espaces vectoriels en dimension finie

espaces vectoriels en dimension finie
Exercice 1: Dans 𝐸 = ℝℝ , les familles suivantes sont-elles libres ?
1. (𝑓, 𝑔, ℎ) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, ℎ(𝑥) = 1.
2. (𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, ℎ(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥, 𝑖(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥.
3. (𝑓, 𝑔, ℎ) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin2 (𝑥), 𝑔(𝑥) = cos2 (𝑥), ℎ(𝑥) = 1.
4. ℱ = (sin, cos, exp).
Exercice 2
La famille ℱ = {𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 }, où 𝑄1 = 𝑋 2 + 1, 𝑄2 = 3𝑋 2 − 𝑋 + 3, 𝑄3 = 𝑋 2 − 𝑋 + 1
est-elle une base de 𝐸 = ℝ2 [𝑋] ? Si oui, déterminer les coordonnées sur cette base de 𝑃 = 𝑋.
Exercice 3
On rappelle que le seul polynôme qui possède une infinité de racines est le polynôme nul.
1. Dans l’espace 𝐸 = ℱ([0, 𝜋2 ], ℝ), on définit les fonctions 𝑓𝑘 par : ∀𝑥 ∈ [0, 𝜋2 ], 𝑓𝑘 (𝑥) = sin𝑘 (𝑥). Pour tout
entier 𝑛 ∈ ℕ, montrer que la famille ℱ = (𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ) est libre.
2. De même, avec 𝑔𝑘 (𝑥) = exp(𝑘𝑥), montrer que la famille 𝒢 = (𝑔0 , 𝑔1 , 𝑔2 , . . . , 𝑔𝑛 ) est libre dans l’espace
𝐹 = ℝℝ .
Exercice 4
Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E .
Montrer l’équivalence : ker f = Im f ⇔ f 2 = 0 et n = 2 rg( f ) .
Exercice 5
Soit 𝐹 et 𝐺, deux sev de ℝ5 tels que dim(𝐹 ) = dim(𝐺) = 3. Montrer que 𝐹 ∩ 𝐺 ∕= {⃗0}.
Exercice 6
Soit 𝐹 et 𝐺, deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, espace vectoriel de dimension finie 𝑛.
Montrer que, si dim(𝐹 ) + dim(𝐺) > 𝑛, alors 𝐹 ∩ 𝐺 ∕= {⃗0}.
Exercice 7
Soit 𝑎 et 𝑏, deux scalaires pris dans le corps 𝕂. On définit 𝐸, l’ensemble des suites 𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0
à valeurs dans 𝕂 et vérifiant la relation de récurrence : ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑢𝑛 . Autrement dit :
𝐸 = {𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0 ∈ 𝕂ℕ ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑢𝑛 }.
1. Vérifier que 𝐸 est un 𝕂-ev.
2. On considère l’application 𝜑 :
𝐸 −→ 𝕂2
.
𝑢 7−→ 𝜑(𝑢) = (𝑢0 , 𝑢1 )
Montrer que 𝜑 est linéaire et bijective. Conclusion concernant la structure de 𝐸 ?
Soit 𝐸, un ev de dimension 3, et 𝑓 un endomorphisme de 𝐸 tel que 𝑓 2 ∕= 0 et 𝑓 3 = 0.
On dit que 𝑓 est un endomorphisme nilpotent d’ordre 3. Soit ⃗𝑥0 tel que 𝑓 2 (⃗𝑥0 ) ∕= ⃗0.
Exercice 8
1. Montrer que (⃗𝑥0 , 𝑓 (⃗𝑥0 ), 𝑓 2 (⃗𝑥0 )) est une base de 𝐸.
2. Montrer que rg(𝑓 ) = 2.
3. Montrer que l’ensemble des endomorphismes de 𝐸 qui commutent avec 𝑓 est un sev de ℒ(𝐸) de base
(Id𝐸 , 𝑓, 𝑓 2 ). Indication : on a 𝑔(⃗𝑥0 ) = 𝑎⃗𝑥0 + 𝑏𝑓 (⃗𝑥0 ) + 𝑐𝑓 2 (⃗𝑥0 ). Montrer que, pour tout ⃗𝑥 ∈ 𝐸, on a
𝑔(⃗𝑥) = 𝑎⃗𝑥 + 𝑏𝑓 (⃗𝑥) + 𝑐𝑓 2 (⃗𝑥).
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Exercice 9
Soit n  * . Soient a0 ,..., an   1,1 deux à deux distincts entre eux.
n  X a 
j
On pose pour tout k  0,1,..., n , Lk ( X )   


j  0  ak  a j 
1) Quel est le degré de Lk ?
2) Calculer Lk (ai ) quand k  i , puis quand k  i .
3) Montrer que la famille  Lk 0 k n est une famille libre de l’espace vectoriel  n  X  .
Justifier qu’elle en est une base.
4) Soit P   n  X  . Déterminer les coordonnées de P dans cette base de Lagrange.
Exercice 10
Soit 𝑓 , un endomorphisme d’un ev 𝐸, avec Dim(𝐸) = 𝑛, 𝑓 𝑛−1 ∕= 0 et 𝑓 𝑛 = 0.
1. Montrer que, si 𝑓 𝑛−1 (⃗𝑎) ∕= ⃗0, alors la famille (⃗𝑎, 𝑓 (⃗𝑎), 𝑓 2 (⃗𝑎), . . . , 𝑓 𝑛−1 (⃗𝑎)) est libre.
2. En déduire que rg(𝑓 ) = 𝑛 − 1.
Soit 𝑓 un endomorphisme d’un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛 tel que rg(𝑓 )=rg(𝑓 2 ).
Exercice 11
Montrer que Ker(𝑓 ) et Im(𝑓 ) sont supplémentaires dans 𝐸.
Exercice 12
Soit 𝐸, un espace vectoriel de dimension 𝑛 et 𝑢 ∈ ℒ(𝐸).
1. Montrer qu’on a les équivalences : Ker(𝑢)∩Im(𝑢) = {⃗0} ⇔ Ker(𝑢)+Im(𝑢) = 𝐸 ⇔ Ker(𝑢)⊕Im(𝑢) = 𝐸.
2. Montrer que : Ker(𝑢) = Ker(𝑢2 ) ⇔ Im(𝑢) = Im(𝑢2 ) ⇔ Ker(𝑢) ⊕ Im(𝑢) = 𝐸.
3. Soit 𝑢′ la restriction de 𝑢 à Im(𝑢). Montrer que Ker(𝑢′ ) = Ker(𝑢) ∩ Im(𝑢) et Im(𝑢′ ) = Im(𝑢2 ).
En déduire : rg(𝑢) = rg(𝑢2 ) + Dim(Ker(𝑢) ∩ Im(𝑢)).
( Noyaux et images itérés )
Exercice 13
Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C)) ).
Soit u un endomorphisme de E, pour tout entier naturel p, on notera
Ip = Im up et Kp = Ker up
1. Montrer que :
∀p ∈ N
Kp ⊂ Kp+1 et Ip+1 ⊂ Ip
2. On suppose que E est de dimension finie et u injectif.
Déterminer ∀p ∈ N
Ip et Kp
3. On suppose que E est de dimension finie n non nulle et u non injectif.
(a) Montrer qu’il existe un plus petit entier naturel r 6 n tel que Kr = Kr+1 .
(b) Montrer qu’alors Ir = Ir+1 et que
(c) Montrer que
Exercice 14
E = Kr ⊕ Ir
∀p ∈ N
Kr = Kr+p et Ir = Ir+p
Soit 𝐸, un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛 et 𝑓 ∈ 𝐸 ∗ = ℒ(𝐸, 𝕂).
Montrer que, pour tout 𝑔 ∈ 𝐸 ∗ , on a l’équivalence : ( Ker(𝑓 ) = Ker(𝑔)) ) ⇔ (∃𝛼 ∈ 𝕂∗ , 𝑔 = 𝛼𝑓 ).
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Exercice 15 Soit (𝑃𝑘 )𝑘≥0 une famille de polynômes de 𝕂[𝑋] telle que, pour tout 𝑘 ∈ ℕ, deg(𝑃𝑘 ) = 𝑘.
Montrer que ℱ = {𝑃0 , 𝑃1 , . . . , 𝑃𝑛 } est une base de 𝐸 = 𝕂𝑛 [𝑋].
Application : soit 𝑎, un scalaire fixé dans 𝕂. On définit 𝑄𝑘 = ( 𝑋 + 𝑎)𝑘 + 𝑋 𝑘 .
Montrer que 𝒢 = {𝑄0 , 𝑄1 , . . . , 𝑄𝑛 } est une base de 𝐸. En déduire que, pour tout polynôme 𝑃 de 𝐸, il existe
un et un seul polynôme 𝑄 de 𝐸 tel que 𝑃 (𝑋) = 𝑄(𝑋 + 𝑎) + 𝑄(𝑋).
Exercice 16
Soit 𝑓 et 𝑔 deux endomorphismes d’un espace vectoriel 𝐸 tels que 𝑓 ∘ 𝑔 − 𝑔 ∘ 𝑓 = Id𝐸 .
1. Montrer : ∀𝑛 ≥ 1, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑛 − 𝑔 𝑛 ∘ 𝑓 = 𝑛𝑔 𝑛−1 et 𝑓 𝑛 ∘ 𝑔 − 𝑔 ∘ 𝑓 𝑛 = 𝑛𝑓 𝑛−1 .
2. Montrer que, pour tout 𝑛 ≥ 1, les familles (Id𝐸 , 𝑓, 𝑓 2 , . . . , 𝑓 𝑛 ) et (Id𝐸 , 𝑔, 𝑔 2 , . . . , 𝑔 𝑛 ) sont libres.
3. En déduire que 𝐸 ne peut pas être de dimension finie.
4. Exhiber un exemple (examiner 𝐸 = ℝ[𝑋], 𝑓 (𝑃 ) = 𝑃 ′ et 𝑔(𝑃 ) = 𝑋𝑃 ).
Fin
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