Introduction `a la théorie des nombres Série 6

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Semestre Printemps 2009
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
26.03.2009
Série 6
Exercice 1
1. Montrer que tout facteur premier impair d’un nombre entier de la forme n2 +1 est congru
à 1 modulo 4.
2. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Exercice 2 √
L’anneau Z[ −2]... suite
√
√
Considérons l’anneau Z[ −2] := {a + b −2 ; a, b ∈ Z}. Rappelons (voir série 5) que cet
anneau est principal et euclidien pour l’application norme :
√
N : Z[ √
−2] −→
N
2
a + b −2 7→ a + 2b2 .
√
1. (a) Montrer qu’un élément α ∈ Z[ −2] est inversible si et seulement si N (α) = 1.
√
(b) En déduire que les seuls éléments inversibles de l’anneau Z[ −2] sont précisément
1 et −1.
2. Soit p un nombre premier impair.
(a) Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux :
√
√
Z[ −2]/pZ[ −2] ' Fp [X]/(X 2 + 2)Fp [X].
√
(b) En déduire que l’élément p est irréductible dans l’anneau Z[ −2] si et seulement si
p ≡ 5 ou 7 (mod 8).
On rappelle que, dans un anneau A intègre, un élément p 6= 0 est dit irréductible s’il
est non inversible et si p = ab avec a, b ∈ A implique a ou b inversible. Si p ∈ A est
irréductible, l’idéal pA est maximal. Notons que lorsque l’anneau A est principal, un
élément p 6= 0 est irréductible si et seulement si l’idéal pA est premier.
3. Déduire des questions précédentes le résultat suivant, pour un nombre premier p impair :
∃ a, b ∈ Z : p = a2 + 2b2
⇔
p ≡ 1 ou 3 (mod 8).
Exercice 3
Corps quadratiques
1. Soit K un corps de nombres de degré 2 sur Q.
√
(a) Montrer qu’il existe m ∈ Q tel que K = Q( m).
Indication : si x ∈ K\Q, alors x est de degré 2 sur Q. Soit F (X) = X 2 + bX + c
son polynôme minimal sur Q. En√résolvant F (x) = 0, on pourra trouver un nombre
rationnel m ∈ Q tel que K = Q( m).
√
(b) En déduire qu’il existe un entier d ∈ Z, sans facteur carré, tel que K = Q( d).
√
2. Soient√m et n deux entiers distincts, sans facteur carré. Montrer que les corps Q( m)
et Q( n) ne sont pas isomorphes.
√
√
Indication : on pourra considérer l’équation m = a + b n avec a, b ∈ Q.
Exercice 4
√
√
1. Donner l’anneau des entiers de Q( 2) et celui de Q( 3).
√
√
√
√
2. Montrer que l’anneau Z[ 2 + 3] n’est pas l’anneau des entiers de Q( 2 + 3).
√
√
2+ 6
Indication : on pourra considérer l’élément
.
2