Analyse fonctionnelle - Université d`Orléans

Université d’Orléans
UFR Sciences
Département de Mathématiques
Master de Mathématiques
M1S1MT05 – Analyse fonctionnelle
Automne 2007
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html
1. Le théorème de Baire et ses conséquences
Définition : Un espace de Baire est un espace topologique X vérifiant les conditions
équivalentes suivantes :
T
1
• Toute intersection
au plus dénombrable U = n Un d’ouverts denses dans X est
dense dans X,
S
2
• Toute réunion
au plus dénombrable F =
n Fn de fermés d’intérieur vide a un
intérieur vide.
Remarque : Un espace de Baire non vide X jouit en particulier des propriétés suivantes :
• Toute famille au plus dénombrable d’ouverts denses dans X a une intersection totale
non vide,
• X n’est pas maigre i.e. X n’est pas une réunion au plus dénombrable d’ensembles An
◦
avec An = ∅ .
Lemme d’intersection de Cantor : Dans un espace métrique complet X, considérons
une suite décroissante F0 ⊃ F1 ⊃ . . . d’ensembles fermés
non vides dont le diamètre
T
diam Fn = sup x,y ∈Fn d (x, y) tend vers 0 . Alors F = n Fn est un singleton.
Théorème de Baire : Tout espace métrique complet X est de Baire.
Remarques :
• Tout espace de Banach est de Baire.
3
• Toute partie ouverte
U d’un espace métrique complet est de Baire (corollaire de la
démonstration du théorème de Baire).
• Tout espace localement compact est de Baire (annexe).
Le théorème de Baire implique des résultats de continuité automatique.
Théorème de la borne uniforme (Banach–Steinhaus) : Soient E un espace de
Banach et F un espace normé . Les conditions suivantes sont équivalentes, pour une
partie A de L(E, F ) :
• A est bornée dans L(E, F ) : sup T ∈A |||T ||| < +∞ ,
i.e. A est bornée localement uniformément : ∀ r > 0 , sup T ∈A, kxk≤r ||T x|| < +∞ .
• A est bornée ponctuellement : ∀ x ∈ E , sup T ∈A ||T x|| < +∞ .
Corollaire : Avec les mêmes hypothèses, si (Tn ) est une suite d’applications linéaires
continues de E dans F convergeant simplement vers une application T : E → F , alors
T est linéaire continue.
1
U n’est pas ouvert, en général.
F n’est pas fermé, en général.
3 U n’est pas complet, en général.
2
Théorème de l’application ouverte (Banach) : Soit T : E → F une application
linéaire continue surjective entre espaces de Banach. Alors T est ouverte i.e. l’image
par T de tout ouvert de E est un ouvert de F .
Corollaire : Les conditions suivantes sont équivalentes, pour une application linéaire
bijective T : E → F entre espaces de Banach :
• T est bicontinue : ∃ 0 < C1 ≤ C2 < +∞ , ∀ x ∈ E , C1 kxk ≤ kT xk ≤ C2 kxk ;
• T est continue : ∃ C ≥ 0 , ∀ x ∈ E , kT xk ≤ C kxk ;
• T est ouverte : ∃ C > 0 , ∀ x ∈ E , kT xk ≥ C kxk .
Théorème du graphe fermé : Les conditions suivantes sont équivalentes, pour une
application linéaire T : E → F entre deux espaces de Banach :
• T est continue ,
• le graphe de T est fermé dans E × F .