Dérivée et vitesse A. Vitesse On considère un mobile qui se déplace sur un axe (x'x). A chaque instant t, la position du mobile est donnée par son abscisse x qui est donc une fonction de t; on posera x=f(t). Que peut-on dire de la vitesse de ce mobile ? Nous pouvons trouver facilement sa vitesse moyenne entre deux instants t0 et t1 : il s'agit du f t 1− f t 0 quotient distance parcourue donc f(t1) – f(t0) sur durée donc t1 – t0 ; d'où v m = . t 1−t 0 Que devient cette vitesse moyenne lorsque t1 tend vers t0 ? f t 0h− f t 0 En posant t 1=t 0h , cela revient à chercher la limite de lorsque h tend vers h 0. Si f est dérivable en t0, cette limite existe et est égale à la dérivée de f en t0, soit f '(t0). On l'appelle vitesse instantanée à l'instant t0. Conclusion : Si la position d'un mobile est donnée par une fonction dérivable f, sa vitesse instantanée est donnée par la fonction f '. Deux cas particuliers Mouvement uniforme : la vitesse est constante égale à v0; la fonction f qui donne la position du mobile est donc de la forme f(t) = v0t + C. Si à l'instant 0 la position du mobile est x0, on trouve que f(t) = v0t + x0. Mouvement uniformément accéléré : la vitesse instantanée est une fonction affine du temps, on a donc v = at + b. La fonction f qui donne la position du mobile est donc de la forme a 2 f t = t btc . 2 B. Loi de la chute des corps Lorsqu'on laisse tomber un objet sa vitesse augmente proportionnellement au temps de la chute (voir cours de Physique). Il existe donc un coefficient g tel que v = gt. Des mesures physiques indiquent que g≈9,81. On se trouve en présence d'un mouvement uniformément accéléré. 1- Quelle est la fonction qui donne la distance parcourue en considérant que l'objet est laché à l'instant 0 et qu'il se trouve alors au point d'abscisse 0 ? 2- Si on lache l'objet d'une hauteur de 20m, quelle sera la durée de sa chute ? Quelle sera sa vitesse au moment où il atteint le sol ? Application : mesurer la profondeur d'un puits avec un chronomètre. On lache un objet et on mesure le temps mis avant d'entendre le « plouf ». Sachant que le son se déplace à la vitesse constante de 300m/s et qu'on a entendu le « plouf » après 1,5s, quelle est la profondeur du puits ? C. Autres exercices 1- Un coureur 1 2 t . 20 1. Peut-on affirmer que la vitesse du coureur diminue proportionnellement au temps de la course ? 2. a) Calculer l'instant t1 auquel la vitesse du coureur s'annule. b) Quelle est alors la distance parcourue par le coureur ? 3. a) Déterminer la vitesse moyenne pendant cette course. t b) Vérifier que cette vitesse moyenne est égale à la vitesse du coureur à l'instant 1 . 2 Un coureur court en ligne droite depuis l'instant t = 0 avec la loi horaire : d (t )=10 t − 2- Fusée de détresse Le capitaine d'un bateau tire une fusée de détresse verticalement à l'instant t = 0. Cette fusée s'élève suivant la loi horaire : y (t)=39,2 t−4,9 t 2 . y (t) désigne l'altitude de la fusée en mètres à l'instant t en secondes. 1. Calculer la vitesse de la fusée à l'instant t. En déduire sa vitesse initiale. 2. Déterminer l'altitude à laquelle la vitesse de la fusée à diminué de moitié. 3. Que se passe-t-il à l'instant t = 4 s ? à l'instant t = 8 s? Justifier. 3- Rencontre de deux points Deux points M et N se déplacent à partir de l'instant t = 0. La loi horaire de M est x 1 (t)=100+5t . 1 2 La loi horaire de N est x 2 (t)= +t . 2 x 1 (t) et x 2 (t) désignent les abscisses de M et N. 1. Déterminer l'instant t1 où M et N se rencontrent et l'abscisse du point où cela se produit. 2. Calculer les vitesses de M et N au moment de leur rencontre.