Mathématiques, MAT-MAB-MAP 1ère année Objectifs chap. 2 géométrie Objectifs : trigonométrie, géométrie (chap. 2) A la fin de ce cours (et pour réussir l’épreuve sur celui-ci), vous devriez être capable de : 1. Définir (énoncer pour les théorèmes), illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire lié au chapitre traité : – unités de mesure des angles (degré, radian), angle aigu, angle droit, angle obtus, angle plat, longueur d’un arc de cercle, aire d’un secteur circulaire, cercle trigonométrique, fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - (définies par rapport au cercle trigonométrique ou au triangle rectangle), relations fondamentales entre cos(α), sin(α), tan(α) et cot(α), théorème du sinus, théorème du cosinus. 1) Définir le sinus et le cosinus d’un angle α en se basant sur le cercle trigonométrique. 2) Simplifier autant que possible, à l’aide des relations fondamentales, l’expression cos(α) − cos3 (α) suivante : sin(α) − sin3 (α) 2. Convertir en radians les angles donnés par leur mesure en degrés et vice-versa. 1) Convertir en degrés les angles donnés par leur mesure en radians et inversement. π a) 340◦ b) 124◦ c) d) 0.5 8 3. Calculer la longueur d’un arc de cercle et l’aire d’un secteur circulaire en connaissant le rayon et l’angle au centre. 1) Calculer, à 1 mm près, la longueur d’un arc a) de 32◦ sur un cercle de rayon 15 cm. b) de 2 radians sur un cercle de rayon 7 cm. 4. Exprimer par cœur ou retrouver les valeurs exactes du sinus, du cosinus, de la 3π π π π π tangente et de la cotangente des angles : 0, , , , , π, , 2π. 6 4 3 2 2 1) Compléter le tableau ci-dessous. degrés radians sin 0 30 45 60 90 page 1 cos tan cot Mathématiques, MAT-MAB-MAP 1ère année Objectifs chap. 2 géométrie 5. Résoudre des triangles rectangles en utilisant les définitions des rapports sinus, cosinus et tangente (dans un triangle rectangle). 1) Un triangle ABC est rectangle en C. Résoudre ce triangle connaissant : b = 8.2, β = 20, 7◦ . 6. Résoudre des triangles quelconques en utilisant les théorèmes du sinus et du cosinus. 1) Résoudre un triangle ABC donné par : α = 26, 77◦, γ = 87, 39◦, c = 46, 09. 7. Traduire l’énoncé d’un exercice ou d’un problème en termes mathématiques et le résoudre en utilisant les fonctions trigonométriques et les relations qui les lient, ainsi que les théorèmes s’y rapportant. 1) Un parc a la forme d’un hexagone régulier de 2 km de côté. Alice marche le long du périmètre du parc et parcourt 5 km. A quelle distance (en ligne droite) de son point de départ (un des sommets de l’hexagone) se trouve-t-elle ? page 2 1ère année Mathématiques, MAT-MAB-MAP Objectifs chap. 2 géométrie Solutions exercices objectifs 1.1) Le sinus et le cosinus d’un angle α sont définis par : sin(x) y 1 -1 M α 0 Soit P (1; 0) sur le cercle trigonométrique. Soit encore M l’image de P par une rotation de centre 0 et d’angle α. On appelle cosinus de α et sinus de α les coordonnées du point M. On note : M(cos(α); sin(α)). P x 1 cos(x) -1 2.1) a) 17π 9 b) 3.1) a) 84 mm 31π 45 c) 22.5◦ d) 28, 65◦ b) 140 mm 4.1) Le tableau complet : degrés radians sin cos tan cot 0 0 0 1 0 − 30 π 6 1 2 √ √ 3 3 45 π 4 60 π 3 90 π 2 3 2 √ √ 2 2 2 2 √ 3 2 1 2 1 0 5.1) α = 69.3◦ , a = 21.70, c = 23.20 6.1) β = 65, 84◦ , a = 20, 78, b = 42, 10 √ 7.1) 13 = 3.606 km page 3 √ 3 1 1 √ √ 3 − 3 3 0