cas où X est un espace topologique, on sous-entendra toujours que X est
muni de sa tribu borélienne. Par exemple si
f : Ω 7→ K est une fonction à valeurs dans K = R ou K = C,
alors f est une fonction mesurable si et seulement si
f −1 (M) ∈ T (Ω) pour tout sous-ensemble mesurable M de K.
Les fonctions étagées sont toujours mesurables : une fonction f est dite étagée, et
on écrira que f ∈ Etag(Ω; K), si et seulement si, il existe un entier N et A1 , . . . , AN
dans T (Ω) et N scalaires λ1 , . . . , λN (∈ K), tel que
f (ω) =
N
X
i=1
λi χAi (ω), ∀ ω ∈ Ω
(χA est la fonction caractéristique de A, celle qui vaut 1 dans A et 0 dans Ω \ A.)
La limite d’une suite de fonctions mesurable est aussi mesurable.
Un espace mesuré est la donnée d’un triplet (Ω, T (Ω), P ) où Ω est un ensemble,
T (Ω) une tribu sur Ω et
P : T (Ω) 7→ [0, +∞] est une mesure, c’est à dire vérifiant
P(
∞
[
i=0
Ai ) =
+∞
X
i=0
P (Ai), si An ∩ Ak = ∅ ∀ n 6= k,
(3.5)
Remarquez que l’on a forcément P (A) ≤ P (B), si A ⊂ B. On peut avoir P (D) = +∞,
(pour un D ∈ T (Ω)). On suppose toujours qu’il existe A ∈ T (Ω) tel que A 6= ∅ et
P (A) < +∞,
alors on a forcément P (∅) = 0.
Remarquez que si (Ω, T (Ω), P ) est un espace mesuré et si E est un ensemble
mesurable, E ∈ T (Ω), alors (E, E ∩ T (Ω), P ) est aussi un espace mesuré.
La mesure de Lebesgue sur R est celle associée à l’espace mesuré (R, TB (R), m)
avec m(]a, b[) = b − a.
23
La mesure de Lebesgue sur Rn est celle associée à l’espace mesuré (Rn , TB (Rn ), m)
n
Y
avec m(]a1 , b1 [×]a2 , b2 [× . . . ×]an , bn [) =
(bi − ai ).
i=1
Si O est un ouvert de Rn ,, alors TB (O) = O ∩ TB (Rn ), la mesure de Lebesgue sur
O est celle sur Rn restreinte à O. On note tout simplement Lp (O), Lp (O), (au lieu de
Lp (O; dm(x)), Lp (O; dm(x))).
Soit un espace mesuré (Ω, T (Ω), P ). Si
P
h= N
i=1 λi χAi est une fonction en étagée, h ∈ Etag(Ω; C), alors on définit l’intégrale
de h par
Z
N
X
h(ω)dP (ω) :=
λi P (Ai ).
Ω
i=1
Si f : Ω 7→ R+ est une fonction mesurable et positive, on écrira que f ∈ M(Ω; R+ ),
alors on peut définir son intégrale
Z
Z
f (ω)dP (ω) :=
sup
h(ω)dP (ω)
(3.6)
h∈Etag(Ω;R+ ); h≤f
Ω
Ω
Quand l’intégrale est finie, on dit alors que f est intégrable.
Théorème 3.1 “de Beppo-Levi”
Soit (fn ) une suite croissante de fonctions mesurables et positives sur un espace
mesuré (Ω,
Z T (Ω), P ) et soit fZsa limite.
Alors
f (ω)dP (ω) = lim
m7→∞
Ω
fn (ω)dP (ω)
Ω
Cette proprété de Beppo-Levy permet de mieux calculer l’intégrale d’une fonction mesurable et positive à partir de celles des fonctions en étagée dans la formule (3.6).
Un Lemme important est le Lemme de Fatou.
Lemme 3.2 “de Fatou”
Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables et positives sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P )
et soit f sa limite-inf : f (ω) = lim inf fn (ω).
n7→∞ Z
Z
Alors
f (ω)dP (ω) ≤ lim inf
fn (ω)dP (ω).
m7→∞
Ω
Ω
Rappelons que, pour une suite de réel (an ), sa limite-inf et sa limite-sup sont,
respectivement, la limite de la suite croissante (cn ), ck = inf {an ; n ≥ k}, et de la suite
décroissante (bn ), bk = Sup{an ; n ≥ k} :
lim inf an = lim inf {an ; n ≥ k},
n7→∞
k7→∞
lim sup an = lim Sup{an ; n ≥ k}.
n7→∞
k7→∞
Si f : Ω 7→ R est une fonction mesurable, alors f = f + − f − et f + = Max(f, 0)
et f − = Max(−f, 0) sont positives et mesurables.
24
Comme f + f − = 0 et que |f | = f + + f − , alors |f | est intégrable si et seulement f +
et f − le sont, ce qui permet de donner la définition suivante :
une fonction réelle et mesurable f = f + − f − est dite intégrable si et seulement si
|f | = f + + f − est intégrable (dans le sens de (3.6)), et dans ce cas son intégrale est
Z
Z
Z
+
f (ω)dP (ω) :=
f (ω)dP (ω) −
f − (ω)dP (ω)
(3.7)
Ω
Ω
Ω
Dans le cas complexe on a aussi :
une fonction complexe et mesurable f = fR + ifI est dite intégrable si et seulement
si sa partie réelle fR et sa partie imaginaire fI sont intégrables, (ce qui est équivalent à
dire simplement que f est mesurable et |f | est intégrable), dans ce cas son intégrale est
Z
Z
Z
f (ω)dP (ω) :=
fR (ω)dP (ω) + i fI (ω)dP (ω).
(3.8)
Ω
Ω
Si f est intégrable, on a toujours |
Z
Ω
Ω
f (ω)dP (ω)| ≤
Z
Ω
|f (ω)|dP (ω).
Les fonctions intégrables forment un espace vectoriel sur K noté L1 (Ω; dP (ω)).
On a le théorème de convergence dominée de Lebesgue
Théorème 3.3 “de Lebesgue”
Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P ) tel
i) f (ω) = lim fn (ω) existe p.p. sur Ω.
n7→∞
ii) Il existe une fonction intégrable g ∈ L1 (Ω; dP (ω)), tel que
∀ n ∈ N, |fn (ω)| ≤ g(ω) p.p. sur Ω.
Alors les fn et f sont intégrables sur Ω et
Z
Z
fn (ω)dP (ω).
f (ω)dP (ω) = lim
m7→∞
Ω
Ω
Si 1 ≤ p < +∞, les fonctions mesurables f telles que |f |p ∈ L1 (Ω; dP (ω)) forment
aussi un espace vectoriel sur K noté Lp (Ω; dP (ω)). On note alors
Z
kf kp := ( |f (ω)|pdP (ω))1/p , ∀ f ∈ Lp (Ω; dP (ω))
(3.9)
Ω
Rappelons qu’une propriété sur Ω est dite vérifiée presque partout, (p.p.) si elle
est vérifiée sur Ω \ A avec A ∈ T (Ω) et P (A) = 0.
Les fonctions mesurables f telles qu’il existe une constante C > 0, telle que
|f (ω)| ≤ C p.p. sur Ω
forment aussi un espace vectoriel sur K noté L∞ (Ω; dP (ω)). On note aussi
kf k∞ := Inf {C; C > 0 et |f (ω)| ≤ C p.p.}, ∀ f ∈ L∞ (Ω; dP (ω))
25
(3.10)
On a l’inégalité de Hölder :
f ∈ Lp ((Ω; dP (ω)), g ∈ Lq ((Ω; dP (ω)), p, q ∈ [1, +∞],
|
Z
Ω
1 1
+ = 1 =⇒ f g ∈ L1 ((Ω; dP (ω))
p q
f (ω)g(ω)dP (ω)| ≤ kf kp × kgkq , (si
1 1
+ = 1).
p q
(3.11)
Un sous-espace commun à tous ces espaces Lp (Ω; dP (ω)), (1 ≤ p ≤ ∞),
est Etag(Ω; K) ∩ L1 (Ω; dP (ω)) et le plus intéressant, celui des fonction nulles presque
partout N (Ω; dP (ω)) = {f : Ω 7→ K, f = 0 p.p.}.
Pour 1 ≤ p ≤ ∞, Lp (Ω; dP (ω)) := Lp (Ω; dP (ω))/N (Ω; dP (ω)) est l’espace vectoriel
quotient par les fonctions nulles presque partout.
Les espaces (Lp (Ω; dP (ω)); k . kp ) sont des espaces vectoriels normés et complets, (des
Banach). (L2 (Ω; dP (ω)); k . k2 ) est un espace de Hilbert.
Enfin rappelons la définition d’une mesure produit.
Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés, soit sur X × Y la tribu
T (X × Y ) engendré par T (X) × T (Y ), et notée T (X) ⊗ T (Y ).
Il existe une unique mesure sur (X × Y, T (X) ⊗ T (Y )), noté µ ⊗ ν, et appelé mesure
produit de µ et ν, tel que
µ ⊗ ν(A × B) = µ(A)ν(B), ∀(A, B) ∈ T (X) × T (Y ).
(3.12)
Théorème 3.4 “de Fubini pour les fonctions positives”
Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l’espace mesuré
produit (X × Y, T (X) ⊗ T (Y ), µ ⊗ ν).
Soit f (x, y) une fonction mesurable et positive sur X × Y .
Alors, pour presque tout y ∈ Y fixé, la fonction f ( . , y) : X 7→ C est mesurable sur
R
X et y 7→ X f (x, y)dµ(x) est une fonction mesurable sur Y.
De même, pour presque tout x ∈ X fixé, la fonction f (x, . ) : Y 7→ C est mesurable
R
sur Y et x Z7→ Y f (x, y)dν(y) est une
mesurable sur X.Z Z
Z fonction
Z
De plus
f (x, y)dµ⊗ν(x, y) =
X×Y
(
X
f (x, y)dν(y))dµ(x) =
Y
(
Y
f (x, y)dµ(x))dν(y).
X
Théorème 3.5 “de Fubini”
Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l’espace mesuré
produit (X × Y, T (X) ⊗ T (Y ), µ ⊗ ν).
Soit f (x, y) une fonction intégrable sur X × Y .
Alors, pour presque tout y ∈ Y fixé, la fonction f ( . , y) : X 7→ C est intǵrable sur
R
X et y 7→ X f (x, y)dµ(x) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable sur Y.
De même, pour presque tout x ∈ X fixé, la fonction f (x, . ) : Y 7→ C est intégrable
R
sur Y et x 7→ Y f (x, y)dν(y) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable
sur X.
26
De plus
Z
f (x, y)dµ⊗ν(x, y) =
X×Y
Z
X
(
Z
Y
Z Z
f (x, y)dν(y))dµ(x) = ( f (x, y)dµ(x))dν(y).
On peut alors noter dν ⊗ mu(x, y) = dµ(x)dν(y).
Y
X
De part la construction des espaces Lp , l’espace vectoriel les fonctions en étagées (et
intégrables) est toujours dense dans les espaces Lp (Ω; dP (ω).
Les résultats à connaı̂tre sur les fonctions définies par une intégrale
Théorème 3.6 “de continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre”
Soit (Ω, T (Ω), µ) un espace mesuré et X un espace métrique.
Soit F : X × Ω 7→ C une fonction vérifiant
i) pour tout x ∈ X fixé, F (x, . ) ∈ L1 (Ω; dµ(ω)),
ii) pour p.p. sur Ω, si ω ∈ Ω est fixé, alors la fonction F ( . , ω) est continue sur X.
iii) il existe une g ∈ L1 (Ω;
Z dµ(ω)) tel que ∀ x ∈ X, |F (x, ω) ≤ g(ω) p.p. sur Ω.
Alors la fonction f (x) =
F (x, ω)dµ(ω) est continue sur X.
Ω
Théorème 3.7 “de dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre”
Soit (Ω, T (Ω), µ) un espace mesuré et I un intervalle de R.
Soit F : I × Ω 7→ C une fonction vérifiant
i) pour tout t ∈ I fixé, F (t, . ) ∈ L1 (Ω; dµ(ω)),
ii) pour p.p. sur Ω, si ω ∈ Ω est fixé, alors la fonction F ( . , ω) est continûment
dérivable sur I.
∂
iii) il existe une g ∈ L1 (Ω; dµ(ω)) tel que ∀ t ∈ I, | F (t, ω)| ≤ g(ω) p.p. sur Ω.
∂t
Z
Alors la fonction f (t) =
F (t, ω)dµ(ω) est continûment dérivable sur I,
Ω
Z
d
∂
∂
1
∀ t inI fixé ∂t F (t, . ) ∈ L (Ω; dµ(ω) et
f (t) =
F (t, ω)dµ(ω).
dt
Ω ∂t
Ces deux théorèmes résultent du Théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Remarquez que tous ces résultats s’appliquent aux séries, (mais dans les concours, il est
conseillé d’utiliser de préférence les théorèmes sur les séries de fonctions de D.E.U.G.A.2).
En effet, si on prend Ω = N et comme tribu T (N) = P(N), (la plus grande possible),
dans ce cas toutes les fonctions sont mesurables.
Si (an ) est une suite de réels ≥ 0, on a
X
alors une mesure sur N, P, P (A) =
an , ∀ A ⊂ N.
n∈A
Si les an sont tous > 0, alors seul l’ensemble vide est de mesure nulle, dans ce cas
Lp (N; dP (n)) = Lp (N; dP (n)).
L’intégrale d’une fonction f sur N est alors donnée par
Z
f (n)dP (n) =
N
+∞
X
an fn .
n=0
Une fonction f sur N est toujours identifiée à une suite (fn ), fk = f (k) ∀k ∈ N.
27
Dans le cas où an = 1 ∀ n ∈ N, alors Lp (N; dP (n)) = lp (N).
Quelques espaces vectoriels dense dans Lp (Ω), pour la mesure de Lebesgue
Soit Ω ⊂ Rn un ouvert. On sait que, pour tout p ∈ [1, +∞], les fonctions étagées
Etag(Ω) sont denses dans Lp (Ω).
Un sous-espace des fonctions étagées est Esc(Ω), l’espace vectoriel des fonctions en
escalier sur Ω.
f ∈ Esc(Ω) si et seulement s’il existe un entier N, N pavés bornés de Ω P1 , . . . , PN
et N scalaires λ1 , . . . , λN ∈ C tel que
f (x) =
N
X
j=1
λj χPj (x), Pj =]a1 (j), b1 (j)[× . . .]an (j), bn (j)[ ⊂ Ω.
Si p ∈ [1, +∞[, (p 6= ∞), alors les fonctions en escalier sont encore denses dans
Lp (Ω).
Proposition 3.8 Si Ω ⊂ Rn est un ouvert et si 1 ≤ p < ∞, alors les fonctions de classe
C ∞ et à support compact inclus dans Ω, Cc∞ (Ω) sont denses dans Lp (Ω), et donc, pour
tout entier k ∈ N, Cck (Ω) est aussi dense dans Lp (Ω).
( Cck (O) désigne l’espace vectoriel des fonctions de classe C k et à support compact
inclus dans O).
Esquisse de la preuve On utilise le fait que les fonctions en escalier, Esc(Ω), sont encore
denses dans Lp (Ω).
Il suffit alors de montrer que, si P =]a1 , b1 [× . . . ×]an , bn [ ⊂ Ω un pavé borné de Ω,
pour tout ǫ > 0, il existe fǫ ∈ Cc∞ (P ), tel que kχP − fǫ kp ≤ ǫ.
- 1 Construction d’une fonction indéfiniment dérivable et à support compact sur R.
Soit la fonction de R, g, définie par
2
g(t) = e−1/(1−t ) , ∀ t ∈]0, 1[ et g(t) = 0, ∀t, |t| ≥ 1.
Alors g ∈ Cc∞ (R), Support(g)
Z t= [−1, 1] et 0 ≤ g ≤ 1.
R
R1
1
g(s)ds, où I(g) = R g(s)ds = −1 g(s)ds,
La fonction G(t) =
I(g) −1
vérifie 0 ≤ G ≤ 1, G(t) = 0, ∀t ≤ −1 et G(t) = 1, ∀t ≥ 1.
- 2 Cas uni-dimensionnel
P =]a, b[ est un intervalle. Soit ǫ > 0 que l’on peut supposer petit, ǫ < (b − a)/4.
On définit la fonction fǫ par
fǫ (t) = G(λt + α) sur ] − ∞, a + 2ǫ [, fǫ (t) = 1 sur [a + 2ǫ , b − 2ǫ ] et fǫ (t) = G(−λt + β)
sur ]b − 2ǫ , +∞[,
, et β = −1 + 4bǫ .
avec λ = 4ǫ , α = −1 − 4a
ǫ
Alors fǫ ∈ Cc∞ (R), Support(fǫ) ⊂ [a, b], 0 ≤ fǫ ≤ 1, et donc 0 ≤ χP − fǫ ≤ 1 et
comme Support(χP − fǫ ) ⊂ [a, a + 2ǫ ] ∪ [b − 2ǫ , b],
on en déduit que kχP − fǫ kp ≤ ǫ.
28
- 3 Cas multi-dimensionnel
On prend fǫ (x) = f1,ǫ (x1 ) × f1,ǫ (x2 ) × . . . × fn,ǫ (xn ) avec fi,ǫ ∈ Cc∞ (R), 0 ≤
Y
(bj −aj ).
χ]ai ,bi [ −fi,ǫ ≤ 1, Support(χ]ai,bi [ −fi,ǫ ) ⊂ [ai , ai + 2Cǫ i ]∪[bi − 2Cǫ i , bi ] avec Ci =
j6=i
On vérifie alors que kχP − fǫ kp ≤ ǫ
- 4 Fin de la preuve
Soit f ∈ Lp (Ω) et soit ǫ > 0. Il existe alors une fonction en escalier
Nǫ
X
aj χPj (x), les Pj sont des pavés bornés, disjoints et de fermetures incluses
f1,ǫ (x) =
j=1
dans Ω, tel que kf − f1,ǫ kLp (Ω) ≤ ǫ/2.
A chaque Pj , on peut trouver ϕj ∈ Cc∞ (Pj ), tel que kχPj − ϕj kp ≤ ǫ/[2Nǫ (|aj | + 1)].
Nǫ
X
aj ϕj (x) ∈ Cc∞ (Ω) et kf2,ǫ − f1,ǫ kLp (Ω) ≤ ǫ/2.
Alors f2,ǫ (x) =
j=1
L’inégalité triangulaire donne alors kf −f2,ǫ kLp (Ω) ≤ kf −f1,ǫ kLp (Ω) +kf1,ǫ −f2,ǫ kLp (Ω) ≤ ǫ •
Un autre résultat de densité intéressant à connaı̂tre est
Proposition 3.9 Soit V un ouvert de Rm et W un ouvert de Rn . Soit k ∈ N ∪ {+∞}
k
et soit Cc,⊗
(V × W) la sous-algèbre de Cck (V × W) formée des fonctions f de la forme
f (x, y) =
N
X
j=1
vj (x)wj (y) avec vj ∈ Cck (V) et wj ∈ Cck (W ).
k
Alors Cc,⊗
(V × W) est dense dans Lp (V × W) si 1 ≤ p < +∞, (p 6= ∞).
Pour prouver cette dernière proposition, on utilise la précédente (3.8) et on est ramené
∞
(V ×W) est dense dans (C(K1 ×K2 ); k . k∞ ), si K1 est un
à montrer par exemple que Cc,⊗
compact de V et K2 un compact de W. Là on utilise le Théorème de Stone-Weierstrass
dont les hypothèses sont très faciles à vérifier, si on sait que, pour tout voisinage ouvert O
d’un compact K de RN , on peut trouver une fonction Φ ∈ Cc∞ (O) telle que 0 ≤ Φ ≤ 1
et Φ = 1 sur K.
Une définition pour terminer. Si Ω ⊂ Rn est un ouvert et si 1 ≤ p ≤ ∞, Lploc (Ω),
désigne l’espace vectoriel des fonctions mesurables sur Ω et qui sont localement dans
Lp , c’est à dire, que pour tout a ∈ Ω, il existe un voisinage Va de a tel f ∈ Lp (Va ), ce
qui est équivalent à dire que f ∈ Lp (O), pour tout ouvert O relativement compact dans
Ω, (K = O ⊂ Ω et K est un compact).
On définit de la même façon Lploc (Ω) = Lploc (Ω)/N (Ω).
3.2
Série de Fourier “à la mode Maı̂trise”
Si f ∈ L1loc (R) et si f est périodique de période T > 0, ( f (x + T ) = f (x) pour
presque tout x ∈ R),
29
alors f ∈ L1 ([0, T ]), par conséquent, comme pour tout k ∈ Z, e2kπix/T est continue
et bornée, l’inégalité de Hölder dit que les coefficients de Fourier de f, (fˆk )k∈Z sont bien
définis :
Z
1 T
ˆ
f (x)e−2kπix/T dx, ∀ k ∈ Z.
fk =
T 0
(|fˆk | ≤ T1 kf kL1 ([0,T ]) , car |e−2kπix/T | = 1).
Z
1 a+T
ˆ
Remarquez que si a ∈ R, alors fk =
f (x)e−2kπix/T dx.
T a
En effet, il existe j ∈ Z, la partie entière de a/T, tel que jT ≤ a < (j + 1)T, les
changements de variables x 7→ x − jT et x 7→ x − (j + 1)T montrent que
Z
a+T
−2kπix/T
f (x)e
dx =
a
=
Z
Z
(j+1)T
−2kπix/T
f (x)e
a
T
−2kπix/T
f (x)e
dx +
a−jT
dx +
Z
a+T
f (x)e−2kπix/T dx
(j+1)T
Z
a−jT
−2kπix/T
f (x)e
0
dx =
Z
T
f (x)e−2kπix/T dx
0
q
Soit p ≥ 1, comme 1 ∈ L ([a, b]) pour tout a et b, l’inégalité de Hölder permet alors
de voir que Lp ([a, b]) ⊂ L1 ([a, b]), et donc Lploc (R) ⊂ L1loc (R).
On peut alors considérer les coefficients de Fourier d’une fonction de périodique T si
elle est dans Lploc (R) : Lpper (R) désignera l’espace vectoriel de telles fonctions.
L’espace vectoriel des polynômes trigonométriques de période T, est le sousespace vectoriel des fonctions continues sur R et T périodiques engendré par les fonctions
e2kπix/T , k ∈ Z.
Autrement dit, q(x) est un polynôme trigonométrique si et seulement si, il existe un
entier N ≥ 0 tel que
N
X
q(x) =
ck e2kπix/T , les ck étant des constantes.
k=−N
Théorème 3.10 Soit Cper ([0, T ]) l’espace vectoriel des fonctions continues f sur [0, T ]
tel f (0) = f (T ).
Alors on a les propriétés suivantes.
i) Cper ([0, T ]) est un sous-espace fermé de l’espace de Banach (C([0, T ]), k . k∞ ),
et donc (Cper ([0, T ]), k . k∞ ) est aussi un espace de Banach.
ii) Les polynômes trigonométriques sont denses dans l’espace de Banach (Cper ([0, T ]), k . k∞ ).
iii) Pour tout p, 1 ≤ p 6= +∞, Cper ([0, T ]) est dense dans Lp ([0, T ]).
√
iv) {e2kπix/T / T }k∈Z est une base Hilbertienne de L2 ([0, T ]).
Idée de la preuve
i) On considère la forme linéaire et continue u sur l’espace de Banach
(C([0, T ]), k . k∞ ), u(f ) = f (T ) − f (0).
La continuité de u entraı̂ne que son noyau Ker(u) = u−1 ({0}) = Cper ([0, T ]) est
fermé.
30
ii) Comme on a vu le Théorème de Stone-Weierstrass on va l’utiliser ici sur le compact,
le cercle unité S1 = {z ∈ C; |z| = 1} = {e2πix/T ; x ∈ [0, T [}, (c’est un compact car c’est
un borné fermé de R2 ).
On a un isomorphisme d’espace de Banach J : C(S1 ) 7→ Cper ([0, T ]), J(g)(x) =
g(e2πix/T ), ∀g ∈ C(S1 ).
Si Pper ([0, T ]) désigne les polynômes trigonométriques, alors Pper ([0, T ]) sera dense
dans Cper ([0, T ]) si et seulement J −1 (Pper ([0, T ])) est dense dans C(S1 ).
Nous laissons en exercice la vérification que les hypothèses du Théorème de StoneWeierstrass sont vérifiée sur J −1 (Pper ([0, T ])), dans C(S1 ).
iii) Soit Cc∞ (]0, T [), l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivable sur ]0, T [
à support compact (inclus dans ]0, T [). Toute fonction f ∈ Cc∞ (]0, T [), se prolonge en
posant f (0) = f (T ) = 0 en une fonction dans Cper ([0, T ]), on peut donc écrire que
Cc∞ (]0, T [) ⊂ Cper ([0, T ]).
Comme Cc∞ (]0, T [) est dense dans Lp ([0, T ]), à fortiori Cper ([0, T ]) sera aussi dense
dans Lp ([0, T ]).
√
iv) On vérifie que {e2kπix/T / T }k∈Z est une famille orthonormée dans L2 ([0, T ],
RT
(pour l’orthogonalité, remarquer si j ∈ Z, j 6= 0, alors 0 e2iπjx/T dx = T /(2iπj)[e2iπjx/T ]x=T
x=0 =
0).
√
La densité des polynômes trigonométriques dans L2 ([0, T ]) entraı̂ne alors que {e2kπix/T / T }k∈Z
est en fait une base Hilbertienne •
La propriété iv) du Théorème (3.10) dit que, si f ∈ L2per (R), alors
lim kf (x) −
N 7→+∞
k=N
X
k=−N
fˆk e2kπix/T kL2 ([0,T ]) = 0, ∀ f ∈ L2per (R).
ce qui donne l’égalité de Parseval
Z T
dx X ˆ 2
|f (x)|2
|fk | , ∀ f ∈ L2per (R).
=
T
0
k∈Z
(3.13)
(3.14)
Remarquons queX
si f (x) est une fonction continue et T périodique est telle que sa
série de Fourier
fˆk e2kπix/T convege uniformément sur R vers une fonction F (x),
k∈Z
( lim
N 7→+∞
k=N
X
fˆk e2kπix/T = F (x)), alors f (x) et F (x) seront deux fonctions continues, T
k=−N
périodique et ayant les mêmes coefficients de Fourier, la propriété iv) du Théorème (3.10),
plus précisement la limite (3.13) entraı̂ne alors que f (x) = F (x) pour presque tout x, et
la continuité entraı̂ne alors que f (x) = F (x) ∀x.
C’est le cas si f (x) ∈ C 1 (R) et T périodique. En effet, dans ce cas une intégration
′
T
ĝk , si g(x) = f (x).
par partie montre que, si k ∈ Z, k 6= 0, alors fˆk = 2iπk
31
T
Mais l’égalité de Parseval (3.14) dit que (ĝk )k∈Z ∈ l2 (Z), et comme ( 2iπk
)k∈Z⋆ ∈ l2 (Z⋆ ),
l’inégalté de Cauchy-Schwarz, montre alors que
Z T
X T
X
X T
1 X 1 1/2
′
2 1/2
2 1/2
|
|ĝk | ] = [
ĝk | ≤ [
|] ×
]
×
(
|f
(x)|2 dx)1/2
|
2
2iπk
2iπk
π
n
0
n∈N⋆
k∈Z⋆
k∈Z⋆
k∈Z⋆
est convergente, d’où la série de Fourier de f est uniformément convergente sur R.
3.3
Transformation de Fourier : un aperçu
Ici nous donnons juste un aperçu de la transformation de Fourier. Nous conseillons
vivement à ceux qui n’ont pas suivi une option de la Licence où la transformée de Fourier
est développée, de lire les 13 pages du manuel [9] ou les pages 127 − 133 de [5] consacrées
à la transformation de Fourier sur R.
Si f ∈ L1 (R), on appelle transformée de Fourier de f la fonction de R,
Z
ˆ
e−iξx f (x)dx.
F (f )(ξ) = f(ξ) :=
R
Le théorème de continuité des intégrales dépendant d’un paramètre montre que fˆ est
une fonction continue sur R; remarquez aussi que fˆ est une fonction bornée :
ˆ
∀f ∈ L1 (R), fˆ ∈ C 0 (R) ∩ L∞ (R) et |f(x)|
≤ kf k1 , ∀ x ∈ R.
(3.15)
Attention dans certains ouvrages
Z comme dans [9], la définition de la transformée de
1
e−iξx f (x)dx.
Fourier de f est F (f )(ξ) = √
2π R
Nous verrons l’utilité de cette définition.
Théorème 3.11 “de Riemann-Lebesgue”
ˆ = 0.
Si f ∈ L1 (R), alors sa transformée de Fourier tend vers zéro à l’infini : lim f(ξ)
|ξ|7→∞
Pour s’en convaincre, supposer d’abord que f ∈ Cc1 (R);
′
dans ce cas f et sa dérivée f sont intégrables, dans la définition de fˆ(ξ) on peut intégrer
par partie quand ξ 6= 0 et on trouve que
1
′
fˆ(ξ) = F (f )(ξ).
iξ
1
ˆ
kf k1 .
Par conséquent |f(ξ)|
≤ |ξ|
Les fonctions qui sont dans Cc1 (R) satisfont donc le Théorème de Riemann-Lebesgue.
Pour conclure, on utilise la densité de Cc1 (R) dans L1 (R)
et la continuité de l’opérateur de Fourier F : L1 (R) 7→ L∞ (R) donnée par (3.15) •
Remarquez que le Théorème de Riemann-Lebesgue entraı̂ne que les coefficients de
Fourier d’une fonction périodique tendent vers zéro à ±∞,
RT
)).
(si h ∈ L1 (]0, T [), T ĥk = 0 e−2ikπx/T h(x)dx = F (hχ]0,T [ )( 2kπ
T
′
32
Des intégrations par partie et le Théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un
paramètre montrent les formules suivantes
F [(−ix)k f (x)](ξ) =
dk ˆ
f (ξ), si (1 + |x|)k f (x) ∈ L1 (R),
dxk
ˆ si f ∈ C k (R) et f (j) ∈ L1 (R), ∀j ≤ k.
F (f (k) )(ξ) = (iξ)k f(ξ)
(3.16)
(3.17)
Rappelons la définition du produit de convolution de deux fonctions.
Si p ∈ [1, +∞[ et si q ≥ 1 est son conjugué, ( p1 + 1q = 1), alors pour tout f ∈ Lp (R)
et g ∈ Lq (R), le produit de convolution de f et g est la fonction de R
Z
f ⋆ g(x) :=
f (x − y)g(y)dy.
(3.18)
R
C’est l’inégalité de Hölder qui justifie la convergence de l’intégrale et la majoration
|f ⋆ g(x)| ≤ kf kp kgkq .
Un changement de variable immédiat permet de voir que : f ⋆ g = g ⋆ f.
On peut montrer facilement en utilisant la densité de Cc0 (R) dans Lp (R) que
f ⋆ g ∈ C 0 (R).
Un cas intéressant est celui où f ∈ L1 (R) mais la fonction g n’est pas dans L∞ (R).
Quand f et g sont dans L1 (R), le Théorème de Fubini montre que
f (x−y)g(y) ∈ L1 (R2 ) et que, pour presque tout x ∈ R fixé, y 7→ f (x−y)g(y) est une
R
fonction intégrable sur R, et que la fonction définie p.p. x 7→ f ⋆g(x) = R f (x−y)g(y)dy
est encore intégrable
Z
1
∀ f, g ∈ L (R); f ⋆g(x) =
f (x−y)g(y)dy ∈ L1 (R), et kf ⋆gk1 ≤ kf k1 ×kgk1. (3.19)
R
(Quand f ∈ L1 (R) et g ∈ Lp (R), on peut encore donner un sens à f ⋆ g dans Lp (R)).
La formule suivante se vérifie alors facilement, grâce au Théorème de Fubini
∀ f, g ∈ L1 (R), F (f ⋆ g)(ξ) = F (f )(ξ)F (g)(ξ).
(3.20)
Le Théorème de Fubini donne aussi facilement la première formule de Plancherel
Z
Z
f (x)ĝ(x)dx =
fˆ(ξ)g(ξ)dξ, ∀ f, g ∈ L1 (R).
(3.21)
R
R
Une fonction importante dont il faut connaı̂tre la transformation de Fourier est la
2
fonction de Gauss G(x) = e−|x| /2 .
Nous laissons les calculs en exercice
2
Exercice 3.12 Soit G(x) = e−|x| /2 la fonction de Gauss.
1) Soit a = kGk22 .
R
2
2
i) Utiliser le théorème de Fubini sur R2 pour écrire a2 = R2 e−(x +y ) dxdy.
33
ii) Passer en cordonnées polaires et établir que a2 = π. En déduire que
Z
√
2
e−x dx = π = kGk22 .
R
2) i) Etablir que Ĝ(ξ) ainsi que G(x) sont solutions de l’équation différentielle
′
d’inconnue u, u (t) + tu(t) = 0.
ii) Calculer Ĝ(0) à l’aide du résultat de 1)ii) et en déduire que
Z
√
√
2
2
Ĝ(ξ) =
e−ixξ e−x /2 dx = 2πG(ξ) = 2πe−ξ /2 .
R
Z
1
Remarquer que dans cet exemple on a G(x) =
eixξ Ĝ(ξ)dξ.
2π R
On verra que cette formule se généralise à toute les fonctions intégrables, continues et
bornées ainsi que leurs transformées de Fourier. C’est l’objet de l’Exercice suivant.
Exercice 3.13 Pour tout σ > 0, on note Gσ la fonction Gσ (x) = G(σx) = e−σ
1) i) Utiliser les résultats de l’Exercice (3.12) pour établir que
2 x2 /2
.
x
1
Gσ (ξ) = ĝσ (ξ) avec gσ (x) = √ G( ).
σ 2π σ
R
ii) Vérifier que
g (x)dx = 1.
R σ
1
2) Soit f ∈ L (R) ∩ L∞ ∩ C 0 (R) et tel que fˆ ∈ L1 (R).
i) Justifier que l’on a aussi fˆ ∈ L1 (R) ∩ L∞ ∩ C 0 (R).
ˆ
ii) Justifier que F (gσ ⋆ f )(ξ) = Gσ (ξ)f(ξ).
1
iii) Etablir en utilisant l’Exercice (3.12) que gσ ⋆ f (x) =
2π
3) i) Etablir que
lim gσ ⋆ f (x) = f (x)
Z
R
eixξ F (gσ ⋆ f )(ξ)dξ.
σ7→0
puis toujours quand σ tend vers 0+ , que
Z
Z
1
1
ixξ
ˆ
e F (gσ ⋆ f )(ξ)dξ 7→
eixξ f(ξ)dξ.
2π R
2π R
Cet exercice montre que
Z
1
eixξ fˆ(ξ)dξ, ∀ f ∈ L1 (R) ∩ C 0 (R) t.q. fˆ ∈ L1 (R).
f (x) =
2π R
(3.22)
(Prener une suite de fonctions de troncature (ϕn ) telle que ϕn ∈ Cc0 (R), 0 ≤ ϕn ≤
1, ϕn (x) = 1 sur [−n, n], ceci ∀n. Vérifier que les ϕn f satisfont aux hypothèses de
l’exercice).
Remarquer que l’espace de Schwarz S(R),
S(R) = {f ∈ C ∞ (R); (1 + |x|)j f (k) (x) ∈ L∞ (R) ∀ j, k}
34
(3.23)
vérifie
F (S(R)) ⊂ S(R) ⊂ Lp (R), ∀p ≥ 1,
d’où la formule d’inversion dans S(R),
Z
1
eixξ fˆ(ξ)dξ, ∀ f ∈ S(R),
f (x) =
2π R
(3.24)
(3.25)
ce qui prouve que la transformée de Fourier est un isomorphisme (linéaire) sur l’espace
vectoriel S(R).
De (3.25), on en déduit la formule de Plancherel sur S(R) :
Z
Z
1
1
f (x)g(x)dx =
fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ et donc kf k2 = √ kfˆk2 ∀ f, g ∈ S(R). (3.26)
2π R
2π
R
En effet, (3.26) vient de (3.21) et de (3.25). Pour s’en convaincre, il suffit d’écrire que
g(x) = ĥ(x),
1
ĝ(ξ), (si g ∈ S(R)).
avec h(ξ) donné par (3.25) appliquée à g, h(ξ) = 2π
∞
p
Comme Cc (R) ⊂ S(R) ⊂ L (R), on trouve que S(R) est dense dans Lp (R), pour
tout p ∈ [1, +∞[.
Quand p = 2, la formule de Plancherel montre que la transformée de Fourier se
prolonge sur L2 (R) en un unique opérateur noté encore F , qui est un isomorphisme
d’espace de Hilbert :
1
1
F (g)(−x), ∀ g ∈ L2 (R).
F ∈ L(L2 (R)), kf k2 = √ kF (f )k2 et F −1 (g)(x) =
2π
2π
(3.27)
Remarquons que si on considère la définition de la transformée de Fourier de [9]
F (f )(ξ) = √12π F (f )(ξ), alors F : L2 (R) 7→ L2 (R) est un opérateur unitaire : F ⋆ = F −1 .
De façon équivalente F est un isomorphisme isométrique :
F est surjectif et kF (f )k2 = kf k2 , ∀ f ∈ L2 (R).
Montrons l’injectivité de la transformée de Fourier, comme opérateur linéaire et continu
de L1 (R) dans L∞ (R),
{f ∈ L1 (R), fˆ = 0} =⇒ f = 0.
(3.28)
(On n’a pas la surjectivité). Preuve de (3.28)
Soit f ∈ L1 (R) tel que fˆ = 0.
Comme S(R) est dense dans L1 (R), on peut toujours trouver une suite de fonctions
dans S(R), (fn ), telle que
lim kf − fn k1 = 0 et lim fn (x) = f (x) p.p. sur R.
n
n
(3.29)
Mais, pour tout n, f n (x)[1 + |fn (x)|2 ]−1/2 ∈ S(R).
L’isomorphisme de la transformation de Fourier sur S(R) permet de trouver, pour
tout n, gn ∈ S(R) tel que ĝn (x) = f n (x)[1 + |fn (x)|2 ]−1/2 .
35
Comme fˆ = 0, la première formule de Plancherel montre alors que
Z
Z
Z
2 −1/2
dx =
f (x)ĝn (x)dx =
fˆ(ξ)gn (ξ)dξ = 0.
f (x)f n (x)[1 + |fn (x)| ]
R
R
(3.30)
R
Mais le Théorème de convergence dominée de Lebesgue, permet de voir que (3.29) et
(3.30) impliquent
Z
Z
|f (x)|2
2 −1/2
p
dx,
0 = lim f (x)f n (x)[1 + |fn (x)| ]
dx =
n
1 + |f (x)|2
R
R
la positivité de la dernère fonction intégrée (et d’intégrale nulle) montre que f (x) = 0 p.p.
sur R.
Dans le cas de Rn la transformation de Fourier est définie par
Z
ˆ = fˆ(ξ1 , . . . , ξn ) =
F (f )(ξ) = f(ξ)
e−i<x,ξ> f (x)dx
Rn
=
Z
e−i(x1 ξ1 +x2 ξ2 ...+xn ξn ) f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn ;
Rn
ceci au départ pour f ∈ L1 (Rn ).
Elle se prolonge aussi à partir de L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) en un isomorphisme sur l’espace
de Hilbert L2 (Rn ) tel que l’on ait :
1- la formule de Plancherel
Z
Z
1
1
ˆ
ˆ f(ξ)dξ
f (x)g(x)dx =
kfˆk2 ,
(3.31)
et donc kf k2 =
f(ξ)
n
n/2
(2π)
(2π)
n
n
R
R
ceci ∀ f, g ∈ L2 (Rn ).
2- la formule d’inversion
1
f (x) =
(2π)n
Z
ˆ
ei<x,ξ> f(ξ)dξ,
(3.32)
Rn
ceci ∀ f ∈ C 0 (Rn ) ∩ L1 (Rn ) tel que fˆ ∈ L1 (Rn ).
On trouve alors la formule d’inversion
f (x) =
1
ˆ
F (f)(−x)
p.p. ∀ f ∈ L2 (Rn ).
n
(2π)
Nous renvoyons à [5] pour les preuves.
3.4
Fonctions holomorphes
Dans le cours de M1, on aura rarement l’occasion d’utiliser des propriétés fines sur
les fonctions holomorphes. Elles apparaı̂trons, mais à valeurs dans un espace de Banach.
36
On utilisera surtout le caractère analytique de ces fonctions et l’unicité du prolongement
holomorphe dans un ouvert simplement connexe.
Par contre, pour traiter les sujets de T.E.R., (Travaux d’Etude de Recherche), il est
impératif de connaı̂tre le minimum développé dans les 24 pages du chapitre 10 du livre
[9] de W. Rudin, ”Analyse réelle et complexe”, (ou les 40 dernières pages de [4], ou du
minimum enseigné en D.E.U.G. développé dans le Tome 3 de [1] ou dans le Tome 3 de
[8]).
Nous supposerons acquis le minimum enseigné en D.E.U.G..
3.5
Les polynômes orthogonaux
Soit I ⊂ R un intervalle ouvert de R et f ∈ C 0 (I; R⋆+ ) une fonction continue sur I
et > 0. Alors (I, TB (I), M(f )) est un espace mesuré si
R
M(f )(J) = I χJ (x)f (x)dx pour tout borélien J de I. On note dM(f ) = f (x)dx.
On dit qu’on a une mesure de Lebesgue à densité.
On fait l’hypothèse suivante sur la fonction densité à savoir que l’espace vectoriel des
polynômes P(R) est dans L1 (I; f (x)dx) :
Z
|P (x)|f (x)dx < +∞, ∀ P (x) ∈ P(R),
(3.33)
I
ce qui est équivalent à : pour tout entier n, (1 + |x|)n f (x) ∈ L1 (I).
Alors on a aussi P(R) ⊂ Lp (I; f (x)dx), ∀ p ∈ [1, +∞[.
On considère le cas p = 2, alors H = L2 (I; f (x)dx) est un espace de Hilbert de
produit scalaire
Z
Z
(u; v) = u(x)v(x)f (x)dx, kuk = [ |u(x)|2 f (x)dx]1/2 , ∀ u, v ∈ H.
(3.34)
I
I
Comme {1, x, x2 , . . . , xn , xn+1 , . . .} est un système libre de vecteurs dans l’espace de
Hilbert H = L2 (I; f (x)dx), on peut alors en extraire, par le procédé de Grahm-Schmidt,
un système orthonormé {P0 (x), P1 (x), P2 (x), . . . Pn (x), . . .} :
P0 (x) = a0 (0), P1 (x) = a1 (1)x + a0 (1), P2 (x) = a2 (2)x2 + a1 (2)x + a0 (2), . . . ,
Pn (x) =
n
X
ai (n)xi avec an (n) > 0.
i=0
Rappelons comment on construit les Pn (x),
si Q0 (x) = 1, P0 (x) = a0 (0) = 1/kQ0 (x)k, Pn (x) = Qn (x)/kQn (x)k
n
avec Qn (x) = x −
n−1
X
(xn ; Pi(x))Pi (x) si n > 0.
i=0
37
(3.35)
On a
∀n, Pn (x) ∈ P(R), d◦ Pn (x) = n, ∀k (Pn (x); Pk (x)) = δn (k).
(3.36)
Les polynômes Pn (x) sont donc orthonormés, on les appelle
polynômes orthogonaux normalisés. On a aussi
Q0 (x) = 1, ∀n > 0, Qn (x) − xn ∈ Pn−1 (R), ∀ k, k 6= n (Qn (x); Qk (x)) = 0,
(3.37)
les polynômes Qn (x) sont appelés polynômes orthogonaux unitaires
Exercice 3.14 Si n > 1, alors Pn (x) a n zéros distincts et qui sont tous dans I.
(Considérer le polynôme (x − x1 ) . . . (x − xk ) si x1 < x2 < . . . < xk sont les seuls zéros
de Pn (x) dans I à changement de signe, (donc (x − x1 ) . . . (x − xk )Pn (x) a un signe
constant), utiliser alors que Pn (x) est dans l’orthogonal de Pn−1 (R)).
Théorème 3.15 Soit ]a, b[ un intervalle borné, et soit f ∈ C 0 (]a, b[; R⋆+ ) ∩ L1 (]a, b[).
Alors les polynômes orthogonaux normalisés pour la norme de L2 (]a, b[; f (x)dx),
{P0 (x), P1 (x), P2 (x), . . . Pn (x), . . .} forment une base hilbertienne de L2 (]a, b[; f (x)dx).
Preuve succincte Comme {P0 (x), P1 (x), P2 (x), . . . Pn (x), . . .} est un système orthonormé
qui engendre P(R), il suffit de prouver que l’orthogonal de P(R) dans H = L2 (]a, b[; f (x)dx)
est réduit à zéro.
Soit u ∈ L2 (]a, b[; f (x)dx) supposé choisi dans l’orthogonal de P(R),
Rb
u(x)P (x)f (x)dx = 0, ∀P (x) ∈ P(R).
a
Comme Q0 (x) = 1 ∈ L2 (]a, b[; f (x)dx), alors L∞ (]a, b[) ⊂ L2 (]a, b[; f (x)dx), ce qui
donne en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz que u(x)f (x) ∈ L1 (]a, b[).
De plus l’injection L∞ (]a, b[) ֒→ L2 (]a, b[; f (x)dx) est continue. Comme pour tout
∞
X
ξ ∈ R fixé, la série
(ixξ)k /k! converge dans L∞ (]a, b[) vers eixξ , on en déduit sa
k=0
convergence dans L2 (]a, b[; f (x)dx).
Ce qui donne alors, en utilisant la continuité du produit scalaire, que
Z b
Z b
n
X
ixξ
−ixξ
(u; e )H =
e
u(x)f (x)dx = lim
u(x)f (x)[ (−ixξ)k /k!]dx.
n7→∞
a
Mais
n
X
k=0
k
(−ixξ) /k! est un polynôme, donc ∀n,
a
Z
k=0
b
a
n
X
u(x)f (x)[ (−ixξ)k /k!]dx = 0.
k=0
On trouve que, si g(x) est la fonction de L1 (R), g(x) = u(x)f (x)χ]a,b[ (x),
alors g a sa transformation de Fourier qui est nulle :
Z
Z b
−ixξ
0 = ĝ(ξ) =
u(x)f (x)χ]a,b[ (x)e
dx =
u(x)f (x)e−ixξ dx.
a
R
D’après (3.28), on en déduit que g(x) = u(x)f (x)χ]a,b[ (x) = 0 p.p. et comme f (x) > 0
sur ]a, b[, on trouve que u(x) = 0 p.p. sur ]a, b[, soit u = 0 dans H = L2 (]a, b[; f (x)dx) •
38
Exemple 3.16 “Les polynômes de Legendre”
On prend I =] − 1, 1[ et f (x) = 1, les polynômes réels orthogonaux associés
Z 1
◦
{P0 (x), P1 (x), . . . Pn (x), . . .}, d Pn (x) = n,
Pn (x)Pk (x) = 0 si k 6= n,
−1
sont appelés polynômes orthogonaux de Legendre.
Ils vérifient l’équation différentielle de Legendre
d
d
{(1 − x2 ) Pn (x)} = −n(n + 1)Pn (x).
dx
dx
R1
Si on les normalise par −1 |Pn (x)|2 dx = 1, alors on montre que
2 −1/2
(1 + 2xt + t )
=
∞
X
n=0
√
√
2
tn Pn (x).
2n + 1
P2n (x) est pair et P2n+1 (x) est impair.
Exemple 3.17 “Les polynômes orthogonaux d’Hermite”
2
Ce sont les polynômes orthogonaux réels sur L2 (R; e−x dx).
Notons les {H0 (x), H1 (x), . . . , Hn (x), . . .},
Z
2
◦
d Hn (x) = n,
Hn (x)Hk (x)e−x dx = 0 si k 6= n.
R
H2n (x) est toujours pair et H2n+1 (x) impair, (c’est toujours le cas si I est symétrique
et si f (x) est pair sur I).
2
Si {u0(x), u1 (x), . . . , un (x), . . .} sont les fonctions d’Hermite, un (x) = Hn (x)e−x /2 ,
alors les un (x) sont les fonctions propres de l’équation différentielle connue sous le nom
d’oscillateur harmonique :
d2
un (x) + x2 un (x) = (2n + 1)un (x)
dx2
R
2
Si on normalise les Hn (x) par R |Hn (x)|2 e−x dx = 1,
ce qui est équivalent à :
les fonctions d’Hermite {u0(x), u1 (x), . . . , un (x), . . .} sont orthonormés dans L2 (R),
0
X
2n/2 π 1/4
−t2 +2tx
alors on montre que e
=
Hn (x)tn .
1/2
(n!)
k
−
On démontre, de la même façon que dans le cas d’un intervalle borné, que les fonctions
d’Hermites {u0 (x), u1 (x), . . . , un (x), . . .} forment une base hilbertienne de L2 (R).
En effet, si u(x) ∈ L2 (R) est orthogonal à toutes les fonctions d’Hermites, alors
Z
2
u(x)e−x /2 P (x)dx = 0 ∀ P (x) ∈ P(R).
R
39
Pour tout ξ ∈ R, on peut appliquer le Théorème de convergence dominée de Lebesgue à
n
X
−x2 /2
(−ixξ)k /k!,
la suite de fonctions (Sn (x))n si Sn (x) = u(x)e
k=0
+|xξ|−x2 /2
+|xξ|−x2/2
car |Sn (x)| ≤ g(x) = |u(x)|e
, comme u(x) et e
sont dans L2 (R), alors
g(x) ∈ L1 (R). Le théorème de convergence dominée de Lebesgue s’applique,
R
R
R
2
0 = R Sn (x)dx 7→ R lim Sn (x)dx = R u(x)e−x /2 e−ixξ dx,
2
soit ĝ(ξ) = 0, si g(x) est la fonction de L1 (R), g(x) = u(x)e−x /2 .
On utilise (3.28) pour en déduire que g = 0 dans L1 (R), ce qui donne que u = 0 dans
L2 (R) •
4
Plan du cours de M1 1999/2000
Chapitre 1. Espaces de Banach. Théorèmes de Hahn-Banach
– Espaces de Banach.
– Opérateurs linéaires continus. Espaces duals
– Théorème de Hahn-Banach.
(TD : les espaces lp (Z) · · ·, la transposée d’un opérateur ... )
Chapitre 2. Théorèmes de Banach-Steinhaus, de l’application ouverte et du graphe
fermé.
– Le lemme de Baire.
– Théorèmes de Banach-Steinhaus, de l’application ouverte et du graphe fermé.
– Espaces réflexifs. Topologies faibles.
(TD : Sous-espaces des opérateurs surjectifs, inversibles ....)
Chapitre 3. Théorèmes d’Ascoli
– Rappel sur le critère de la compacité dans un espace métrique.
– Théorème d’Ascoli.
Chapitre 4. Les espaces Lp .
– Rappel sur quelques résultats de l’intégration de Lebesgue.
– Complétude, séparabilité et réflexivité des espaces Lp .
– Convolution et régularisation dans Lp .
(TD : convergence faible dans Lp , inégalité de Hardy, · · ·)
Chapitre 5. Espaces de Hilbert.
– Définition. Projection sur un convexe fermé. Projection orthogonale.
– Représentation de Riesz.
– Bases hilbertiennes. Série de Fourier.
– L’adjoint d’un opérateur.
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(TD : caractérisation d’une projection orthogonale, espaces H s construits à partir des
séries de Fourier, caractérisation d’un opérateur auto-adjoint, ....)
Chapitre 6. Théorie spectrale des opérateurs compacts.
– Spectre d’un opérateur continu sur un espace de Banach.
– Propriétés spectrales d’un opérateur compact auto-adjoint.
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Références
[1] J.M. Arnaudiès, H. Fraysse, Cours de mathématiques, Dunod, Paris 1989.
[2] Ph. Barbe, M. Ledoux, Probabilité, Belin, Paris 1998.
[3] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, Paris 1999.
[4] H. Buchwalter, Variations sur l’Analyse, Ellipses, Paris 1992.
[5] H. Buchwalter, Le Calcul Intégral, Ellipses, Paris 1991.
[6] G. Choquet, Cours d’Analyse, Tome II, Topologie, Masson, Paris 1992.
[7] J. Dixmier, Topologie générale, P.U.F., Paris 1981.
[8] J. Lelong-Ferrand, J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, Dunod, Paris 1996.
[9] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris 1998.
[10] W. Rudin, Principes d’analyse mathématique, Ediscience International, Paris 1995.
[11] Y. Sonntag, Topologie et analyse fonctionnelle, Ellipses, Paris 1998.
[12] C. Tisseron, Topologie - Espaces fonctionnels, Hermann, Paris 1985.
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