Second degré - maths montataire

Devoir surveillé n°1 : Second degré
EXERCICE 1 (16 points)
PARTIE A
On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ] − ∞; +∞[ par
l’expression f (x) = −0, 000625x 2 + 0, 5x + 69.
1.
a. Déterminer la forme canonique de la fonction f .
b. Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle ] − ∞; +∞[.
c. En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [0; 400].
2.
a. Montrer que l’équation f (x) = 153 est équivalente à −0, 000625x 2 + 0, 5x − 84 = 0.
b. Résoudre cette équation (le détail des calculs est demandé !).
3. Soit g (x) = −0, 000625x 2 + 0, 5x − 31. On admet que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions :
p
p
x 1 = 400 + 4000 0, 0069 et x 2 = 400 − 4000 0, 0069 .
Dresser alors le tableau de signes de la fonction g sur l’intervalle ] − ∞; +∞[.
4. A l’aide de la commande "table" de votre calculatrice, remplir le tableau ci-dessous
en arrondissant les valeurs à l’unité) :
x
f (x)
0
20
50
80
100
150
200
300
400
PARTIE B
Lors d’une expérience, on a mesuré la fréquence cardiaque, en nombre de battements par minute, d’un
coureur de 400 mètres.
Cette fréquence cardiaque est modélisés par la fonction f (x) = −0, 000625x 2 + 0, 5x + 69 où x représente
la distance parcourue (en mètres) depuis le départ.
1. Expliquer pourquoi l’ensemble de définition de la fonction f est l’intervalle [0; 400].
2. On répondra aux questions suivantes en utilisant les résultats de la PARTIE A.
a. Quelle est la fréquence cardiaque du coureur au départ de la course ?
b. Quelle est la fréquence cardiaque du coureur à la mi-course ?
c. Au bout de quelle distance parcourue la fréquence cardiaque du coureur est-elle égale à 153
battements par minute ?
d. Donner la portion du parcours pour laquelle le rythme cardiaque du coureur est supérieur à
100 battements par minute (on arrondira à l’unité).
EXERCICE 2 (4 points)
L’arche d’un pont de forme parabolique touche le sol en deux points (appelés points de contacts)
distants de 160 mètres. La hauteur maximale de l’arche est de 80 mètres.
Un homme se trouve au niveau du premier point de contact et se déplace vers le second point de
contact. Soit x la distance parcourue par celui-ci depuis le premier point de contact (0 ≤ x ≤ 160). On
note f (x) la hauteur de l’arche x mètres après le premier point de contact.
1. En utilisant la propriété de symétrie d’une parabole, donner la distance à parcourir par rapport au
premier point de contact afin que la hauteur de l’arche soit maximale.
2. En déduire la forme canonique de f (x).
3. Quelle est la hauteur de l’arche 16 mètres après le premier point de contact ?