td 22 : espaces vectoriels de dimension finie

TD 22 : ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Exercice 1
Montrer que 1, X , X .( X  1), X .( X  1).( X  2)  est une base de  3 [ X ] .
Exercice 2
On pose F  {( x, y , z )   , x  y  z  0} et G  Vect  (2,3, 5) , (4, 1, 3)  . Montrer que l’on a F  G .
3
On pose E   avec n  2 et F  Vect  (1,1,1,...,1) 
n
Exercice 3
; G  ( x1 , x2 ,..., xn )  E , x1  x2  ...  xn  0 .
Montrer que l’on a E  F  G . En déduire la dimension de G .
Montrer que l’application f :  2 [ X ] 


P  P(0), P '(0), P "(0)
3

On pose f :  
.

( x, y , z )  ( x  z , x  y , 2 x  y  z )
3
Exercice 4
est bijective.

Exercice 5
3
Déterminer une base de Ker( f ) . En déduire la dimension de Im( f ) , puis une base de Im( f ) .
En posant f :
  
( x1 , x2 ,..., xn )  x1  x2  ...  xn
n
Exercice 6
, retrouver la dimension de G  ( x1 , x2 ,..., xn )  E , x1  x2  ...  xn  0 .
Exercice 7


Soit   (e1 , ... , en ) une base d’un K-espace vectoriel de dimension finie E .



 

f est un endomorphisme de E tel que f (e1 )  f (e2 )  ...  f (en )  e1  e2  ...  en .
a)Donner des bases respectives de Ker( f ) et Im( f ) .
b)Montrer que f  id E est un automorphisme de E .
Exercice 8
f est un endomorphisme de  2 tel que la somme Im( f )  Ker( f ) n’est pas directe.
Montrer que l’on a fof   et f   .
Exercice 9
Soit E un   ev de dimension finie n .
On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel de E de dimension n  1 .
Montrer que si F et G sont deux hyperplans de E avec F  G , alors on a : dim( F  G )  n  2 .
Exercice 10
Soit E un   ev de dimension finie n .
Donner une condition nécessaire et suffisante sur n pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que Im( f )  Ker( f ) .
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E est le  -espace vectoriel des fonctions f :    .
Exercice 11
a, b, c sont trois réels fixés.
On pose x   : f1 ( x)  sin( x  a) ; f 2 ( x)  sin( x  b) ; f3 ( x)  sin( x  c) .
La famille ( f1 , f 2 , f 3 ) est-elle libre ?
Exercice 12
Soit f un endomorphisme de  3 tel que fof   et f   .
1°)Montrer que l’on a : Im( f )  Ker( f ) , puis que rg( f )  1 .




2°)Soit (e2 ) une base de Im( f ) . Soit e1 un vecteur tel que f (e1 )  e2 .
 
Montrer que (e1 , e2 ) est une famille libre.
 
  

3°)Montrer que l’on peut trouver un vecteur e3   3 tel que (e2 , e3 ) soit une base de Ker( f ) et (e1 , e2 , e3 ) soit
une base de  3 .
Exercice 13
Soit E un   ev de dimension finie n  2 .
On suppose que f est un endomorphisme de E vérifiant : dim  Ker( f )   dim(Ker( f  id )  n .
1°)Montrer que l’on a E  Ker( f )  Ker( f  id ) .
2°)Montrer que f est un projecteur de E .
Exercice 14
f et g sont deux endomorphismes d’un   ev E de dimension finie n .
1°)Montrer que l’on a rg( f  g )  rg( f )  rg( g ) .

2°)Montrer que si rg( f  g )  rg( f )  rg( g ) , alors on a Im( f )  Im( g )  {o} et E  Ker( f )  Ker( g ) .
Exercice 15
f , g sont deux endomorphismes d’un   ev E de dimension finie.
Montrer que si g est bijectif, alors rg( gof )  rg( f ) .
Exercice 16
f , g sont deux endomorphismes d’un   ev E de dimension finie.
Montrer que l’on a toujours : rg( gof )  min  rg( f ), rg( g )  .
Exercice 17
f , g sont deux endomorphismes d’un   ev E de dimension finie tels que Ker( f )  Ker( g ) .
Montrer qu’il existe un endomorphisme h de E tel que g  hof .
(On pourra compléter une base de Ker( f ) en une base de E ).
Exercice 18
E est un   ev de dimension finie. f , g sont deux endomorphismes de E tels que fog   et f  g est bijectif.
Montrer que l’on a rg( f )  rg( g )  dim( E ) .
Exercice 19




   
On pose u  (1, 2,0) ; v  (1, 0,1) ; w  (0, 2,1) ; t  (1, 2, 2) . Déterminer le rang de la famille   (u , v , w, t ) .
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