Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé E 1 E 2

1S
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
2. Déterminer une équation de T1 .
.
Contrôle : trigonométrie,
nombre dérivé
E
1
( 4 points )
. correction
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier
9
T1
8
(aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée).
7
6
1. Étant donné deux nombres a et b , si cos (a) = cos (b) , alors cos (2a) =
5
cos (2b) .
4
3
14π
−−→ −−→
2. Étant donné des points A , B , C et D , si (AB ; CD ) =
(2π) , alors
3
π
−−→ −−→
(AB ; DC ) = − (2π) .
3
3. Étant donné deux nombres a et b , si sin (a) = sin (b) , alors sin (2a) =
3π
−−→ −−→
4. Étant donné des points A B , C , D , E et F , si (AB ; CD ) =
(2π) et
4
5π
−→ −−→
−−→
−→
(EF ; CD ) =
(2π) , alors les vecteurs AB et EF sont colinéaires.
4
E
2
1
−4
−3
b
−2
−1 0
−1
−2
sin (2b) .
2
( 3 points )
. correction
On considère la fonction f définie sur
dont une partie de la courbe représentative Cf est donnée ci-contre.
La fonction f est dérivable sur
R
R.
Les droites T1 et T2 sont des tangentes à Cf .
1. Déterminer graphiquement f ′ (−3) et f ′ (0) :
Page 1
T2
b
−3
1
2
3
Cf
1S
E
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
3
où c est la vitesse de la lumière, v la vitesse du corps et m 0 la masse du corps
( 13 points )
. correction
On considère l'intervalle I =] − 1; +∞[ .
au repos.
1. On considère la fonction f définie sur I par :
Lorsque la vitesse v est très petite devant c et que donc le rapport
de 0 , expliquer comment on peut retrouver, à partir de la formule d'Einstein, la
1
f (x) = p
1+x
(a) Montrer que pour tous réels positifs a et b , a − b =
(b) Déterminer le taux d'accroissement,
(p
p ) (p
p )
a+ b
a− b .
formule donnée dans théorie galiléenne :
f (0 + h) − f (0)
, de f en 0 .
h
(c) Montrer que f est dérivable en 0 et déterminer la valeur du nombre dérivé
de f en 0 .
(d) En déduire l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f
en son point d'abscisse 0 .
2. (a) D'après le cours, dire qu'une fonction f est dérivable en a signifie qu'il
existe un nombre que l'on note f ′ (a) tel que
f (a + h) − f (a)
= f ′ (a) .
h→0
h
lim
Ainsi, on a, lorsque h est « petit »,
f (a + h) − f (a)
≈ f ′ (a) .
h
En déduire que, lorsque h est « petit », f (a + h) ≈ f (a) + h f ′ (a) .
(b) Dans la théorie de la relativité d'Albert Einstein (1879 -- 1955), l'énergie
cinétique d'un corps en mouvement est donnée par la formule :
Ec = (γ − 1)m 0 c 2
avec
v2
est proche
c2
γ= √
1
2
1 − vc 2
Page 2
1
Ec = m 0 v 2
2
1S
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
2. La proposition est vraie.
.
Correction
E
1
−−→ −−→
−−→ −−→
(AB ; DC ) = (AB ; −CD ) (2π)
−−→ −−→
= π + (AB ; CD ) (2π)
17π
= π+
(2π)
3
17π
=
(2π)
3
π
= − (2π)
3
. énoncé
1. La proposition est vraie.
a = b + 2kπ, k ∈
cos (a) = cos (b) =⇒
ou
a = −b + 2kπ, k ∈
3. La proposition est fausse. Avec a =
Z
2a = 2b + 4kπ, k ∈
=⇒
π
5π
et b =
, sin (a) = sin (b) mais
6 )
6
p
p
(
(π)
5π
3
3
sin (2a) = sin
=
et sin (2b) = sin
=−
.
3
2
3
2
Z
4. La proposition est fausse.
ou
2a = −2b + 4kπ, k ∈
Z
cos (2a) = cos (2b + 4kπ) , k ∈
=⇒
ou
cos (2a) = cos (2b + 4kπ) , k ∈
Z
Z
cos (2a) = cos (2b)
=⇒
−−→ −→
−−→ −−→
−−→ −→
(AB ; EF ) = (AB ; CD ) + (CD ; EF ) (2π)
3π −→ −−→
=
− (EF ; CD ) (2π)
4
3π 5π
−
(2π)
=
4
4
π
= − (2π)
2
Z
E
1. f ′ (−3) =
. énoncé
5
1
et f ′ (0) = .
3
3
5
3
2. y = x + 4 .
ou
cos (2a) = cos (−2b)
=⇒ cos (2a) = cos (2b) car ∀x ∈
2
E
R, cos (x) = cos (−x).
1. (a)
Page 3
(p
3
. énoncé
p ) (p
p )
a+ b
a − b = a −b .
1S
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
(b) Pour tout h ̸= 0 et h > −1 :
est donc petit) on obtient :
1
f (0 + h) − f (0)
h
=
=
=
=
1
−p
p
1
1+h
h
p
1− 1+h
p
(h 1
)
p+ h ) (
p
1− 1+h 1+ 1+h
(
)
p
p
h 1+h 1+ 1+h
γ= √
1
v2
1− 2
c
( 2)
1
v
≈ 1− × − 2
2
c
.
≈ 1+
On a alors
(
)
Ec = γ − 1 m 0 c
≈
≈
1−1−h
(
)
p
p
h 1+h 1+ 1+h
1
(
)
= −p
p
1+h 1+ 1+h
p
(c) On admet que lim 1 + h = 1 , on obtient alors
h→0
f (0 + h) − f (0)
1
=− .
h→0
h
2
1
f est donc dérivable en 0 et f ′ (0) = − .
2
lim
1
2
(d) y = − x + 1 .
2. f (a + h) ≈ f (a) + h f ′ (a) .
1
2
3. D'après ce qui précède pour a = 0 et h petit f (h) ≈ f (0) − h donc
1
1
≈ 1 − h.
p
2
1+h
v2
En posant h = − 2 (lorsque v est petite par rapport à la vitesse de la lumière h
c
Page 4
)
1 v2
− 1 m0 c 2
1+
2 c2
1
m0 v 2
2
(
2
1 v2
2 c2