Fiche 1.

M2A – Théorie algébrique des nombres
Fiche 1
Fiche 1.
Exercice 1. Calculer le polynôme minimal des nombres algébriques suivant
p
√
√
√
√
√
1+ 5
i+ 3
1+ 7
√
(1) 2 + 3 ; (2)
; (3)
; (4)
; (4) cos(2iπ/5).
2
3
5
Exercice 2. Soit K un corps quadratique, c’est-à-dire un corps de nombre de degré 2.
√
1. Montrer qu’il existe un entier d, sans facteur carré, tel que K = Q( d).
√
2. Soit α = a + b d avec a, b ∈ Q. Montrer que α est un entier algébrique si et seulement si
2a ∈ Z
et a2 − b2 d ∈ Z.
3. On suppose que d ≡ 1 (mod 4).
OK = Z +
√
1+ d
Z
2
et
4. On suppose que d ≡ 2, 3 (mod 4). Montrer que
√
OK = Z + dZ et
disc(K) = d.
disc(K) = 4d.
Exercice 3. Soit K un corps de nombres de degré n. Un sous-anneau R de K est un ordre si R
est de type fini comme Z-module et de rang n. Soit R un ordre de K.
1. Montrer que R est un Z-module libre.
2. Montrer que toute base de R comme Z-module est une base de K comme Q-espace vectoriel.
3. Montrer que tout élément de R est un entier algébrique. En déduire que OK est l’ordre
maximal de K.
Exercice 4 (Déterminant de Vandermonde).

1 x0 · · ·
1 x1 · · ·

det  .
..
..
 ..
.
.
1
xn
···
Soit x0 , . . . , xn des indéterminées. Montrer que

xn0
Y
xn1 

(xj − xi ).
..  =
. 
xnn
0≤i<j≤n
(Indication : utiliser le fait que le déterminant est un polynôme en x0 , . . . , xn divisible par le terme
de droite. Conclure en considérant les degrés.)
Soit K un corps de nombres. Supposons que OK = Z[α]. Montrer que le discriminant de K est le
discriminant du polynôme minimal de α.
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Exercice 5 (Polynômes d’Eisenstein). Soit p un nombre premier. Soit A(X) ∈ Z[X] un polynôme
unitaire dont tous les coefficients, sauf le terme dominant, sont divisibles par p et dont le terme
constant n’est pas divisible par p2 . Montrer que A est irréductible.
Exercice 6. Soit α un nombre algébrique et soit
A(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X]
son polynôme minimal. Montrer que
R = Z + (an α)Z + (an α2 + an−1 α)Z + · · · + (an αn−1 + · · · + a1 )Z
est un sous-anneau de Q(α). Montrer, de plus, que R = Z[α] si α est un entier algébrique.
Exercice 7 (Round 2 et critère de Dedekind). Soit K un corps de nombres et soit R un ordre
de K. Pour p un nombre premier, on dit que R est p-maximal si l’indice de R dans OK n’est pas
divisible par p.
1. Montrer que l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels R n’est pas p-maximal est fini.
2. Montrer que si R est p-maximal pour tout premier p, alors R est l’anneau des entiers de K.
On explique à présent un procédure pour élargir R jusqu’à obtenir un ordre p-maximal. On pose
Ip = {x ∈ R : il existe m ≥ 1 avec xm ∈ pR}
et
Rp = {x ∈ K : xIp ⊂ Ip }.
3. Montrer que Ip est un idéal de K et qu’il existe m ≥ 1 tel que Ipm ⊂ pR.
4. Montrer que Rp est un anneau tel que R ⊂ Rp ⊂ (1/p)R.
En déduire que Rp est un ordre de K.
5. On suppose que Rp 6= R. En déduire que l’indice de R dans Rp est divisible par p.
6. On suppose que Rp = R. On montre que cela entraı̂ne que R est p-maximal. On définit
R̂p = {x ∈ OK : il existe j ≥ 1 avec pj x ∈ R}.
(a) Montrer que R̂p est un ordre p-maximal de K contenant R.
(b) Montrer qu’il existe r ≥ 1 tel que pr R̂p ⊂ R. En déduire que Ipmr R̂p ⊂ R.
(c) Supposons que R̂p 6= R.
Montrer qu’il existe 0 ≤ n < mr tel que Ipn R̂p 6⊂ R et Ipn+1 R̂p ⊂ R.
(d) Montrer que Ipn+m+1 R̂p ⊂ pR. Soit x ∈ Ipn R̂p avec x 6∈ R. Montrer que xIp ⊂ Ip .
(e) En déduire une contradiction.
On explique à présent comment calculer Ip et Rp dans le cas où R = Z[α] avec α un entier algébrique
tel que K = Q(α). On note A(X) ∈ Z[X] le polynôme minimal de α. On utilise la notation ¯ pour
représenter la réduction modulo p. Soit
A(X) ≡ Ā1 (X)e1 · · · Ās (X)es
(mod p)
la factorisation de A modulo p. On pose G(X) = A1 (X) · · · As (X) avec les Ai (X) ∈ Z[X] des
relèvements unitaires arbitraires des Āi .
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7. Montrer que pZ[α] + G(α)Z[α] ⊂ Ip .
8. Montrer que Z[α]/pZ[α] est un Fp -espace vectoriel de dimension d où d = [K : Q].
En déduire que Ip ⊂ pZ[α] + G(α)Z[α] et donc qu’on a l’égalité Ip = pZ[α] + G(α)Z[α].
Soit H(X) un relèvement unitaire de Ā(X)/Ḡ(X) ∈ Fp [X]. On pose
F (X) =
G(X)H(X) − A(X)
∈ Z[X].
p
Soit β ∈ (1/p)Z[α], disons β = B(α)/p avec B(X) ∈ Z[X].
9. Montrer que pβ ∈ Ip si et seulement si Ḡ divise B̄.
10. Soit V̄ un relèvement unitaire de Ḡ/PGCD(F̄ , Ḡ).
Montrer que G(α)β ∈ Ip si et seulement si H̄ V̄ divise B̄.
11. Soit U un relèvement unitaire du PGCD de Ā/PGCD(F̄ , Ḡ, H̄). En déduire que
1
Rp = Z[α] + U (α)Z[α].
p
12. En déduire le critère de Dedekind : Z[α] est p-maximal si et seulement si F , G et H n’ont
pas de facteur commun modulo p.
Exercice 8. Soit A(X) = X 4 − 3X + 3.
1. Montrer que A est irréductible.
On pose K = Q(α) où α est une racine de A.
2. Calculer le discriminant de A. (Indication : calculer, par exemple, NK/Q (A0 (α)).)
3. En déduire que Z[α] est p-maximal pour tout premier p distinct de 3 et 5.
4. En utilisant l’exercice précédent, calculer l’anneau des entiers de K.
Exercice 9. Soit R un anneau euclidien, c’est-à-dire un anneau intègre muni d’une fonction
(stathme) φ : R \ {0} → N telle que :
(i) Pour tous a, b ∈ R avec b 6= 0, il existe deux éléments q et r dans R tels que a = bq + r et
r = 0 ou φ(r) < φ(b).
(ii) Pour tous a, b ∈ R avec b 6= 0, φ(a) ≤ φ(ab).
1. Soit I un idéal non nul de R. Montrer que I est engendré par tout élément non nul de I dont
le stathme est minimal. En déduire que R est principal.
√
Application : Montrer que Q( 5) est principal. (Utiliser la norme.)
2. Soit R∗ le sous-groupe des unités de R. Montrer qu’il existe un élément x ∈ R \ R∗ tel que la
restriction à R∗ de la projection canonique de R sur R/(x) est surjective.
√
Application : En déduire que l’anneau des entiers de Q(i 19) n’est pas euclidien.
Exercice 10. On travaille dans le corps de nombres K = Q(i).
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1. Déterminer le degré de K/Q et l’anneau des entiers OK de K.
2. Soit n ≥ 2. Montrer qu’on a l’isomorphisme d’anneau
Z[i]/nZ[i] '
(Z/nZ)[X]
.
(X 2 + 1)
3. Soit NK/Q la norme de l’extension K/Q.
(a) Soient α, β ∈ OK , β 6= 0. Montrer qu’il existe γ ∈ OK tel que
NK/Q (α/β − γ) ≤ 1/2.
En déduire que OK est euclidien et donc principal.
(b) Montrer que les seules unités de OK sont ±1 et ±i.
4. Soit p un nombre premier impair.
(a) Montrer que p est premier dans OK si et seulement si le polynôme X 2 + 1 est irréductible
modulo p.
(b) Montrer que p est irréductible dans OK si et seulement si il n’existe pas α ∈ OK tel que
NK/Q (α) = p.
(c) En déduire le résultat suivant
Le nombre premier p s’écrit comme somme de deux carrés d’entiers
si et seulement si p = 2 ou p est congru à 1 modulo 4.
Exercice 11. Soit R un anneau intègre. On rappelle qu’un élément π de R est premier si ce n’est
pas une unité et si, pour tous éléments a, b ∈ R, on a π divise ab implique π divise a ou π divise
b. Un élément κ de R est irréductible si ce n’est pas une unité et, pour tous éléments c, d ∈ R tels
que κ = cd, alors c ou d est une unité de R.
1. Montrer que tout élément premier de R est irréductible.
2. On suppose que l’anneau R est principal.
(i) Soient a, b ∈ R. Soit d ∈ R tel que (a, b) = (d). Montrer que d est le PGCD de a et b.
(ii) Soit κ un élément irréductible de R. Soient a, b ∈ R tels que κ divise ab. On suppose
que κ ne divise pas a. En déduire que κ divise b et donc que κ est premier.
3. Soit K un corps de nombres d’anneau des entiers OK . Montrer qu’un élément u de OK est
une unité si et seulement si NK/Q (u) = ±1.
4. Soit κ un élément de OK tel que |NK/Q (κ)| est un nombre premier. Montrer que κ est un
irréductible de OK .
√
√
5. Montrer
que 2, 3 et 1 ± −5 sont des éléments irréductibles de Q( −5). En déduire que
√
Q( −5) n’est pas principal.