Théorie des Nombres - TD2 Corps finis - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
Année 2012-2013
Master de mathématiques 1
Module MM020
Théorie des Nombres - TD2
Corps finis
Exercice 1 : Montrer les isomorphismes suivants et exhiber un générateur du groupe des éléments
inversibles :
a) F4 ∼
= F2 [X]/(X 2 + X + 1).
b) F8 ∼
= F2 [X]/(X 3 + X + 1).
∼ F2 [X]/(X 4 + X + 1).
c) F16 =
d) F16 ∼
= F2 [X, Y ]/(Y 2 + Y + 1, X 2 + X + Y ).
Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout élément est somme de deux carrés.
Exercice 3 :
a) Soit q = pr , p un nombre premier impair. Montrer que x ∈ F∗q est un carré si et seulement si
x
q−1
2
= 1.
b) En étudiant les diviseurs de (n!)2 + 1, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de
la forme 4k + 1 (k ∈ N).
Exercice 4 : Soit p un nombre premier impair. Montrer que 2 est un carré dans Fp si et seulement
si p ≡ ±1 [8].
[Indication : on pourra considérer ζ une racine primitive 8-ième de l’unité dans Fp et étudier ζ + ζ −1 .]
Exercice 5 :
a) Soit k un corps, a ∈ k, p un nombre premier. Montrer que X p − a est irréductible dans k[X] si
et seulement si il n’admet pas de racine dans k.
[Indication : si X p − a est réductible, on pourra écrire une décomposition de ce polynôme dans
k[X], puis utiliser la décomposition de X p − a en facteurs de degré 1 sur k, pour en déduire que
a est une puissance p-ième dans k.]
b) Soient p, l deux nombres premiers tels que l divise p−1. Soit n ∈ Z tel que la classe de n engendre
(Z/pZ)∗ . Montrer que le polynome X l + pX k − n est irréductible dans Z[X], pour tout 1 ≤ k < l.
Exercice 6 :
a) Si p et l sont des nombres premiers, montrer qu’il existe un morphisme de corps Fpn → Flm si
et seulement si p = l et n divise m.
b) Ce morphisme de corps est-il unique ?
n
m
c) Fixons, pour tout n,
S m tels que n divise m, un morphisme Fp → Fp , de façon compatible.
Montrer que Fp := n≥1 Fpn! est une clôture algébrique de Fp .
Exercice 7 : Soit p un nombre premier. Montrer que le groupe F∗pn s’identifie à un sous-groupe du
groupe GLn (Fp ).
Exercice 8 :
a) Donner la liste de tous les polynômes irréductibles de degré ≤ 5 sur F2 .
1
b) Donner la liste de tous les polynômes irréductibles unitaires de degré ≤ 3 sur F3 .
c) Donner le nombre et la liste de tous les polynômes irréductibles unitaires de degré ≤ 2 sur F4 .
Exercice 9 : Montrer (sans utiliser les résultats généraux sur les polynômes cyclotomiques) que le
polynôme X 4 + 1 est irréductible dans Q[X], et qu’il est réductible dans Fp [X] pour tout nombre
premier p.
Exercice 10 : Soit n ≥ 2 un entier.
a) Soit p un nombre premier. Montrer que p ≡ 1 [n] si et seulement si Fp contient une racine
primitive n-ième de l’unité.
b) Soit k ∈ N, et p un diviseur premier de φn (k!). Montrer que p > k et soit p divise n, soit p ≡ 1 [n].
c) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers p ≡ 1 [n].
Exercice 11 : Soit Irr(n, q) l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré n sur Fq et
I(n, q) le cardinal de cet ensemble.
n
a) Montrer que si d divise n, alors pour tout P ∈ Irr(d, q), P divise X q − X.
n
b) Montrer que si P ∈ Irr(d, q) divise X q − X, alors d divise n.
c) En déduire la formule
X
dI(d, q) = q n .
d|n
d) On définit la fonction de Möbius µ : N∗ → {−1, 0, 1} par µ(n) = (−1)r si n est le produit
de r nombres premiers distincts, et par µ(n) = 0 siP
n admet un facteur carré. Montrer que
∗
si f, g :PN → C sont deux fonctions, on a f (n) =
d|n g(d) pour tout n si et seulement si
g(n) = d|n µ( nd )f (d) pour tout n.
e) En déduire la formule
I(n, q) =
1 X n d
q .
µ
n
d
d|n
f) Montrer que pour tout n ≥ 1, I(n, q) ≥ 1.
g) Montrer le “théorème des nombres premiers pour les polynômes” :
!
n
qn
q2
I(n, q) =
+O
n
n
quand n tend vers +∞.
√ [remarque : si on pose x = q n , cette formule devient I(x, q) = logx(x) +O log x(x) , qui est l’exacte
q
q
analogue de la forme précise (conjecturée !) du classique théorème des nombres premiers.]
Exercice 12 : Soient p, l deux nombres premiers impairs, tels que l ≡ 2 [3] et la classe de p modulo
l engendre (Z/lZ)∗ .
Montrer que X l+1 − X + p est irréductible dans Z[X].
[Indication : on pourra considérer les réductions de ce polynôme modulo 2 et p.]
ExerciceP13 : Soit F un corps fini de cardinal q = pr . Pour tout Q ∈ F[X1 , . . . , Xn ], on pose
S(Q) := x∈Fn Q(x) ∈ F.
a) Pour a1 , . . . , an ∈ N, calculer S(X1a1 . . . Xnan ).
b) Soient P1 , . . . , Pr des polynômes de F[X1 , . . . , Xn ], de degrés d1 , . . . , dr . On note Z := {x ∈ Fn :
P1 (x) = · · · = Pr (x) = 0}.
Q
Si P (x) := ri=1 (1 − Pi (x)q−1 ), exprimer S(P ) en fonction du cardinal #Z de Z.
2
c) En déduire que si d1 +· · ·+dr < n, alors #Z est multiple de p (théorème de Chevalley-Warning).
d) En déduire que si les Pi sont des polynômes homogènes non constants (ou au moins si les Pi
sont sans terme constant) et si d1 + · · · + dr < n, alors le système P1 (x) = · · · = Pr (x) = 0 a une
solution non nulle dans Fn .
On dit que le corps F est un corps C1 .
e) Montrer l’application suivante (théorème de Erdös-Ginzburg-Ziv) : pour tout n ≥ 1, pour tout
a1 , . .P
. , a2n−1 ∈ Z, il existe un sous-ensemble I ⊂ {1, . . . , 2n − 1} de cardinal exactement n tel
que i∈I ai ≡ 0 [n].
Exercice 14 : On appelle “algèbre à division” (ou “corps gauche”) tout anneau non nul A (pas
forcément commutatif) dans lequel tout élément non nul est inversible.
Dans tout l’exercice, on fixe une algèbre à division finie A. On souhaite montrer que A est commutatif,
c’est-à-dire que A est un corps (théorème de Wedderburn).
a) Montrer que le centre Z de A est un corps fini de cardinal q, et que A est un Z-espace vectoriel
de dimension n.
b) Supposons n > 1, i.e. A non commutative. Écrire l’équation aux
classes pour l’action de A∗ sur
P
q n −1
lui-même par conjugaison. En déduire que q n − 1 = q − 1 +
, la somme portant sur un
q d −1
certain nombre de diviseurs stricts de n.
c) En déduire que φn (q) divise q − 1, où φn est le n-ième polynôme cyclotomique.
d) En déduire une contradiction.
e) Conclure.
Exercice 15 : L’objectif de cet exercice est de montrer une partie du résultat suivant.
Soit (Pi )i∈I une famille de polynôme de Z[X1 , . . . , Xn ]. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
– les polynômes (Pi )i∈I ont un zéro commun dans Cn .
– il existe un ensemble infini de nombres premiers p tels que les (Pi )i∈I aient un zéro commun dans
Fnp .
– pour tout nombre premier p assez grand, il existe un corps de caractéristique p où les (Pi )i∈I ont
un zéro commun.
On va montrer que la deuxième assertion implique la première, et que la troisième implique également
la première.
Pour ce faire, on répondra aux questions suivantes :
a) (Nullstellensatz faible) : soient (Qj )j∈J des polynômes dans C[X1 , . . . , Xn ], sans zéro commun
dans Cn .
i) Montrer que, pour tout (a1 , . . . , an ) ∈ Cn , l’idéal (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⊂ C[X1 , . . . , Xn ]
est maximal.
[Indication : on pourra comparer cet idéal avec le noyau du morphisme C[X1 , . . . , Xn ] → C
défini par P 7→ P (a1 , . . . , an )]
ii) Soit m ⊂ C[X1 , . . . , Xn ] un idéal maximal. Définissons pour 1 ≤ i ≤ n, φi : C[Xi ] →
C[X1 , . . . , Xn ]/m =: K. Montrer que K = C, puis que Ker(φi ) est un idéal premier non nul,
donc maximal. En déduire qu’il existe (a1 , . . . , an ) ∈ Cn tels que m = (X1 −a1 , . . . , Xn −an ).
iii) En déduire que l’idéal engendré par les (Qj )j∈J est C[X1 , . . . , Xn ] tout entier.
b) Soit K/k une extension de corps.PSoient (ai,j )0≤i≤n,1≤j≤n des éléments de k. Supposons qu’il
existe (x1 , . . . , xn ) ∈ K n tels que ni=1 ai,j xi = a0,j pour tout 1 ≤ j ≤ n.
P
Montrer qu’il existe (y1 , . . . , yn ) ∈ k n tels que ni=1 ai,j yi = a0,j pour tout 1 ≤ j ≤ n.
c) Soient (Pi )i∈I une famille de polynôme de Z[X1 , . . . , Xn ] sans zéro commun dans Cn . En utilisant
le Nullstellensatz, montrer qu’il existe un ensemble fini E de nombres premiers tel que pour tout
p∈
/ E, pour tout corps F de caractéristique p, les (Pi )i∈I n’aient pas de zéro commun dans F .
d) En déduire la réponse à la question initiale.
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